部分相干光束經過湍流大氣傳輸研究進展?

王飛余佳益劉顯龍蔡陽健

1)(蘇州大學物理科學與技術學院,蘇州 215006)

2)(蘇州大學,蘇州納米科技協同創新中心,蘇州 215006)

3)(山東師范大學物理與電子科學學院,光場調控及應用中心,濟南 250358)

1 引 言

自由空間激光通信是以激光作為信息載體,在不同的平臺(地面平臺、空對地平臺等)之間開展信息傳遞與交換的一種技術.與傳統的無線電波通信相比,激光通信在很多方面具有一定的優勢:1)激光頻率高,具有超大帶寬,能極大地提高信息傳輸速率;2)激光方向性好,在一定程度上能提高信息傳輸的安全性,同時還具有較強的抗干擾能力;3)激光亮度高、發散角小,同時,激光器體積小,易于集成,方便搭載于不同平臺上.除了自由空間光通信,以激光為載波的激光雷達、遠程遙感也有獨特的優勢.然而,在這些應用中,激光都是以自由空間(大氣)作為信息傳輸通道,大氣中的微粒和分子對激光的吸收和散射及湍流對激光造成的光斑漂移、光強閃爍等效應,嚴重影響通信系統的性能.因此,激光在大氣中的傳輸特性及大氣本身性質的研究顯得尤為重要.

當光波在大氣中傳輸時,將受到大氣的影響發生吸收、散射及大氣折射率隨機變化導致的相位隨機起伏等現象.吸收和散射主要是由組成大氣的分子、大氣中的懸浮顆粒及氣溶膠等引起的,并使得光波在傳輸路徑上的能量發生衰減,吸收和散射的強度依賴于光波的波長.大氣不規則的隨機運動,每一點上的壓強、速度、溫度等物理特性的隨機漲落通常稱為大氣湍流.它的存在導致大氣的折射率隨機起伏,湍流中傳輸的光波的振幅和相位也隨之發生無規則的起伏,是影響光波傳輸特性的主要因素.通常情況下,大氣湍流將引起光波發散角變大、光束展寬、光斑位置隨機抖動、相干性退化以及到達角起伏等效應,嚴重影響自由空間光通信和激光雷達等系統的信息傳遞和交換性能.因此,國內外研究人員開展了大量激光束在大氣中的傳播行為及如何克服或抑制大氣湍流引起光波擾動的研究工作.

從物理上來講,大氣湍流是一種非線性的隨機過程,其嚴格解可由著名的Navier-Stokes(N-S)方程導出,然而,從數學上嚴格求解N-S方程至今仍是一個難題.1941年,蘇聯學者Kolmogorov[1]發展了一種運用統計學方法描述湍流的統計規律,雖然這種統計方法對實際復雜的湍流運動過程做了一些簡化和近似,但是比起理論上嚴格求解N-S方程,這種方法顯得更為簡易和方便.我們現在所知的光波在湍流大氣中的傳輸理論研究,幾乎都是基于Kolmogorov的湍流統計理論發展而來的.

另一方面,部分相干光理論經過Zernike,Wolf,Gori及Friberg等幾代科學家的發展和完善,已經形成了一套比較完善的理論框架.部分相干光束也已經被廣泛地應用在慣性約束核聚變、激光掃描、非線性光學等領域.高斯-謝爾模光束是部分相干光中最為熟知的一種模型(光強分布和相干度分布都滿足高斯分布),被廣泛應用于各種理論和實際計算中.目前,研究部分相干光束傳輸的主要方法有張量方法、二階矩方法、高階矩方法、Wigner分布函數方法和數值計算等方法.

2000年以來,受到自由空間光通信等應用的推動,大氣湍流效應抑制的研究成為一個重要的課題.目前已知的抑制技術和方法有:大孔徑接收技術、編碼調制技術、自適應光學方法、部分相干光束作為信息載體傳輸方法等.作為一種重要的湍流效應抑制方法,部分相干光束在湍流大氣中的傳輸特性的研究重新引起了國內外研究人員的重視,已有大量關于部分相干光束在湍流大氣中傳輸特性的研究文獻發表,推動了湍流理論和光傳輸理論的進一步發展.特別是近幾年來,光場調控逐漸成為光學領域的熱點研究課題之一,部分相干光束的相干結構、相位和偏振調控理論及技術都得到了長足的發展,多參量調控的部分相干光束與湍流大氣的相互作用也逐漸成為一個重要研究課題.

本文第2節回顧了部分相干光束在湍流大氣中傳輸研究的歷程和進展;第3節簡要介紹了部分相干光束在湍流中傳輸的理論模型及二階統計特性,包括平均光強、相干度及光束發散角等二階矩的計算方法;第4節主要介紹部分相干光在湍流大氣中的相位屏數值模擬方法;最后簡要展望了部分相干光束在湍流大氣中傳輸研究今后的發展方向.

2 部分相干光束在湍流大氣中傳輸研究回顧

光波在湍流介質中傳輸理論的研究可以追溯到激光器發明之前,在1960年和1961年,蘇聯學者Chernov[2]和Tatarskii[3]分別發表了討論光波在湍流介質中的光束展寬、光強閃爍、相干性演化等特性的著作.從那時起,各國學者對光波在湍流大氣中的傳輸行為進行了深入的研究,詳細討論了光波在湍流中的強度分布、光束漂移、光斑展寬等物理特性.這期間主要的理論研究方法包括:Rytov微擾法、差分方程法、梯度近似法、幾何光學近似方法等[4?6],研究對象主要是球面波、平面波和高斯光波.1971年,Lutomirski和Yura[7]引入了一種新的方法,就是現在熟知的廣義惠更斯-菲涅耳積分法,處理有限孔徑的平面波在湍流介質中的傳輸問題.1972年,Yura[8]運用這種方法得到了高斯光束在湍流介質中傳輸后的互相干函數,在一定條件下可以退化到平面波和球面波情況.廣義惠更斯-菲涅耳積分法可以方便地處理不同模式的光束(包括部分相干光束)在湍流中的平均光強、光束展寬、相干性退化等特性,因此目前仍被研究人員廣泛采用并用來研究部分相干光束在湍流大氣中的傳輸行為.實際上,早在1967年,蘇聯學者Feizulin和Kravtsov[9]就獨立地發展和運用廣義惠更斯-菲涅耳方法研究了高斯光束在湍流大氣中的光束展寬.

1972年,Kon和Tatarskiis[10]研究了部分相干光束(高斯-謝爾模光束)在湍流大氣傳輸過程中有效相干長度及光束的初始相干長度對光束平均光強的影響,這可能是最早的關于部分相干光束在湍流大氣中傳輸行為的研究文獻.1978年,美國學者Leader[11]基于廣義惠更斯-菲涅耳原理的瑞利-索末菲積分公式得到了高斯-謝爾模光束在湍流大氣中傳輸的互相干函數和平均光強的解析表達式,并研究了相干特性和光強在湍流中的演化.隨后,Wang和Plonus[12]結合廣義惠更斯-菲涅耳原理和Rytov相位結構二次近似方法得到了在弱湍流條件下高斯-謝爾模光束的互相干函數的普適表達式,在他們的研究中,還考慮了初始光源準直特性.除了部分相干光束的光束展寬、平均光強、相干性等二階統計的建模,研究人員也開始關注理論上更難處理的部分相干光束在湍流介質中的光強起伏(閃爍)特性的研究.1981年,Leader[13]研究了在弱湍流條件下任意尺寸大小的準直或聚焦的部分相干光束在傳輸過程中光強閃爍因子,研究中運用了廣義惠更斯-菲涅耳積分和湍流中球面波四階關聯統計的方法.隨后,Wang等[14]運用和Leader類似的方法進一步考慮了在接收面為有限孔徑(孔徑平滑效應)的條件下部分相干光束經過弱湍流大氣傳輸后的光強閃爍因子.蘇聯學者Banach等[15,16]在此期間也研究了部分相干光束在湍流大氣中的光強閃爍,其研究分成兩種類型,即探測器的響應時間快于和慢于部分相干光束本身光強變化速度,發現兩種類型對實驗探測到的光強閃爍有重要的影響.然而在此期間,學者們的研究重點放在理論研究上,實驗研究成果較少.理論研究發現在滿足“慢探測器”的前提下,部分相干光束與完全相干光束相比,能有效地降低湍流引起的光強閃爍,具有重要的應用價值.在1990—2000年,部分相干光束在湍流大氣中傳輸特性的研究似乎突然被研究人員忽視了,只有少數的研究成果發表[17,18].

從2002年開始,受到自由空間光通信、激光雷達等應用發展的影響,部分相干光束在湍流介質中的傳輸行為又重新引起了研究人員的興趣.Gbur和Wolf[19]從理論上研究了部分相干光束在湍流介質中光束平均光斑半徑的演化,并從這個角度揭示了部分相干光束受到湍流的影響比相同條件下的相干光束小.隨后,Dogariu和Amarande[20]利用熱板模擬大氣湍流效應,從實驗上驗證了部分相干光束的平均光斑半徑展寬受到湍流的影響比相干光束小,并隨著光束相干長度的減小而進一步減小.Shirai等[21]利用部分相干光束的相干模式分解,研究了該光束在湍流介質中的光束展寬和平均光強分布,并從模式分解角度解釋了該光束受到湍流擾動較小的物理原因.同期,美國陸軍實驗室Ricklin和Davidson[22,23]著眼于部分相干光束在自由空間通信中應用的可能性,對部分相干光束在弱湍流中的平均光強、相干性演化、光強閃爍等特性做了進一步研究,并從理論上分析了誤碼率和光束相干性的關系,得到低相干性光源能大幅降低誤碼率的結論.Korotkova等[24]利用激光束經過隨機擾動屏模擬部分相干光束,得到了計算光強閃爍因子的解析形式,并分析了該光束在湍流大氣中的光強閃爍因子和誤碼率的大小,也得到了與文獻[23]類似的結論.此后,國內外學者對部分相干光束及其他類型的光束在湍流介質中傳輸的研究投入了極大的熱情,每年有大量的研究文獻發表.

這一時期,研究人員關注的重點是光束的模式、偏振態、相位等與湍流介質相互作用引起的一些特異的傳輸特性.各種模式的光束,如拉蓋爾-高斯光束[25]、雙曲余弦高斯光束[26]、厄米-余弦-高斯光束[27],橢圓高斯光束[28],徑向偏振光束[29]、貝塞爾-高斯光束[30]、艾里光束[31]、渦旋光束[32]等,在湍流大氣中的平均光強、光束展寬、光斑漂移等特性得到了詳細的研究.盡管初始的光波模式不盡相同,研究人員得到的結論可以歸納為:1)光束在湍流大氣中傳輸足夠遠的距離時,光強分布逐漸退化成高斯分布,與初始光束的光強分布無關,且湍流強度越大,退化成高斯分布的傳輸距離越短;2)光束發散角和光束展寬隨湍流強度的增加而增大.與此同時,研究人員還把目光轉向各種類型的光束陣列在湍流大氣中平均光強和發散角特性[33?39],研究發現與單束光波相比,陣列光束也能有效抑制湍流引起的光強閃爍[40,41].在部分相干光束湍流傳輸方面,不再是考慮單純的高斯-謝爾模光束的傳輸特性,與完全相干光束類似,研究人員把光束的偏振態及模式與相干性結合起來考慮在湍流大氣中的平均光強演化、光束發散角等二階統計特性.相干性和光波模式結合各類高階部分相干光束,包括帶扭曲相位的部分相干高斯-謝爾模光束[42,43]、部分相干高階高斯光束[44?51]、部分相干平頂及空心光束[52?55]等的平均光強和光束發散的統計特性得到了廣泛的研究.同時,部分相干部分偏振光束(隨機電磁光束)在湍流大氣中的偏振特性演化、平均光強演化特性也得到了深入的研究[56?67].一個比較有意思的研究結果是隨機電磁光束在湍流大氣中傳輸時,光束在遠場的偏振度的值會恢復到光源面的偏振度的值[58],但這個結果至今還未得到實驗證實.

由于光強閃爍與信息傳輸的誤碼率直接相關(光強閃爍越小,誤碼率越低),因此光強閃爍因子的研究具有更實際的意義.從理論上來講,光束光強閃爍因子的計算比光束平均光強、發散角等二階統計要復雜得多,而且基于廣義惠更斯-菲涅耳原理和Rytov四階復相位統計理論得到的結果與從近軸波動方程出發得到結果是不相符的.一般認為從近軸波動方程出發得到的結果更為接近實際結果,所以基于廣義惠更斯-菲涅耳原理得到的部分相干光強閃爍因子結果只能從一定程度上得到一些正確的結論.但由于這種方法能夠得到近似的解析解,還是被很多研究人員采用.基于此理論,人們研究了一些不同類型的部分相干光束,如部分相干平頂光束[68]、隨機電磁光束[69]、部分相干多高斯光束[70]、貝塞爾關聯光束[71]、帶扭曲相位部分相干光[72]等的光強閃爍因子.研究結果表明,這些部分相干高階光束的光強閃爍因子在相同條件下比高斯-謝爾模光束的低.但需要注意的是,部分相干高階光束的發散角在同等條件下比高斯-謝爾模光束的大,似乎是犧牲了接收端的能量達到降低閃爍因子的效果,這個結果在完全相干高階高斯光束中也適用.

近年來,光場調控成為光學領域的熱點研究課題之一,部分相干光束的相干調控研究引起了國內外眾多研究人員的興趣,一系列具有不同相干結構的部分相干光束模型被理論建模[73].部分相干光束相干結構與湍流介質相互作用引發的一些新特性及新效應的研究成為一個重要的課題.各類具有特殊相干結構的部分相干光束在湍流大氣中傳輸的平均光強、質量因子、光束擴散等特性得到了深入的研究[74?87].由于受到湍流和相干結構兩個因素的影響,這類部分相干光束在湍流介質中的平均光強首先會演化成一些特殊的形狀,如平頂分布、空心分布等,然后逐漸退化為類高斯分布.值得指出的是,在同等條件下,特殊相干結構的部分相干光束的發散角比傳統的高斯-謝爾模光束要大.這類特殊相干結構的部分相干光束在湍流介質中的光強閃爍因子更值得關注,尤其是非均勻關聯光束,它在自由空間中傳輸會出現類似于“自聚焦”的現象[88].Gu和Gbur[89]研究了弱湍流中非均勻關聯光束的光強閃爍因子,結果發現在合適的參數下,該光束比傳統的高斯光束不僅具有更低的閃爍因子,而且中心區域的光能量更大,這就解決了部分相干光束發散角過大導致光能量發散較快的問題.我們課題組在理論上研究了多高斯關聯光束在弱湍流大氣中的光強閃爍因子,發現這種光束也能有效降低閃爍因子[90],該實驗結果被美國邁阿密大學Korotkova及美國海軍學院Avramov-Zamurovic教授在戶外實驗中驗證[91,92].

總體而言,近幾年有關激光束經過湍流大氣傳輸的研究文獻主要關注不同初始參數(如偏振、相位和相干結構)的激光束與湍流介質相互作用后的統計特性,研究的目的一方面是探討不同類型的光源與湍流相互作用的基本物理特性,更為重要的是期望調控光源的參數達到一些更優的效果,比如更低的光強閃爍、更高的能量接收效率等.

3 部分相干光束經過湍流大氣的傳輸模型

3.1 部分相干光經過湍流大氣傳輸的平均光強和相干性統計特性

大氣層中空氣無規則的運動導致空氣的氣壓、溫度、密度等無規則起伏稱為大氣湍流.而大氣的折射率取決于上述參數,因此大氣的折射率也隨空間和時間做無規則的變化,光波在湍流中的效應主要表現為強度起伏(光強閃爍)、相位起伏(相位的空間、時間起伏)和光束漂移(方向起伏)等.一般而言,湍流屬于弱散射介質范疇,因此光束的后向散射效應及偏振退化(耦合)效應可以忽略不計;再者,我們還需要假設在光束傳輸方向上折射率起伏的關聯函數服從狄拉克函數分布.運用上述假設,從經典電磁理論出發,光波在湍流中的標量亥姆霍茲方程表示為

式中,U(R)表示光束的某一個電場分量;R≡(x,y,z)是空間三維坐標,其中光束假定沿z方向傳播;k=2π/λ是光波的波數,λ是光波波長;n(R)=n0+n1(R)表示湍流介質的折射率分布,其中n0≈1,n1(R)表示折射率的起伏變化,?n1(R)?≈0,角括號表示對系綜(時間)的平均.根據湍流統計理論,折射率起伏在空間兩點R1和R2的協方差函數可以表示為

式中,R≡(r,z),r≡(x,y)表示與z軸垂直平面內的笛卡爾坐標;Bn表示折射率起伏協方差(相關)函數,根據Kolmogorov湍流統計理論,在湍流慣性區域,協方差函數正比于兩點距離差的2/3次方.等式最右邊運用了馬爾可夫近似(Markov approximation),即:在光波傳輸方向上,折射率起伏服從狄拉克函數分布,An(r1?r2)是二維的協方差函數.

方程(1)最為人熟知的兩種處理方法是Born微擾法和Rytov擾動方法.Born微擾法是把光波電場分量寫成各級散射波的求和:

式中,U0(R)表示未被擾動(散射)的電場分量,U1(R)和U2(R)分別表示一級和二級散射分量.與此相對應的是,Rytov擾動方法是考慮電場分量受到一個復相位的擾動,寫成如下形式:

式中,ψ(R)表示由湍流引起的復相位擾動,也可寫成如下級數形式,

ψ1(R)和ψ2(R)分別表示一級和二級復相位的擾動.對比(3)和(4)式,Born和Rytov方法的不同點是:Born方法把擾動場表示成求和形式,而Rytov方法把擾動場表示為“相乘”形式.以往的研究中,Born方法成功地用于各種弱散射物體散射場的計算,但是在湍流領域普遍使用的是Rytov方法研究光波經過湍流介質的統計特性.究其原因,可能是Born方法更適用于短距離的散射問題,而Rytov方法更適用于光波長距離傳輸的微擾.早期的關于光波在湍流介質中的傳輸研究大多是基于Kolmogorov湍流統計理論,借助于Rytov方法從亥姆霍茲(近軸傳輸方程)出發討論光波的統計性質,得到了一些非常基礎性的結果[2,3],但是這種方法的數學要求較高,對于復雜高階光束以及部分相干光束,很難從數學上嚴格的求解.

進入21世紀以來,研究人員更傾向于用Lutomiriski和Yura[7]發展的廣義惠更斯-菲涅耳積分方法處理光波在湍流大氣中的統計特性.這種方法的優點是可以方便地處理各類不同的光波模式,如高階高斯光束、平頂光束等復雜激光束在湍流介質中的特性,而且在弱湍流和強湍流條件下,所得到的平均光強、光束發散角等性質能較好地符合實驗結果[93],甚至在做了二次方近似之后仍與實驗結果較好地符合[94].

圖1是光波在湍流介質中從入射面到出射面的示意圖.根據廣義惠更斯-菲涅耳原理,在湍流介質中入射面和出射面上的光波電場滿足如下積分關系:

式中,L表示從入射面到出射面的傳輸距離;r和ρ是與傳輸軸垂直的入射面和出射面的位置矢量;U0(r,0)和U(ρ,L)分別表示入射面和出射面上光波的電場分量;ψ(r,ρ,L)表示的是從入射面到出射面由湍流介質引起的Rytov復相位擾動,根據惠更斯-菲涅耳原理,在出射面上的光波是入射面上每一點發出的球面波的相干疊加,所以ψ(r,ρ,L)實際代表的是球面波情況下Rytov復相位擾動.在實際應用中,人們更關注的是光波的平均光強、發散角等物理量,對(6)式取復共軛,然后乘(6)式,取系綜平均后得到

式中,是光波任意兩點之間的系綜平均,在部分相干光范疇內,通常稱為互相干函數,包含了光波的相干信息,如果是完全相干光,不需要進行系綜平均運算;是出射面上的互相干函數,包含光束的平均光強、相干性等信息;等式最后一項尖括號內表示的是由湍流引起的復相位擾動的二階統計平均;尖括號中的下標“s”和“m”分別表示光源本身的振幅和相位的起伏和湍流引入的復相位二階統計.根據Kolmogorov湍流統計理論和Rytov微擾(只考慮到二階微擾),(7)式最后一項可以表示為[95]

其中,ρd=ρ1? ρ2和rd=r1?r2分別表示出射和入射面上的位置矢量差;κ是空間頻率矢量κ≡(κx,κy)的模,κ與空間坐標r組成傅里葉變換對;J0是零階貝塞爾函數;Φn(κ)表示湍流譜密度,是(2)式協方差函數的傅里葉變換.其中最為人熟知的湍流譜密度函數是Kolmogorov譜,它的表達式為

式中,是折射率結構常數,是衡量湍流強弱的一個參數,通常情況下,當時,稱為“弱湍流”,當時,稱為“強湍流”這種對湍流強弱的劃分方法也不是絕對的,因為湍流的強弱也與在湍流中的傳輸距離密切相關;L0和l0是湍流的外尺度和內尺度常數.(11)式適用的條件只是在湍流的慣性區域,即譜空間頻率值在內尺度和外尺度數的倒數之間.如果假定外尺度為無窮大,湍流譜在κ非常小時發散(趨于無窮大),為了在計算上更好地應用,Tataskii和von Karman對湍流譜進行了數學上的擴展,使之能包含全部的空間頻率,又不含有奇點.現在常用的湍流為von Karman湍流譜,其表達式為

其中κm=5.92/l0,κ0=C0/L0,C0的值根據具體條件可以取不同的值,一般為2π—8π,其他湍流譜的模型可以參考文獻[96].在現實環境中,大氣湍流在不同的地理區域,同一天不同的時間段及不同的氣象條件下都是不同的,而且從物理上而言,它的統計特性并不是嚴格靜態的,統計特性隨時間的變化而變化,所以用固定的湍流譜模擬光波的統計性質只能從一定程度上反映光波的變化.(12)式的湍流譜還可以擴展到non-Kolmogorov情況.需要指出的是,在得到(9)和(10)式的前提是運用了馬爾可夫近似條件及假定湍流是各向同性的.把(9)和(10)式代入(7)式,一般來說是很難得到解析表達式的.為了得到近似的解析表達式,還需要引入一些近似條件,對(10)式做進一步簡化.一種常用的簡化是認為(10)式中的積分函數只在貝塞爾函數的變量κ|(1?ξ)ρd+ξrd|?1范圍內有值,其他區域的值趨于0,在這個條件下,貝塞爾函數可以只取泰勒級數的前兩項作為近似值,即:J0(x)≈1?x2/4.把這個條件代入(10)式,積分后可以得到如下解析式:

運用(13)式,大部分的部分相干光束模型在湍流介質中的平均光強和相干性分布都能得到解析形式,可以比較方便地分析這類光束的平均光強及相干性的演化過程.值得注意的是,運用貝塞爾函數級數展開的前兩項作為近似是在強湍流條件下得到的[21],現有的部分文獻并不遵照這個條件使用級數展開研究部分相干光束的二階統計特性,從一定程度上來說會引入一定的誤差.另外一種在大氣湍流介質中常用的二階復相位擾動統計模型是基于球面波在湍流中的波結構函數并結合二次近似條件[22]:

其中,D是從入射面到出射面的球面波結構函數;()是球面波在湍流大氣中傳輸的相干長度.如果湍流譜為Kolmogorov譜的形式,從數學上得到的嚴格解是ρ0的5/3次方,而不是2次方的形式,但是為了計算的方便,大多數文獻采用了二次方近似條件.由二次方近似而引起的計算誤差一般都在可接受的范圍內.

圖1 光波從入射面經過湍流大氣到達出射面的示意圖Fig.1.Schematic for the propagation of light beams through turbulent atmosphere from input plane to output plane.

3.2 部分相干光束在湍流大氣中的平均光斑寬度及發散角

光波在湍流介質中傳輸的光束平均光斑寬度及發散角的變化能提供光束能量發散快慢的信息,同時也能計算光束在傳輸過程中的質量因子的演化.光束的平均光斑寬度和發散角根據定義可以從光束的平均光強信息中直接得到,更全面地計算部分相干光束在湍流大氣中階矩的統計信息,需要借助于部分相干光束在湍流介質中的Wigner函數.四川大學張彬課題組[97]得到了部分相干光束在湍流介質中傳輸過程中光束二階矩矩陣,可以方便地得到各類光束的任意階矩信息.光束在傳輸過程中的平均光斑寬度定義為[21]

根據文獻[19],光束的平均半徑可以表示成如下普適的形式:

(17)式右端第一項表示光束的初始(光源面)的光斑寬度;第二項表示的是光束在自由空間中傳輸過程中由衍射引入的光斑發散,與傳輸距離的平方成正比,是自由空間中遠場發散角;第三項表示的是由湍流介質引入的光束的額外發散,與傳輸距離的三次方成正比,其中

(18)式表明第三項只與湍流特性有關,而與光束的初始狀態無任何關聯.這就是說,在傳輸距離足夠大或者湍流強度足夠強(F2足夠大),光束的平均光斑半徑只取決于第三項,即湍流引起的光束擴散,而且幾乎所有光束的平均半徑都是一致的,與光束的初始參數無關.如果初始光斑是橢圓形狀,在湍流大氣中橢圓率會逐漸減小,最終變成近似圓形.

要得到部分相干光束任意階矩的信息,最方便的方法是借助于部分相干光束的Wigner分布函數:

其中,ρs=(ρ1+ρ2)/2,Γ(ρs,ρd,z)是部分相干光束在出射面上的互相干函數,θ是與部分相干光束平均發散角相關的一個量.從Wigner函數出發,光束沿x軸和y軸的平均光斑半徑及發散角階矩定義為

P表示光束所攜帶的總能量.根據(20)式,部分相干光束的任意階矩都可以求得.利用Wigner函數分布具體計算部分相干空心光束、部分相干平頂光束及扭曲部分相干光束的二階矩的方法,可參考文獻[55,98,99].

3.3 部分相干光束在湍流大氣中傳輸的光強閃爍

光波在湍流介質中的傳輸效應,除了光束發散角變大、相干性退化、光斑位置的隨機漂移等,最主要的是光強隨時間發生隨機變化(光強起伏).晚上我們觀察某些星星時,會發現星星“眨眼睛”現象,這就是星星“發出”的光經過地球大氣湍流引起的光強起伏.在自由空間光通信中,這個由湍流引起的隨機光強起伏是導致系統誤碼率上升的主要因素.通常,用閃爍因子定義光強起伏的強弱:

式中,是接收面上ρ點處的瞬時光強;是平均光強;尖括號表示對系綜的平均.從(22)式看出,閃爍因子是光強起伏的歸一化協方差.

對于部分相干光束來說,需要考慮三個特征時間的大小:1)部分相干光束自身光強擾動的特征時間τs;2)大氣湍流介質隨時間變化快慢的特征時間τa;3)探測器探測光強的積分時間τd.這三個特征時間的大小,將會大幅度影響探測到實際的光強閃爍因子的大小.如果τd?τs,探測器“感受”不到部分相干光束自身的光強擾動,如果τd?τs,那么探測器能感知部分相干光束自身引起的光強擾動.據此可以把探測器分成兩類,一類是“快探測器”,滿足條件τd?τs?τa,即探測器的探測時間要遠小于部分相干光束自身光強擾動時間和湍流介質變化的時間,它可以同時探測到湍流引起的和光源自身擾動導致的光強變化;另一類是“慢探測器”,滿足τs?τd?τa,即探測器的探測時間介于湍流介質變化特征時間和部分相干光束自身光強擾動時間,這里部分相干光束自身引起的光強變化時間要遠遠小于湍流介質變化時間,所以探測器測量只是湍流介質引起的光強起伏.現階段大部分研究部分相干光束在湍流介質中的光強閃爍特性的文獻都是基于“慢探測器”原理而建立起來的理論框架進行的.基于廣義惠更斯-菲涅耳原理,部分相干光束在湍流介質傳輸過程中入射面和出射面上的四階統計特性的關系如下:

(23)式積分中尖括號下標“s”和“m”分別表示對部分相干光束自身引起光強起伏的平均和湍流介質復相位擾動引起的統計平均.在慢探測器理論框架下,并假定部分相干光束的復振幅變化滿足高斯統計,這樣我們可以把部分相干光束的四階統計簡化為

其中Γs為入射面上光束的互相干函數.湍流介質引起的復相位四階統計可以簡化為

E1和E2表達式見(9)和(10)式,E3表達式為

但是,(25)式過于復雜,利用(25)式很難得到部分相干光束在湍流介質傳輸過程中的解析表達式.一種可行的方法是對(25)式簡化,得到一些近似表達式.目前較多的是在弱湍流近似下,(25)式可以近似表示為

式中,1,2,3,4)是球面波的波結構函數;是振幅對數相位結構函數;是球面波對數振幅和相位的相干長度;是對數振幅關聯函數;是球面波對數振幅方差.基于(27)式,可以計算一些相對簡單的部分相干光束模型的光強閃爍因子[41,72,100],但是對于一些復雜的部分相干光束,依靠(27)式還是很難得到解析式.

除了上述方法之外,另外一種計算部分相干光束在湍流中的閃爍因子的方法是在完全相干光束的出射面上放置一個滿足高斯統計的隨機相位屏,結合湍流介質的譜特性,這種方法成功地得到了高斯-謝爾模光束和隨機電磁光束的光強閃爍因子[24,69].從原理上來說,這種方法可推廣到其他更為復雜的部分相干光束情況,但是這個推廣至今還未見文獻報道.2006年,Berman和Chumak[101]報道了另外一種光子流概率密度的方法計算部分相干光束的閃爍因子.

近幾年,本課題組開展了一些部分相干光束經過實驗室模擬湍流后的光強閃爍因子的實驗研究.相比于同等條件下的部分相干光束,附加一個渦旋相位(部分相干渦旋光束)后能有效地降低光束經過湍流后的光強閃爍因子,并且光強閃爍因子還隨著渦旋拓撲荷數的增加而減小[102].除了相位的影響,我們還研究了部分相干徑向偏振光束經過湍流介質后的閃爍因子,與渦旋相位類似,疊加徑向偏振后,光強閃爍因子也進一步減小[103].

4 部分相干光經過湍流大氣傳輸的相位屏數值模擬方法

4.1 隨機相位屏模擬完全相干光束在大氣湍流中的傳輸

在第3節,我們主要回顧了基于廣義惠更斯-菲涅耳原理和Rytov微擾理論計算部分相干光束經過湍流介質的傳輸特性.由于Rytov方法是基于長時間統計平均后的特性,所以只能計算光波在湍流介質中的平均統計特性,即平均光強、光斑半徑等,而無法得知光束“瞬時”的強度特性.根據實驗測量的數據,高斯光束經過湍流介質傳輸后出射面上的光強是偏離高斯形狀的,會發生光斑變形、扭曲,在強湍流條件下,光斑會瞬時分裂成幾個或多個散斑.

多相位屏是目前運用最廣泛的模擬光波經過湍流大氣傳輸的數值模擬方法,該方法不僅可以得到光束的平均光強、相干性演化及光強閃爍因子等二階和四階統計特性,還能得到光束的瞬時光強分布.在這一節中,先介紹多相位屏方法的原理,然后再探討把多相位屏方法運用到部分相干光束.相位屏方法的原理和方法在文獻[104]中已經有詳細的描述和介紹,先簡單回顧該方法的原理和流程.從(1)式所表達的湍流中的亥姆霍茲方程出發,如果考慮的光束是沿z方向傳輸的傍軸光波,那么U(R)可以寫成如下形式:

其中,R≡(x,y,z),V(R)是關于z的緩變函數.把(28)式代入(1)式,運用湍流折射率起伏n(R)=n0+n1(R)關系,經過化簡得到如下傍軸近似下光束傳輸方程

其中,(R)是湍流折射率起伏,其平均值為零.從(29)式可以看出湍流的擾動來自于第3項.如果只考慮自由空間光波的傳輸方程(第3項為零):

其中,r≡(x,y).對(30)式中的V(r,z)做關于r的傅里葉變換,得到

其中,κ≡(κx,κy)是r對應的空間頻率;函數F是V的傅里葉變換.(31)式從z′面傳輸到z平面的一個解可以表示為

根據幾何光學,在實空間相位隨機擾動的關聯函數可以表示成

圖2 光波在多相位屏中傳輸的示意圖Fig.2.Schematic for light beams propagating in the multi-random phase screen.

把(2)式代入(33)式,利用狄拉克函數的積分特性得到:

An(r1?r2)是與傳輸軸垂直的平面內湍流折射率擾動的協方差(關聯)函數,與湍流譜密度的關系為

根據(33)—(35)式,可以得到湍流中相位關聯譜密度與折射率關聯譜密度(相位關聯函數的傅里葉變換)的關系:

根據(36)式,只要給定湍流的折射率譜密度函數,就能通過數值方法得到相位屏上的隨機相位.具體計算方法如下:首先產生N×N行和列的滿足方差為1的高斯統計隨機數,然后產生的隨機數矩陣與相位關聯譜密度的平方根相乘,其中?k=2π/(N?),?為離散的空間頻率的最小間隔(一個像素點大小).最后對相乘后的矩陣進行二維離散傅里葉變換得到復數相位的矩陣θ1+iθ2.θ1和θ2任取一個都可以作為相位屏的隨機相位矩陣.這樣相位屏數值模擬方法的具體流程如下:

1)對發射面上光束的電場做傅里葉變化,通過自由空間傳輸到達第1個相位屏前,

2)光束穿過第1個隨機相位屏,受到相位屏的相位擾動,

3)對電場做傅里葉變換,光束再通過自由空間傳輸到達第2個相位屏前,

4)光束穿過第2個隨機相位屏,受到相位屏的相位擾動,

如此循環,直到通過所有的湍流隨機相位屏.上述各式中,?z=z/m,z是光束的傳輸距離,m為湍流隨機相位屏的個數;θi(ri)是第i張湍流隨機相位屏的擾動相位.到達接收面的光波的電場分布認為是通過湍流介質后的瞬時電場,要用數值模擬法得到光波的平均統計特性,需要生成n組(每一組包含m個相位屏)相位屏組合放置在傳輸路徑上,n組之間的電場認為是不相干的,利用這n組電場就可以計算平均光強、相干性變化及光強閃爍因子等特性.

在數值模擬中,相位屏間隔的距離?z之內屬于弱湍流的范疇,一般來說,是用平面波在?z距離之內的Rytov方差(平面波的閃爍因子)0.1來簡單的判定.并且,另一個需要滿足的條件是在傳輸距離?z內Rytov方差是整個傳輸距離Rytov方差的10%以內.在合成相位屏幕過程中,由于Kolmogorov湍流譜:在κ→0時趨于無窮大,在零頻附近,湍流譜隨κ的變化而急劇變化,而數值模擬中一般是等間隔采樣的,這樣導致在零頻附近湍流譜的誤差增大,為了減小在零頻處的誤差,研究人員提出了一些采樣方法來修正零頻附近的誤差[104,105].

4.2 部分相干光束經過湍流大氣傳輸的相位屏模擬方法

與完全相干光不同,部分相干光束一般是用交叉譜密度函數或者互相干函數來描述它的統計特性,而不是直接以光束的電場來描述,所以相位屏模擬方法無法直接應用到部分相干光束的情況.一種可行方法是相干模式分解方法,即把部分相干光束看成是不同模式的完全相干光束的非相干疊加[106],

式中,W是部分相干光束的交叉譜密度;ω是光波的圓頻率;λn(ω)是非負的本征值,代表模式的權重;En(r,ω)表示其中一個模式的電場.利用(41)式,把組成部分相干光束的每一個模式分量經過同樣的n個相位屏組傳輸進行數值模擬計算,然后非相干疊加,得到部分相干光束的統計特性.然而,對任意的部分相干光束進行(40)式的模型分解并得到對應的解析解還有一定的難度,目前只有少數幾種部分相干光束、如高斯-謝爾模光束,帶扭曲相位的高斯-謝爾模光束有解析形式的模式分解[107,108].

另外一種方法是在完全相干光束的光源面上設置一個滿足一定統計特性的隨機相位屏(隨機相位屏的制作方法與湍流隨機相位屏的方法一致,只是譜密度函數不同)來模擬部分相干光束[109],但是純實數的隨機相位屏只能用來模擬相干性分布是高斯函數的部分相干光束,研究人員利用這個類型的隨機相位屏開展了高斯-謝爾模光束、部分相干平頂渦旋光束經過湍流大氣傳輸的相位屏數值模擬計算[110,111].純相位屏雖然可以在實驗上通過空間光調制器方便地產生,但是由于純相位屏的相位關聯函數與所產生的部分相干光束的相干函數并不一致,導致在數值計算上只能模擬關聯函數為高斯函數的部分相干光束,存在一定的局限性.復數屏(光源的振幅和相位同時進行調制)能很好地克服這一缺點[112],復數屏的關聯函數嚴格地等于部分相干光束的關聯函數,因此可以用來模擬任意相干結構的部分相干光束.假設一完全相干光束經過復數屏調制后的電場為

其中,E0(r,0)是調制前的光場的復振幅;T(r)為具有一定空間關聯特性的隨機復透射函數(復數屏),假設T(r)滿足高斯統計,其一階統計平均為零,二階統計只依賴于兩點間的距離變化,

?r=r1?r2,二階統計平均為對應的光源的空間關聯(相干)函數.

數值模擬產生復屏的方法與產生隨機相位屏的方法類似,首先我們需要獲知部分相干光場的空間關聯函數的功率譜密度函數,對空間相干度函數進行傅里葉變化,即

其中,f是空頻域矢量.在傅里葉域中,復屏又可以表示為功率譜密度函數的平方根和零均值、單位方差的復高斯隨機數的乘積,即

在湍流理論中,一般假設光源的振幅、相位變化時間要比探測器的積分時間小很多;探測器的積分時間要比湍流引起的相位變化時間小很多,即τs?τd?τa,也就是說探測器僅僅只測量湍流引起的光束特征隨時間的變化.基于這個關系,部分相干光束在大氣湍流中的數值模擬邏輯過程表述如下:

1)湍流相位屏的合成,然后固定在傳輸路徑上(湍流相位屏的合成上文已提及);

2)通過K1張復屏合成部分相干光束,并使每一幀(一張復屏)電場單獨通過由多相位屏模擬的大氣湍流(上文提及)到達接收面;

3)在接收面接收K1幀經過多相位屏的電場,并對K1幀電場取平均,得到的平均值就是通過大氣湍流之后的一幀部分相干光束;

4)步驟1—3循環K2次,得到K2幀部分相干光束通過大氣湍流的結果,可以利用這K2幀結果分析計算部分相干光束通過大氣湍流之后的統計特性.

上述數值模擬方法也可以推廣用來處理部分相干矢量光束經過湍流大氣傳輸.

5 總結與展望

本文回顧了部分相干光在湍流大氣中傳輸行為的研究進展、基本傳輸模型理論及相位屏模擬的數值方法.與完全相干光束相比,部分相干光束在湍流大氣中傳輸能有效抵抗湍流帶來的光束展寬、光斑漂移、光強閃爍等負面影響.但是,也應該注意到這種抵抗負面效應的效果是犧牲了接收面上的能量接收率,因為同等條件下,部分相干光束的發散角比完全相干光束要大.惟一例外是非均勻關聯光束,在合適的參數下,它不僅具有較低的光強閃爍因子,而且有較高的能量接收效率,但是如何高效地產生這類非均勻關聯光束[113,114],目前還是一個難題.

近年來,光場調控受到越來越多研究人員的關注,逐漸成為光學領域的熱點研究課題之一.光場的多維調控,包括振幅、相位、偏振、相干性等的方法和技術越來越成熟,這些特殊調制光場在湍流大氣中的傳輸行為及與湍流介質的相互作用是值得重點研究的一個課題,特別是利用光束的某些特性變化反演大氣湍流的參數.近幾年,關于部分相干光束在湍流中的研究文獻大多是關于理論計算和數值模擬研究光束的傳輸行為,相應的實驗研究文獻較少.開展戶外部分相干光束在湍流大氣中的實驗研究還需要進一步加強,這有待于部分相干光束的產生和調控技術的相對成熟.