移動荷載作用下結構彈塑性安定分析方法及其應用研究

莊妍 王孟 王康宇

摘 要：為了研究移動荷載作用下結構的安定性問題，以Melan靜力型安定定理為基礎，通過構造滿足靜力平衡條件的最佳殘余應力場，并求解移動荷載作用下結構中的真實彈性應力場，發展了一種彈塑性安定性計算方法.該方法擺脫了傳統安定性分析方法中的數學規劃運算，解決了計算中維數障礙的問題.通過與前人研究結果對比，說明本方法的正確性.基于此方法，研究了列車荷載直接作用下路基的靜力安定極限的第一類上限kI和靜力安定極限kSD，進行輪載間距L和鐵軌間距B對路基安定極限的敏感性分析，發現當輪載間距L和鐵軌間距B大于等于10a時，輪載間距L和鐵軌間距B對路基安定極限不再產生影響；通過分析材料泊松比v和內摩擦角φ對安定極限的影響，表明安定極限隨著路基泊松比的增大略有減小，但隨著內摩擦角的增大而有明顯增加；并提出了一種基于安定極限荷載包絡圖的路基安定性評價方法和設計方法，據此可對鐵路路基進行設計指導和安全性評價.

關鍵詞：安定分析；鐵路；赫茲荷載；Melan靜力安定定理；移動荷載；彈塑性材料

中圖分類號：TU4 文獻標志碼：A

文章編號：1674—2974（2018）07—0093—10

Abstract： An elastic-plastic shakedown solution is established for the shadedown analysis of the structure under moving loads.On the basis of the Melans static shakedown theorem，this method is developed by searching for the best residual stress field，and calculating the actual elastic stress field subjected to the moving loads.This method avoids the operation of mathematical programming in traditional method of shakedown analysis，and therefore obstruction due to large scale mathematical programming is overcome. The validity of this method is verified by comparing the results of the previous study. Based on this method，the upper bound type 1 shakedown limit kI and static shakedown limit kSD of railway subgrade are presented. A sensitive analysis is also presented， showing that the shakedown limit remains stable if the distance between the loads L and rails B is longer than 10a，so that the upper bound type 1 shakedown limit kI is shown. Meanwhile， by means of investigation on the influence of Poisson′s ratio and internal friction angle， it is found that the static shakedown limit kSD diminish marginally with the increase of Poisson′s ratio， while both the upper bound type 1 shakedown limit kI and static shakedown limit kSD experience a steadily growth with the increase of internal friction angle. A design method for subgrade is finally proposed based on the envelope diagram of shakedown limits， which can provide guidelines for design and safety assessment of railway subgrade.

Key words： shakedown analysis；railways；Hertz load；Melan′s lower-bound shakedown theorem；moving load；elastis plastic materials

高速鐵路無砟軌道具有乘坐舒適、方便快捷、運輸能力強等優勢，因此成為鐵路客運專線發展的必然選擇[1].隨著經濟社會的發展和“一帶一路”戰略的提出，我國高速鐵路的建設得到了快速的發展.截至2016年底，中國高鐵的運營里程已經達到2.2萬公里，占世界高速鐵路運營總里程60 %多.國家發改委等部門出臺的規劃明確指出，到2025年，中國高速鐵路通車里程將達到3.8萬公里，并形成“八縱八橫”的高鐵網.2017年6月，具有完全自主知識產權的中國標準的動車組“復興號”首發成功，最高時速達400 km/h.隨著列車運行速度的不斷提高，作為軌下基礎的路基發揮著越來越重要的作用[2]，對鐵路安全性、可靠性的要求日漸提高[3].但是現行的設計方法仍以靜態或準靜態為主[4]，對于路基臨界應力、破壞時機、塑性應變累積、永久變形的預測都是難以確定和定義的，而在研究道路結構性能時，這些都是必要因素.安定性是對結構在變化荷載作用下塑形行為的研究.通過安定分析可以確定結構的臨界安定載荷和破壞機制，為工程設計和安全評估提供準確可靠的理論依據[5].

自安定理論20世紀30年代開始建立以來，安定分析方法得到了迅速的發展[6]. 1962年，Johnson[7]利用靜力安定定理（Melan定理）求解出一個Tresca半無限空間體在移動豎向赫茲荷載作用下的安定極限.1984年，Sharp等[8]首次把安定理論引入到了道路工程領域，他們把道路問題簡化為一種平面應變問題，運用靜力安定定理對Mohr-Coulomb材料在循環移動荷載下的變形趨勢問題進行安定分析.其后，國內外許多專家學者提出，利用安定理論分析交通荷載引起的公路和鐵路結構動態響應以及永久變形，可改進設計方法，從而達到降低維修成本的目的.1995年，劉啟躍[9]提出應以鋼軌的安定極限值代替鋼軌的彈性極限值作為鋼軌的許用極限值.2010年，Francois等[10]研究了交通荷載引起的小幅循環荷載對道路結構產生的永久變形和破壞.2014年，Fang等[11]將道路結構簡化為層狀飽和半空間上的薄板，揭示了路面柔性和支撐層特性對路面系統響應的影響.2016年，Li等[12]基于安定理論建立計算有砟軌道永久變形的數值模型.

目前通用的安定性計算方法是采用數學規劃技術，用這種方法，當單元比較多或載荷空間頂點比較多時，規劃問題的約束條件就很多.這樣就形成大規模非線性規劃問題，出現所謂的維數障礙現象，使得計算量呈指數上升，內存量急劇膨脹，即使對現代計算機來說，也是件十分困難的工作，使得問題實際上不可求解[13].

以Melan靜力型安定定理為基礎，本文發展了一種彈塑性安定性計算方法，該方法通過求移動荷載作用下結構中的真實彈性應力場，并構造滿足靜力平衡條件的最佳殘余應力場，獲得靜力安定極限的第一類上限kI和靜力安定極限kSD，擺脫了傳統安定性分析方法中的數學規劃運算，解決了計算中維數障礙的問題.基于所發展的安定分析方法，將荷載簡化為單個赫茲荷載時，本文的結果與Shiau[14]和Ponter等[15]接近，說明本文的方法是正確的.對鐵路結構進行簡化，研究了列車荷載直接作用下路基的靜力安定極限的第一類上限kI和靜力安定極限kSD，進行輪載間距L和軌距B對路基安定極限的敏感性分析；分析了材料泊松比v和內摩擦角φ對安定極限的影響，并繪制了不同摩擦角材料的安定荷載包絡線.

1 經典的Melan安定性分析下限定理

Melan于1938年提出了靜力安定定理（下限定理）：如果能夠找到一個自相平衡的殘余應力場σr ij，它與由外荷載所引起的彈性應力場共同構成一個處于屈服極限之內的應力系統，則結構是安定的[16].若外部荷載用λp表示，其中p是單位荷載，λ是無量綱因子（又稱安定乘子），則靜力安定理論可表示為：

根據求解所需的條件，易知λSD≤（λⅡ，λⅢ）≤λⅠ.第二類上限λⅡ和第三類上限λⅢ不考慮殘余應力的屈服條件，因此對殘余應力沒有一個上下界的約束，求解將會變得特別困難.所以本文僅對λSD和λⅠ進行求解.

2 基于靜力安定定理的彈塑性安定分析方法

根據Melan定理，要求解靜力安定極限，就必須找到一個符合條件的殘余應力場.Hills & Sackfield[20]提出，可能存在不同的符合條件的殘余應力場，這些不同殘余應力場都可以得出同樣的安定極限.而求解的安定極限的精確度便取決于所構造的殘余應力場與真實殘余應力場的差值.根據勒沙特里（Henri Louis Le Chatelier）平衡原理[21]，結構總是以一種最佳的方式去抵抗外界的作用，所以，在屈服后的變形過程中完全有可能塑造出最佳的殘余應力場，而關鍵問題在于如何分離出這個最佳的殘余應力場.

2.1 荷載定義

交通荷載是常見的移動荷載，工程上對單個車輛輪載的模擬常采用赫茲荷載分布形式[9]（如圖1所示）：

2.2 彈性應力場求解

Hamilton[22]給出了赫茲荷載作用下半無限空間任意一點（x，y，z）應力的解析公式，因此，半空間體表面受N個輪載作用時，空間中每一點的彈性應力由每個赫茲荷載產出的應力疊加而得到.

假設第i個荷載作用點（xi，yi，0）空間三維結構中每一點（x，y，z）的彈性應力分別由豎向荷載和切向荷載獨立作用并相互疊加，即：

2.3 殘余應力場

假設材料是均勻且各向同性的，因此沿著移動荷載前進方向（x-方向）的殘余應力和塑性變形分量應與坐標位置無關.Yu等[23]假設在運動荷載作用下的臨界面為x - z平面（即與y = 常數），在這樣的平面上，對靜力安定極限有影響的殘余應力分量只有σr xx.Johnson[24]、Kapoor & Johnson[25]、Collins & Boulbibane[26]等指出，在對稱荷載作用下，切應力σr xz關于x軸是反對稱的，因此在x = 0處，σr xz = 0，而切應力σr xz又與x坐標位置無關，所以切應力σr xz對安定極限沒有影響.當然，y-方向存在不為零的應力分量σr yy.Shiau[14]利用數值模擬的方法，考慮σr xx和σr yy的殘余應力場計算得到了靜力安定極限.Wang等[27]利用Mohr-Coulomb屈服準則時，將σyy = λσe yy + σr yy考慮為中主應力，從而只考慮了殘余應力場分量σr xx對安定極限的影響，得到了與Shiau相似的結果.

因此，列車荷載作用下路基中總應力場由式（8）給出：

2.4 彈塑性安定性分析方法

應用Mohr-Coulomb屈服準則，結構中各點的屈服方程為：

3 應用研究

選擇不同p0作為單位荷載可以得到不同形式的安定極限乘子λ，但對于同一結構，不同安定極限乘子所指的是同一個安定極限荷載，為了消除這一影響，引入另一個量k（靜力安定極限的第一類上限kI = λI p0 /c；靜力安定極限kSD = λSDp0 /c.）從而將安定極限乘子進行歸一化.