結構噪聲核心價值與理論邏輯解讀第三部分：WPA法與機理分析

吳崇建 ，雷智洋 ，吳有生

1中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064

2船舶振動噪聲重點實驗室，湖北武漢430064

3中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082

0 引 言

波傳播分析法，也叫WPA法，是Wave Propa?gation Approach或Analysis的英文縮寫。WPA法通過結構彈性波的物理、數學解析來描述結構噪聲。該方法可最大限度地釋放邊界條件、外載荷及其他外部約束限制，融入Matlab強大的復矩陣計算功能，適合工程設計人員將其作為分析工具。

運載工具的高速發展促進了結構動力學的發展——從經典牛頓力學到結構動力學、振動學［1-2］和結構噪聲［3-12］。新的復雜工程問題涉及分析模型的抽象、簡化、邊界處理，需要通過理論研究總結、歸納出系統的概念性、關鍵性和共同性的一般規律。研究方法歸納為2類：

1）解析法，如假設振型函數法、傳遞矩陣法、模態分析法、模態截斷和模態綜合法，模態阻抗綜合法、模態柔度綜合法、導納法和動剛度綜合法等，詳見表1。

表1 解析法列表Table 1 List of analytical method

2）數值法，常用的數值法有限元法（FEM）、邊界元法和統計能量法［13-15］。FEM中SAP，SAP5，Super-SAP等幾乎已被遺忘，現在常用的是AN?SYS，ADINA和NASTRAN等大型計算軟件。減振降噪作為小眾專業，仍然出現了SYSNoise，Auto?SEA，VIOLINE等專業聲學軟件。

由此可見，似乎已有足夠多的分析方法，為什么還要開拓新方法？實際上，解析法一直在面對新的挑戰，特別是針對復雜工程結構和復雜邊界方面，解析法往往難以適用，無法進行復雜系統的精確求解。例如，多支承梁解算時就不得不做出許多簡化假設，Kojima等［16］在分析有限多跨梁的固有頻率和振動模態時，需要假設梁跨超過3時它們必須是簡支。Neubert［17］在分析懸臂梁加動力吸振器時，必須設定動力吸振器安裝在梁自由端。Snowdon［18］在改進后，才得到動力吸振器安裝在梁中點時的動力響應。Mead［19-20］在用周期理論分析無限長梁的能量流時，必須假設諧力作用在周期等跨梁的中點。而有限長度周期結構動力學特性分析依然是當時的難題，準周期結構分析難度更大［21］。

當今，數值方法幾乎主宰了工程分析的全部。商用軟件不斷推陳出新［22-24］，盡管它們能夠完成復雜工程問題的動力學分析，界面也更友好，但仍然存在功能覆蓋不全面和同質化現象。數值法獲得的結果是“個案”。在缺乏完整機理分析的情況下，它們多半只能視為窮舉下的特例而非一般規律。

面對工程創新（如浮筏等），它們距理論分析的統一框架還很遠，還存在一定的認知短板。浮筏不僅像雙層隔振那樣在筏架中存在能量耗散，還存在多激勵源彈性波的抵消機制。解析法能否設置多源的初始相位或變化的相位？如何建模？用什么解析方法能夠解析約束條件下振源的相互抵消機制而使衰減最大化？

針對上述問題，本文擬基于WPA法，從振動微分方程和彈性波的傳播、反射視角解析結構噪聲，以有限長簡支梁為例具體說明用WPA法解析結構動力特性和機理分析的優勢。WPA法結合Matlab強大的復矩陣計算能力，用振動方程精確解來保證求解精度，解決了系統邊界、約束和協調條件無法全部滿足的普遍難題，實現了各頻點精確求解。WPA法物理概念清晰、深入，使研究者能夠從表觀參數（如振動加速度、插入損失等）進入內核參數（彈性波），深層剖析振動能量的注入、傳導以及波與聲輻射之間的因果關系，增加了新的結構噪聲研究思維視角，適合工程技術人員開展深入的基礎理論研究。

1 WPA法的數學描述

1.1 用雙指數函數表達特征函數

以伯努利—歐拉（Bernoulli-Euler）梁為例，受載荷?0(x，t)作用時，梁的橫向位移可用振動微分方程描述［25-26］：

式中：EI為梁的抗彎剛度；?(x，t)為梁的橫向位移；ρ為材料密度；A為梁的橫截面積。

令激勵?0(x，t)=0，得到梁的自由振動方程為

對式（2）進一步簡化，將橫向位移分離變量［27-28］，w?=w(x)ejωt，得

式中：j為虛數單位；ω為角頻率；kn為梁彎曲波的復波數。式（3）是梁彎曲振動齊次方程，其特征函數為

式中，An為4個指數函數的未知系數。

為了求出系統響應，必須解算出式（5）中的未知數An。它們可以通過邊界條件和約束條件聯立求解。將kn的實根記為k，則

共有4個不同的kn，分別是

因此，式（2）解的完整表達可以寫為

式（8）是WPA法關于梁彎曲運動方程的一般表達式。它用雙指數函數描述，第1項是空間相關項的指數函數，第2項是時間相關項的指數表達。該方程展開為

諧力在作用點兩側分別產生2種類型的彎曲波——行進波和近場波。式（9）中第1項和第2項為實數項A1ekx和A2e-kx，它們分別表示沿x軸負向和正向的近場波，也叫瞬逝波或衰減波。近場波并不傳播，會迅速衰減并在局部區域發生波型轉換。第3項和第4項為虛數項，A3ejkx表示沿坐標負向傳播的彎曲波，A4e-jkx表示沿坐標正向傳播的行進波，也叫傳導波，是彎曲波，如圖1所示。

WPA法的型函數具有雙指數函數形式。過去也用指數函數對結構振動作解釋性說明，WPA法將空間函數eknx這一傳統表達保留下來予以發展，同時也保留了簡潔性。

1.2 點諧力響應函數系數

如圖2所示，假設梁上任意一點x=x0受外諧力p?=p0ejωt激勵，則無限長梁的橫向位移控制方程為［5］

式中，δ(x-x0)為德拉克函數。由于梁無限長，根據結構對稱性，在x=x0處激勵可以平移到x=0處，這樣便于方程求解，這時，梁彎曲振動響應的一般公式為

由于梁無限長，振動能量有限而且無反射波，因此需滿足：當x≥0時，B=C=0；而當x＜0時，A=D=0。于是得到

式中：下標“+”表示坐標正方向；而下標“-”表示坐標負方向。因為無限長梁的對稱性，橫向位移在x=0 處斜率為 0，則有 ?w?(x，t) ?x=0 ，于是得到

根據x=0處的受力平衡和對稱性（加載點兩邊的剪力為p0/2），得到剪力平衡方程

結合式（13）和式（14），得到

將式（15）代入剪力平衡表達式（14），則有

那么在x=0處激勵時，無限長梁的強迫振動表達式為：

將上述無限長梁響應的分段函數寫成一致的形式：

根據平移原理，在任意點x=x0處激勵無限長梁的響應函數為

令單位諧力p0=1，則式（20）可改寫為

其中，

式中，a1和a2為無限長梁點諧力響應函數系數（彎曲波）。

受橫向載荷后，梁產生彎曲振動位移，同時產生內部剪切力和彎矩。從彈性波的視角觀察，梁的彎曲振動解本身是頻散的，如圖3所示。同時，由于特征函數是四階微分方程，存在兩種基本波動模態：一種是傳播模態，另一種是耗散模態。

2 WPA法簡支梁解析示例

以長度為L的簡支梁（圖4）為例，具體說明WPA法的解析過程。諧力?0(x，t)會產生4個強迫波，彈性波在梁的兩端因波的反射各自產生2個自由波。由線性假設和波迭加原理，強迫波和自由波構成梁的總振動方程。梁上任意一點x(0≤x≤L)的橫向位移表示為［1］

需要注意的是，時間項 ejωt在式（23）中均被省略，所以特征解為單變量函數。為方便后面的公式推導，這里直接列出了振動位移對x的前3階偏導數：

式中，(jf)為符號算子，

根據式（23）～式（27）以及歐拉梁力與位移的關系，在點力p?0(x，t)作用下，激勵點兩側梁的內彎矩和剪力表達式為：

上述各式中，

對于圖5所示的長為L的簡支梁，在橫向外力p0的激勵下，簡支梁在梁的兩端位移和彎矩等于0，于是得到

當w(0)=0時，由式（23）得

當M(0)=0時，由式（28）得

同樣，當w(L)=0時，

方程（33）～方程（36）構成求解An的4個“瞬值”線性方程組，用矩陣形式表達為

和

線性矩陣方程組簡記為

通過簡單編程并將初始條件和輸入參數代入，即可解算式（40），由此解析梁的模態頻率、模態振型、強迫響應、波傳播，并進行應力分析等。計算得到梁的模態振型和響應分別如圖6、圖7所示。

兩端簡支梁是最典型的梁結構形式，固有頻率經典解析式如下［1］：

式中，下標n=1，2，3，…，N，表示梁的前N階固有頻率。WPA法與解析法求解的簡支梁前5階固有頻率對比如表2所示。

由表2可見，兩者的計算結果十分吻合。作者還對不同邊界條件下的位移響應、動應力計算結果進行了比較，計算結果均到達了小數點后4位相同，一致性很好。限于篇幅，這里不一一羅列。

3 WPA法的特點分析

3.1 WPA法朔源

近幾十年來，結構動力學分析更關注結構內核參數彈性波的研究［1，25］。它們都源于如式（42）所示的振動微分方程。

表2 WPA法解與經典解析法計算結果的比較Table 2 The comparison of natural frequencies between WPA method and analytical method

式（42）中，撓度?是與坐標 (x，y，z)和時間t有關的函數，即?=?(x，y，z，t)。以簡化的一維結構為例，這并不影響我們對更復雜結構的理解。令?0(x，t)=0，得到等截面梁自由振動的齊次式（式（3））。對該式采用分離變量法，得到

對于式（43），如何找到一個空間函數w(x)使其同時滿足振動方程和邊界條件是關鍵?？臻g函數可以是級數、雙曲函數或者三角函數，也可以是雙指數函數等。對于式（42）和式（43），存在不同的解析途徑，如圖8所示。

1）模態分析法。它是解析法的一種典型解析方案，根據模態理論在模態坐標下求解。式（42）的特征解可表示為系統各階主模態振型的線性疊加，即有

式中，wr(x)為模態振型；qr(t)為模態空間下的模態坐標。

式（44）用模態振型代替空間函數。數學意義上，它們是無窮個結構模態的線性迭加。

2）模態截斷、模態綜合法。模態分析法的缺點是計算量較大。如果進一步選擇將結構的幾個主模態，比如假設N=7而非∞代入，則式（44）進一步演進為模態截斷、模態綜合法，

用有限個模態數，可以較大地改善計算量和邊界條件的符合性。但需要注意的是，式（45）是近似解，尤其在取較少模態個數時。

3）WPA法。它是式（42）的另一種解析途徑。它對式（43）的特征解保留雙指數函數，其特征解如式（8）所示。從前面的推導過程可以看出，WPA法與其他解析法一樣，同樣都源于振動微分方程，它們同出一宗。

但在滿足邊界條件方面，WPA法具有內在優勢。在結構線性范圍小幅波動情況下，將無限結構的諧力響應函數與有限結構的響應函數進行簡單算術迭加，完成有限結構方程重構的一般表達。

3.2 WPA法的特點

在微積分中，指數函數ex的偏導數“本體”總是保持不變，無論多少次求導，其導數就像一個常量一樣永遠是恒定的。對于這個特性，西方人形容像切西瓜，無論你怎么切一個實心球，其橫截面都是圓面。中國人的解釋更有趣：就好像你切掉孫悟空的一部分，你以為是一小片肉，睜眼一看，居然是另一個孫悟空，而且一樣大！指數函數表達給WPA法帶來了一些新的特點：

1）物理概念清晰。

WPA法表述波的物理概念特別清晰。從彈性波視角研究結構振動，是從振動表觀參數到結構內核參數的深化。行進波和近場波（或衰減波）用分項形式表示，更有利于區分波的傳播和衰減（圖9，其中虛線代表忽略近場波的運動，T為周期）以及它們在極近場的變化。這對研究近場波和遠場波在結構“間斷點”（定義為引起結構不連續的所有“障礙”）處的轉換有意義，成為深入內核探討結構動態特性的物理方法。

WPA法能夠重新引起關注與其卓越的機理性分析優勢分不開，例如解析浮筏，發現了“質量、調諧、混抵”3個效應［29］，其中關于多激勵源彈性波的抵消機制是產生附加衰減的內在因素。現在，主動聲、振動控制及功率流理論都在關注和應用WPA法。

2）適用于更多的邊界約束。

許多解析法不能獲得完美的解，皆因特征函數在“吻合”邊界時，在大多數情況下仍然難以獲得數學上的“匹配”。只有少數有限邊界條件才符合振動模態良好的空間吻合。WPA法對邊界條件具有較少的約束，幾乎可以放寬到所有邊界條件和約束條件。矩陣方程看似繁瑣，但是它們非常有規律性，尤其當計算機軟件具備了強大的復代數計算功能時，使穩態和瞬值求解過程中邊界點、約束點、結構上的協調點（相容點）甚至各點每個頻率上都可精確吻合。

3）可以引入阻尼。

阻尼通常會破壞結構在模態坐標下的正交性，這也是為什么在有限元法等方法中需要假定材料的阻尼為比例阻尼的原因，盡管它們與實際不符，也極大地限制了工程應用。在WPA法中，結構的阻尼可以通過復剛度EI*=EI(1+jβ)引入，其中β為阻尼耗損因子。對于不同的梁結構，可以引入不同的損耗因子，從而得到存在結構阻尼時系統的振動響應。

4）可以嵌入動力吸振器。

對動力吸振器與結構的動態耦合關系，可分解為質量彈簧系統對結構施加的一個動態力。它們是兩個子系統之間的作用內力Fd，如圖10所示。

動力吸振器的吸振質量隨結構作簡諧運動，施加給結構上的動反力為［1］。

其中

對粘性阻尼，

式（47）～式（49）中：md為吸振質量；Ktot為動力吸振器的等效剛度；為動力吸振器的復剛度；?為粘性阻尼因子；w(xd)為安裝動力吸振器部位的動位移響應，是待定未知數。從公式推導過程可以看出，對動力吸振器的數量、作用位置和阻尼類型并無限制。

5）便于加載各種外部系統。

各種外部載荷，如諧力、力矩等載荷和附加約束物（如阻振質量、彈性邊界等）均可泛化為結構中的“間斷點”，它們作為外部系統加入原結構系統，這些外部系統同樣不受位置和數量的限制，如圖11所示。圖中，b，h分別為歐拉梁截面的長和寬。

這樣就可以研究在加載多個外部系統時，結構中彈性波的相互干涉。WPA法對力源數量和相位均無限制。可以將隨機函數random編入Matlab程序中，分析計算不同激勵力初始相位或者變化相位情況下多個彈性波的抵消機制（圖12），并應用統計方法計算平均能量。這相當于在系統中嵌入一個或多個信號發生器，使多激勵分析成為可能。通過對不同激勵源、不同諧頻率、相位、幅值和輔機設備高次諧波頻率分布情況下的應力波抵消機制進行研究，最終用式（50）的算術平均值評估激勵源之間的“混抵效應”，實現數值仿真。

式中，上標“-”表示所設定周期內的平均值。

6）WPA公式的規律性。

作用在梁上的諧力p0(x)ejωt會產生4個強迫波，并在有限梁的兩個末端因反射產生4個自由波，它們構成梁的總運動方程（式（23）），該式的時間項 ejωt被省略。式（24）～式（26）列出了位移響應對x的前3階偏導數。

通過觀察可以發現，特征函數求解就像諧運動一樣，表現出極強的規律性和規整性。盡管WPA法看起來有著繁復的表象，但式（24）～式（26）仍十分有規律性。

3.3 機理分析與WPA法

復雜工程結構動力學特性分析是工程設計的重要內容，對于艦船、橋梁、建筑、航空航天結構等大型結構，其動力學特性分析一直是工程設計的難題，因此在進行工程設計分析時，常常將復雜工程結構簡化為梁、板、殼等簡單結構或者他們的組合。通過對這些簡單結構及其組合結構的動力學特性的研究，建立解析方法，深入研究結構之間振動傳遞、能量流動的機理，總結相關設計要素對動力學特性的影響規律，就可以在復雜系統工程上應用這些規律，從科學上指導大型工程結構的設計。

在將復雜系統簡化及抽象出機理分析的過程中，需總結出概念性、關鍵性和共同性的一般規律，然后將其轉向解讀復雜系統的定性和定量優化，并與工程師的設計經驗相結合。當設計師理解了本質要義，就能把握復雜系統研究的整體性和方向感，更好地指導工程創新。

以隔振系統為例，之所以能夠用有限元等數值方法開展工程計算，皆因先期已經完成了機理分析。單自由度和二自由度隔振系統建立了顯性函數解。設計師能夠從解析研究成果中將隔振區域劃分為質量、阻尼（也稱“共振區”）和剛度“三大控制區”，并建立了如下關系式：

式中：fr1為單層隔振系統的固有頻率；fr2為雙層隔振系統的二階固有頻率。這是關于頻域隔振效率的表達，這些結論構成了機理性解讀的框架。當轉向復雜工程問題時，理論分析所建立的優化規律仍主導著“修正方向”，如圖13所示。

對極致高效的追求促使解析法不斷完善。解析法的多樣性與數值分析的交織正是為了滿足工程創新對理論的拓展要求（圖14）。數值法總是能夠更好地滿足工程解算，但它們表現出的是窮舉下的特例而非一般規律。誠然，經過大量分析算例，數值法也可以歸納出普遍規律，但必定以大量案例分析為前提。當面對復雜巨系統新機制時，數值法短時間內很難“搜索”出全部規律。解析法則更容易獲取系統的一般規律甚至隱藏的客觀實際，例如近場波的各種衰減機制。

運載平臺的競爭像無形之手推動著理論研究的持續深化：掌握復雜系統的內在規律和本質特性，并挖掘可能的潛力。不幸的是，并不是所有的數學演算都能導出顯式解析函數。鑒此，可將解析法當成機理分析的先鋒，用有限元法處理工程，從而完成“還原論”思想到“整體論”思維的推進。WPA法是解析法的拓展和補充，希望將混合動力學類復雜系統的機理分析從數值法的泛化中解救出來。

3.4 WPA法的缺點及改進

與其他所有動力學解析方法一樣，WPA法也具有與生俱來的缺點與不足，歸納起來主要有以下幾點：

1）不適合于復雜工程系統的直接分析。一般而言，WPA法像所有解析法一樣，只適合作為基礎理論分析的工具，探討一般規律。

2）分析計算量增長較快。結構每增加一個“間斷點”，或者引入一個外載荷或外部系統，系統矩陣項將相應增加4個未知數，即線性矩陣方程增加4階。

3）容易發生畸變。在WPA矩陣式中，典型的如式（37）S1矩陣，有的陣元等于1，有的接近于0，而有的可能非常大，例如當x=L時，陣元之間的比值極大化達到maxS1=k2ekL。這使線性矩陣方程求解過程中容易發生畸變。

WPA法尚處在發展之中。關于該方法的理論挖掘和物理、數學釋義以及相應的計算方法，還需要在實踐中發展、完善。目前欠缺的是過程，以及通過過程來判斷該方法的潛力。總體而言，WPA法增加了我們分析、思考問題的視角，在結構噪聲、主動振動控制領域得到了一定的應用。它們是否能夠成為主流解析方法，得到更加廣泛的應用，既需要各種場景的應用和試驗修正，更需要研究者像挖掘優點一樣充分發現缺陷，在質疑聲中不斷修改、完善。

4 結 語

WPA法源于振動微分方程，與解析法同出一宗。它用雙指數函數形式的空間型函數和時間變量，基于結構線彈性范圍內小幅振動波的疊加原理，求解結構振動和波傳播問題。WPA法結合Matlab強大的復矩陣計算能力，用準確解析解來保證求解精度，化解了系統邊界、約束和結構協調無法全部滿足的普遍難題，實現了頻點上的精準一致。該方法可以嵌入一個或者多個“信號發生器”——用數學方式表達力源的相位或相位的變化，或者通過程序的隨機函數實現統計分析，以研究多源激勵彈性波的抵消機制。

對于許多工程師，甚至那些從事結構動力學科學研究的人員而言，研究結構中波的傳播似乎離他們很遠，因為一些解析法由于在數學處理上太過深奧而難以應用。本文推介的WPA法用于結構彈性波分析，也許能使復雜結構的動力學分析不再讓人如此懊惱和沮喪，這對該方法的應用和推廣很有意義。

致 謝

感謝我的博士研究生張詩洋，閆肖杰協助制作圖表。與周其斗、杜堃、熊濟時等開展的深入的學術討論，均使作者獲益匪淺，在此一并感謝。