前緣曲率變化對平板邊界層感受性問題的影響?

沈露予 陸昌根

(南京信息工程大學海洋科學學院,南京 210044)

1 引 言

邊界層內層流向湍流轉捩的過程是自然界中普遍存在的物理現象,同時也是一個相當復雜的物理過程,它受到自由來流湍流、前緣曲率、壁面粗糙以及聲波擾動等各種因素的影響.其中,感受性階段是層流向湍流轉捩的起始階段,誘導產生的不穩定擾動波的幅值、相位、色散關系以及形狀函數等初始條件[1]是邊界層轉捩預測與控制的關鍵參數;這些參數對飛行器、船舶以及車輛等工程設計至關重要.邊界層感受性問題一般可分為前緣感受性和當地感受性[2,3].前緣感受性是由于平板前緣附近區域非平行性與外界擾動作用在邊界層內被激發出不穩定擾動波的物理過程;當地感受性則是由自由來流擾動與壁面局部粗糙或吹吸相互作用激發邊界層內被誘導不穩定擾動波的感受性過程.Goldstein[4]和Ruban[5]基于三層結構漸近理論在聲波擾動與壁面局部粗糙相互作用下驗證了邊界層當地感受性機制是存在的.隨后,在Goldstein[4]和Ruban[5]漸近理論的基礎上,Crouch[6],Choudhari和Streett[7]采用有限雷諾數方法研究聲波擾動與壁面局部吹吸、粗糙作用下在Blasius邊界層內激發不穩定Tollmien-Schlichting(T-S)波的感受性機制,并且發現激發產生的TS波幅值與自由來流聲波幅值和壁面粗糙高度都呈線性關系;Bertolotti[8]同樣采用拋物化穩定性方程證實二維和三維渦擾動與壁面局部粗糙相互作用下Blasius邊界層內當地感受性機制是存在的.

Goldstein等[9,10]對前緣感受性問題進行了系統的研究,采用高雷諾數方法來揭示聲波擾動作用下無限薄平板邊界層前緣感受性機制,計算獲得了相應的前緣感受性系數.Goldstein和Wundrow[11]采用漸近分析法研究了渦擾動作用下有限厚度平板邊界層前緣感受性問題.Heinrich和Kerschen[12]研究發現具有一定入射角的聲波擾動所激發邊界層內被誘導的前緣感受性系數要大于平行于流動方向的聲波擾動所激發邊界層內被誘導的前緣感受性系數.我們之前也研究了自由來流湍流作用下無限薄平板邊界層前緣感受性問題,獲得了一些有意義的結果[13].

隨后,人們發現平板前緣幾何形狀對邊界層前緣感受性具有明顯的影響,并展開了大量的研究工作.Hammerton和Kerschen[14,15]采用漸近分析法和數值模擬研究斜聲波擾動作用下拋物形前緣機翼表面邊界層感受性問題時發現,隨著攻角的不斷增大,機翼上表面邊界層內被誘導的感受性強度逐漸減弱,但機翼下表面邊界層內被誘導的感受性強度則逐漸增強;當達到臨界攻角以后,則會出現完全相反的結論.Lin等[16]研究了橢圓形前緣平板邊界層聲波感受性問題,發現當前緣橢球比逐漸增大時,邊界層內被激發出T-S波的幅值將逐漸減小;反之,邊界層內被激發出T-S波的幅值將逐漸增大.采用與Lin等[16]相同的物理模型,Fuciarelli等[17]計算了邊界層中性曲線下支附近聲波感受性問題,數值研究發現在聲波入射角為15?時邊界層內被誘導的前緣感受性系數大約是聲波入射角為0?時的四倍.Wanderley和Corke[18]也做了類似的研究,并發現邊界層中性曲線下支附近T-S波的幅值隨著前緣橢球比的增加而逐漸減少等結論.Buter和Reed[19]采用與Lin等[16]相同的方法,數值模擬了渦擾動作用下邊界層前緣感受性過程,發現邊界層內被激發產生T-S波的幅值與自由來流渦擾動的幅值呈線性關系.2010年,Schrader等[20]采用直接數值模擬(DNS)方法,研究了不同類型渦擾動作用下具有橢圓形前緣平板邊界層感受性問題,也獲得了一些有意義的結論.

2 控制方程和數值方法

2.1 控制方程

選取橢圓形前緣的短軸長度b、無窮遠來流速度U∞以及流體密度ρ為特征量,經無量綱處理獲得無量綱的二維不可壓縮Navier-Stokes方程:

其中速度為V=U+V′,V′={u,v}T為擾動速度,U為基本流速度;p為壓力;雷諾數為Re=(U∞b)/υ,υ為流體的運動黏性系數.通過雅克比行列式變換

將曲線坐標系(x,y)化為直角坐標系(ξ,η)問題進行數值計算[21].控制方程的離散方法為:時間偏導數采用修正后的四階Runge-Kutta格式;空間偏導數則采用緊致有限差分格式,即對流項為五階精度迎風緊致有限差分格式,壓力梯度項為六階精度緊致有限差分;黏性項為六階精度緊致有限差分格式;壓力方程利用四階精度的有限差分格式迭代求解[22].

2.2 自由來流湍流模型

在自由來流中的擾動主要有以下幾種形式:聲波擾動、渦波擾動、自由來流湍流以及熵擾動.聲波擾動以壓力脈動的形式來激發感受性機制,渦波擾動以單波擾動的形式來激發感受性過程以及自由來流湍流是以一群渦波擾動來激發感受性的物理現象;熵波一般以溫度擾動的形式來激發邊界層感受性機制.在自然界和工程技術實踐中,自由來流湍流是普遍存在的,通過構造一組單波擾動組成的波群來模擬自由來流湍流模型,使研究課題更加接近于真實的物理問題.本文依據文獻[23]的概念,推導建立自由來流湍流模型,其表達式為

2.3 計算區域和網格生成

圖1為本文研究具有不同橢圓形前緣平板邊界層感受性問題的計算區域:其中a為橢圓形前緣的長軸,b為橢圓形前緣的短軸,且橢圓形前緣橢球比定義為AR=a/b;橢圓形前緣頂點曲率為K=a/b2;流向區域x∈[?50,800],且平板前緣的流向位置位于x=0;法向區域y∈[?11,11];為便于比較,采用與Lin等[16]以及Schrader等[20]研究前緣感受性問題相同的參數,其雷諾數為Re=2400;采用泊松方程法[21]

生成橢圓形前緣平板邊界層感受性問題的貼體網格,詳細見圖2所示.(4)式是通過源項函數P和Q控制網格在壁面處保持正交,并在平板前緣駐點以及壁面附近加密網格,以確保數值計算的準確性,計算網格數為1000×200.

壁面釆用無滑移條件:壁面上的速度u=v=0,法向壓力梯度?p/?n=0.

隨著農業生產水平不斷的提升，農產品的質量成為人們普遍關注的話題。在農業的實際生產過程當中，由于受到諸多因素所影響，導致農產品質量偏低。因此，如何提高農產品質量，成為當前農業生產領域共同研究的課題。本文主要對目前我區土壤肥料工作中存在的問題作出論述，并分析了提高農產品質量中我區土壤肥料工作的主要發展趨勢。

無窮遠邊界條件:速度由自由來流湍流模型(2)確定;p=0.

出流邊界條件:?p/?x=0;速度采用無反射條件.

圖1 計算區域示意圖Fig.1.Computational domain.

圖2 網格生成的示意圖(AR=4)Fig.2.Generated mesh(AR=4).

3 數值結果與分析

首先,研究在自由來流湍流作用下激發具有不同橢圓形前緣平板邊界層感受性問題的物理機制,通過時間快速傅里葉分析和流動穩定性理論,證明在自由來流湍流作用下激發具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被誘導出T-S波模態的感受性機制是真實存在的,具體過程與文獻[13]相同,這里不再贅述.本文重點關注橢圓形前緣曲率變化對平板邊界層內被激發出T-S波波包的感受性過程以及波包向前傳播的群速度的影響機理;建立T-S波的幅值、色散關系、增長率、相速度以及形狀函數與前緣曲率之間的內在關系;綜合分析前緣曲率在平板邊界層內被激發出T-S波模態的感受性過程中的作用等.為方便比較計算結果,定義無量綱頻率為數值計算發現,當y>6時邊界層外緣的擾動速度均方根值經長時間計算趨于穩定值.在這里,定義邊界層外緣的穩定值為自由來流湍流度AFST,

研究了在自由來流湍流作用下具有不同橢圓形前緣曲率對平板邊界層內被激發出的T-S波波包向下游演化的作用或影響,如圖3所示.圖3給出了前緣橢球比AR分別為4和20情況下,邊界層內被激發出T-S波波包沿流向或x方向的演化規律.從圖3可知,橢圓形前緣頂點曲率較小(前緣橢球比AR=4)時邊界層內激發出T-S波波包的幅值要明顯大于橢圓形前緣頂點曲率較大(前緣橢球比AR=20)時邊界層內被激發出T-S波波包的幅值.但是,在不同橢圓形前緣頂點曲率情況下,邊界層內被激發出T-S波波包序列結構具有相似性.此外,通過近似計算方法[11]獲得了不同橢圓形前緣頂點曲率對平板邊界內被激發出T-S波波包向前傳播群速度影響的定量結果,如表1所列.從表1可知,不同橢圓形前緣頂點曲率變化對平板邊界層內被激發出T-S波波包向下游傳播群速度的影響很小,依然保持在自由來流速度三分之一左右,與實驗結果相符[24].

圖3 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出的T-S波波包沿流向的演化(y=1.3,t=2400)Fig.3.Streamwise evolutions of the excited T-S wave packets in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(y=1.3,t=2400).

表1 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出T-S波波包向下傳播的群速度Table 1.Group speeds of the excited T-S wave packets in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges.

數值計算了不同前緣橢球比情況下平板邊界層內被激發出T-S波波包最大的幅值ATSP,其數學表達式定義為

圖4 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出T-S波波包最大的幅值與前緣橢球比AR之間的關系(y=1.3)Fig.4.The relation between the maximum amplitude of the excited T-S wave packets and the leading-edge aspect ratio in the flat-plate boundary layer(y=1.3).

圖5 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出的T-S波沿流向的演化(y=1.3,t=2400)Fig.5.Streamwise evolutions of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(y=1.3,t=2400).

隨后,通過時間快速傅里葉分析方法,從圖3中分別提取獲得不同頻率的T-S波.圖5分別給出了頻率F=60和90情況下,不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出的T-S波沿流向的演化規律.圖5顯示,無論是提取獲得頻率F=60的不穩定T-S波還是頻率F=90的穩定T-S波,橢圓形前緣頂點曲率越小(即橢球比越小),平板邊界層內被激發出T-S波的幅值就越大;反之,橢圓形前緣頂點曲率越大(即橢球比越大),平板邊界層內被激發出T-S波的幅值就越小.

再依據圖5所示平板邊界層內被激發出T-S波的演化規律,可以近似計算出不同前緣橢球比情況下,平板邊界層內被激發出T-S波的色散關系和相速度的大小,具體見表2和表3所列.表2和表3數據顯示,橢圓形前緣頂點曲率(或橢球比)變化對平板邊界層內被激發出不同頻率的T-S波的色散關系和相速度的影響很小,它們之間產生的最大誤差大約為5‰.

圖6和圖7分別給出了具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出T-S波的幅值和增長率沿流向的演化規律和無限薄平板邊界層內被激發出T-S波的幅值和增長率沿流向的演化.其中T-S波的幅值ATS定義為

表2 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出T-S波的平均波數αr(Reδ?=1000)Table 2.Average wave numbers of the excited T-S waves αrin the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(Reδ? =1000).

表3 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出T-S波的平均相速度(Reδ?=1000)Table 3. Average phase speeds of the excited T-S waves αrin the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(Reδ? =1000).

圖6 具有不同橢圓形前緣平板層內被激發出T-S波的幅值沿流向的演化Fig.6.Streamwise evolutions of amplitudes of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges.

圖7 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出T-S波的增長率沿流向的演化Fig.7.Streamwise evolutions of growth rates of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges.

圖8 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出T-S波的形狀函數沿y向的分布 (a)幅值;(b)相位Fig.8.The y-direction distributions of the shape functions of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges:(a)Amplitudes;(b)phases.

最后,給出具有不同橢圓形前緣平板邊界層內被激發出T-S波的形狀函數隨y向的分布規律(形狀函數被平板邊界層內誘導出T-S波的流向擾動速度的最大值|u|max歸一化),詳細見圖8所示.從圖8可以看出,不同橢圓形前緣頂點曲率(即不同橢球比)情況下,平板邊界層內被激發出T-S波的形狀函數沿y向的分布規律幾乎完全重合.這說明無論橢圓形前緣頂點曲率如何變化,平板邊界層內被激發出T-S波的形狀函數沿y向的分布規律是相同的.

4 結 論

本文在前緣橢球比AR>2的情況下,研究橢圓形前緣曲率變化對平板邊界層感受性問題的影響,其數值結果如下.

1)當橢圓形前緣頂點曲率越小(即前緣橢球比越小)時,邊界層內被激發出的感受性現象就越強;反之,橢圓形前緣頂點曲率相對越大(即前緣橢球比越大)時,平板邊界層內被激發出的感受性現象就相對較弱;但是,當橢圓形前緣頂點曲率大到某一閾值(即前緣橢球比AR=40)后,邊界層內被激發出的感受性強度漸漸趨向于穩定狀態.

2)無論橢圓形前緣頂點曲率如何變化,在自由來流湍流作用下平板邊界層內都能被激發出T-S波波包序列的演化規律,它們之間的空間分布具有完全相似性和對稱性特性;其次,橢圓形前緣頂點曲率的改變對邊界層內被激發出T-S波波包向下游傳播的群速度幾乎沒有影響,其群速度的大小近似等于自由流速度三分之一的實驗值.

3)無論橢圓形前緣頂點曲率如何變化,對平板邊界層內被激發出不同頻率T-S波的色散關系、相速度、增長率以及形狀函數的影響很小或者幾乎不變,僅對平板邊界層內被激發出不同頻率T-S波的幅值產生顯著的影響,即當橢球比越小時邊界層內被激發出的不同頻率的T-S波的幅值越大,反之邊界層內被激發出的不同頻率的T-S波的幅值就越小.