Beta函數及其偏導數在積分運算中的應用

劉國興

摘 要：Beta函數和Gamma函數是特殊函數中兩類非常重要的函數，在許多領域都具有重要的作用。Beta函數和Gamma函數有著密切的聯系。文章討論了Beta函數和Gamma函數的一般性質，討論了Beta函數偏導數的有關性質。由于Beta函數和Gamma函數有多種形式的積分表示，Beta函數及其偏導數在定積分、廣義積分的計算上具有重要的應用，文章對于Beta函數及其偏導數在積分運算中的應用進行了研究。

關鍵詞：Beta函數 Psi函數 Gamma函數

中圖分類號：O174.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）05（a）-0183-02

Abstract：Beta functions and gamma functions are two very important functions in special functions， which play an important role in many fields. Beta functions are closely related to gamma functions. The article discusses the general properties of Beta functions and Gamma functions， and discusses Beta. The related properties of partial derivatives of functions. Because Beta functions and Gamma functions have multiple forms of integral representation， Beta functions and their partial derivatives have important applications in the calculation of definite integrals and generalized integrals. The article is about Beta functions and their partial derivatives. The application in the integral operation has been studied.

Key Words：Beta function； Psi function； Gamma function

Beta函數和Gamma函數是特殊函數中十分重要的兩種函數，在許多領域具有重要的作用。由于Beta函數和Gamma函數有多種形式的積分表示，Beta函數與Gamma函數有著密切聯系，Beta函數和Gamma函數在定積分、廣義積分的計算上具有重要的應用。

1 Beta函數及其偏導數

其中是雙伽瑪函數，也稱為Psi函數。

2 Gamma函數及不完全Gamma函數的相關定義

3 Beta函數和Gamma函數的性質

4 Beta函數及其偏導數在積分運算中的應用

在求解某些正常積分或非正常積分時，常用分部積分或換元積分的方法。但對某些積分，利用這兩種方法反而會使計算過程更加復雜，而利用Beta函數和Gamma函數的特殊性質，將積分運算轉化為相應的Beta函數或Gamma函數表示，則可以簡化問題的求解。

4.1 直接將積分轉換為Gamma函數或Beta函數

4.2 通過代換將一重積分轉化為Gamma函數或Beta函數

4.3 利用Gamma函數和Beta函數對部分廣義積分計算

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