基于數學“問題引領”下的教學設計
——以 “函數的單調性”新授課為例

□朱善聰

2016年以來，教育界言必 “核心素養”。如何培養學生的數學核心素養，成為當前高中數學課堂改革的一個焦點。章建躍博士在 《樹立課程意識，落實核心素養》一文中提出：數學育人要用數學的方式，把數學教好是落實核心素養的前提，在課堂教學中要示以學生思維之道，讓學生能運用數學的思維和語言進行閱讀、運算、推理和表達，讓學生經歷完整的獲得對象——研究性質——應用拓展的過程。[1]由此可見，數學核心素養的培養必須要落實在課堂教學中，而關鍵在于提升教師核心素養引領下的教學設計水平。

思考是數學學習的基本方式，學生能否在學的過程中突顯主體性與問題的設計緊密相關，“思維”是需要問題來引領的。教師對數學對象的理解把握，通過自己的方式轉化為一個個問題，通過問題設計與學生形成交流，這是一堂數學課的價值所在。下文以 “函數的單調性”新授課為例，分享筆者的實踐與經驗。

一、教學內容解析

函數的單調性是研究隨自變量的不斷增大，它的函數值是增大還是減小的性質。這是學生繼了解函數概念后學習函數的第一個性質，對后續研究具體的初等基本函數如指數函數、對數函數、三角函數等單調性起著引領作用，具有典型意義，體現了對函數研究的普遍的方法。教材中函數單調性概念的形成歷經了“形”到 “數”，“特殊”到 “一般”，“直觀”到“抽象”的認知過程，先是由初中學過的一次、二次、反比例函數，直觀感知函數的特征，接著結合二次函數圖象的觀察、分析、歸納，發現增、減變化的數字特征，進一步定量精確描述上述特征，這樣學生就實現了圖形語言、自然語言到符號語言的三種語言的轉換學習。在這個過程中，借助圖象或結合圖象進行思考推理，體現了 “數形結合”的思想方法，因而本節課在數學教學中具有核心地位。

教學重點：引導對函數增、減性進行抽象的符號描述，函數單調性形式化定義的形成。

教學難點：形成增 （減）函數概念的過程中，用定義法證明函數的單調性。

二、學生學情分析

通過初中學習過的一次函數、反比例函數、二次函數，初步認識到函數是一個刻畫某些運動變化關系的數學概念，進入高中后，又進一步學習了函數的概念，認識到函數是兩個數集之間的一種對應。學生還知道函數有三種表示方法，具備了可以借助圖象直觀得出函數部分性質的能力，尤其是有了利用函數圖象進行兩個數的大小比較的經驗。從知識層面看，學生已對函數的單調性有了初步的直觀感知與定性描述。但學生缺少對用準確的數學符號語言刻畫函數圖象的上升與下降，實現從直觀到抽象的轉變，從形到數的翻譯，這是他們認知上的一個困難點。因此，函數的單調性概念學習的關鍵在于如何將圖形直觀中的上升、下降改用數學中的比較大小來表達。

三、教學目標解析

基于以上分析，本節課的教學目標分解如下：

1.通過觀察一次、二次、反比例函數圖象，形成增 （減）函數的直觀認識，再借助二次函數圖象及函數值大小比較，認識函數值隨自變量的增大而增大 （減小）的規律，因此形成函數增減性的定義。

2.能夠舉例說明函數在定義域的某個區間上具有單調性，而在整個定義域上不一定具有單調性，認識到函數單調性是個局部概念。

3.能借助函數圖象的直觀性得出一些簡單函數的單調性，能夠用定義證明一些函數的單調性，熟悉證明的基本思路和步驟。

四、教學策略分析

教師的教學應從目標出發設計 “核心問題”，核心問題應能引起學生的 “認知沖突”。為了自然生成單調性概念，克服形式化定義給學生帶來的理解上的不到位，教學中教師應以問題為導向，圍繞核心內容進行問題深度設計，以三、四層次的問題，層層逼近數學對象的本質，引起學生共鳴，提升思維質量。

五、教學過程設計分析

本課的設計分為以下6個環節：觀察圖象，引入新課——合作探究、形成概念——動手實踐、建構概念——初步應用、鞏固概念——總結反思、精準概括——目標測評、獲得經驗。圍繞核心問題組成 “問題串”，強調 “問題引領”學生學習，拉長學生的思考過程及改變學生學習方式中的重要作用。

1.觀察圖象，引入新課。

接著讓學生自己完成課本例題1。

（學生都可以從圖象上直觀得到結論）

【設計意圖】

讓學生直觀感知函數圖象，通過學生的觀察，發現函數圖象的 “上升” “下降”的特征。

在學生回答的基礎上教師可直接給出增 （減）函數的一個 （圖形語言）定義：設函數的定義域為 I，區間D?I。在區間D上，若函數的圖象 （從左至右）看總是上升的，則稱函數在區間D上是增函數，區間D稱為函數的單調增區間；在區間D上，若函數的圖象 （從左自右看）總是下降的，則稱函數在區間上是減函數，區間D稱為函數的單調減區間。

在數學教學中，從課堂提問到新概念的形成與確立，新知識的鞏固與應用，學生思維方法的訓練與提高，以及實際應用能力和創新能力的增強，均從 “問題”開始。所謂 “問題串”，就是由一連串具有邏輯聯系的問題構成的問題系列。

2.合作探究，形成概念。

問題2：當一個函數在某一個區間上是單調遞增（或單調遞減）的時候，相應的自變量的值與對應的函數值的變化規律是怎樣的呢？也就是如何從數量關系來刻畫函數的這種性質。

【設計意圖】

從圖象直觀到定性描述，是本節課的任務驅動，也是承上啟下的關鍵一步。教師引導學生合作交流，自主探究獲得增函數、減函數的描述性定義 （自然語言）：若函數f（x）在區間D上隨的增大而增大，則稱函數f（x）在區間D上是增函數；若函數f（x）在區間D上隨的增大而減小，則稱函數f（x）在區間D上是減函數。

3.動手實踐，建構概念。

問題3：我們如何用代數方法證明函數y=x2在區間 [0，+∞）上為單調遞增函數？

【設計意圖】

問題設計引起學生的認知沖突，有同學提出來用兩個特殊值來檢驗，有同學因為表格中的數據直觀地顯示出隨x的增大y越來越大，可能把區間 [0，+∞）上 “所有的”實數都一一列舉驗證，有的則考慮用字母符號表述。

問題4：如果對于區間 （a，b）上任意x有f（x）＞f（a），則函數 f（x） 在區間 （a，b） 上單調遞增。這個說法對嗎？請舉例或者畫圖說明。

問題5：設函數在區間 （a，b）上，有無數個自變量，使得當時 a＜x1＜x2＜…＜b，有 f （a） ＜f （x1）＜f （x2） ＜…＜f （b），可不可以說它在 （a，b） 上單調遞增？請舉例或者畫圖說明。

【設計意圖】

“許多個”不能代表 “全部”，逐漸引出定量定義，讓學生獲得必須是兩個變化的量的比較。

問題6：在函數f（x）=x2，x∈ [0，+∞）的圖象上任意取兩點，自變量大的函數值也一定大，能否說明函數f（x）=x2在 [0，+∞）上單調遞增？

【設計意圖】

在前兩個問題的分析之后回到提出一個具體函數f（x）=x2，x∈ [0，+∞），比較它們的函數值，進而提出 “怎樣用符號來表示”的問題。在區間 [0，+∞），f（x）隨x的增大而增大的符號化：對任意的兩個自變量 x1，x2∈ [0，+∞），當 x1＜x2時，都有 f （x1）＜f（x2）。通過函數y=x2圖象的直接觀察，產生了增、減函數的生活語言的描述性定義。

問題7：若對于一般的函數f（x）在定義域I內某個區間D如圖所示 （1）或 （2），你能用符號語言表示函數f（x）的變化趨勢嗎？

【設計意圖】

讓學生由特殊到一般，通過類比，嘗試抽象概括函數的單調性的形式化定義。

一般地，如果函數y=f（x）對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1、x2，當時x1＜x2，都有 f （x1）＜f （x2），那么就說函數 f （x）在區間 D 上是增函數。

如果函數y=f（x）對于定義域I內的某個區D間內的任意兩個自變量x1、x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），那么就說f（x）在區間D上是減函數。

如果函數f（x）在區間D上是增函數或減函數，則稱函數f（x）在區間D具有 （嚴格的）單調性，區間D叫作函數f（x）的單調區間。

【設計意圖】

為什么要用任意兩點的變化來刻畫函數增減性這種變化特征，這是本節課的難點所在。我們通過問題導向，設計 “問題串”不斷啟發學生思考；在問題引領下不斷拉長學生的思考過程，從而深刻理解單調性概念形式化的本質。當然，企圖在一節課中完成學生對函數單調性的真正理解是不現實的。在概念教學中，要從感性認識開始，使學生對概念表象，再上升到理性認識。這就要求教師不僅要把數學原理講細講透，還必須精準設計問題，使學生加深對數學原理的理解，拓展學生的思維。[2]

4.初步應用，鞏固概念

問題8：你能判斷下列函數的單調性，并運用定義證明你的結論嗎？

【設計意圖】

問題8先從 “形”上去判斷單調區間和單調性，再從 “數”的角度去證明；問題9運用概念解題，強化函數的單調性的形式化定義。提供反面例證，辨析概念，鞏固理解。

5.總結反思，精準概括。

問題10：學習了 “函數的單調性”，如果一個函數是單調遞減的，那么這個函數有什么特征？能從“數”和 “形”兩個角度說一說嗎？

【設計意圖】

總結研究問題的過程，從直觀圖形、定性刻畫到定量刻畫，最后轉化為用不等式的方式通過 “大小比較”的方法刻畫了函數的變化特征，體現了數學的“精準”本質。[3]

6.目標測評，獲得經驗。

（1）畫出下列函數的圖象，并指出單調區間：

【設計意圖】

新授課的測評，目的在于讓學生在運用定義法證明函數單調性的過程中，體驗代數論證的邏輯思維。對于高一的學生來說，在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的。通過問題 （1）進一步強化函數單調性的形式化定義；通過問題 （2）可以引起認知沖突，可以看作是 （1）的變式訓練；通過問題 （3）提高學生的代數邏輯推理能力。測評既是對習得知識能力的反饋回應，也為教師進行下一個教學設計提供了方向。因此，教師在 “問題串”的設計上應體現梯度性和過渡性，備課時要在精細化上下功夫，使學生在“問題串”的引導下，通過自身積極主動的探索，實現由未知向已知的轉變。在本質上就是促使學生自己提出問題并想方設法解決問題，提高他們分析問題和解決問題的能力。

六、教學反思

德國教育家第斯多惠給了我們一個忠告：“一名壞的教師奉送真理，一名好的教師教人發現真理。” “以生為本”是新課程改革的核心理念，更是課堂教學的出發點和歸宿點。由于數學思維就是解決數學問題的心智活動，所以數學思維是由問題引起的，總是指向問題的變換，總是表現為不斷地提出問題、分析問題和解決問題。上述教學過程設計，讓學生歷經從圖形語言、文字語言向符號語言轉換的過程，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般、從定性到定量的數學思想方法，以問題為導向啟發學生獨立思考，引領學生合作交流，關注學生數學核心素養的培養。

正如南京大學鄭毓信教授所說，確實應當將 “善于提問”看成數學教師最重要的一項能力，即如何能由具體教學內容提煉出相應的 “本源性問題”，又如何能夠通過進一步的加工很好地發揮 “問題”的 “驅動作用”。[4]綜上所述，“問題引領”下的課堂教學設計是數學教學實現學生與教師 “雙中心”的一個有效手段。