一類基于相關(guān)性準(zhǔn)則的廣義加權(quán)組合評(píng)價(jià)模型

儲(chǔ) 震，楊桂元

（1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)量經(jīng)濟(jì)研究所，安徽 蚌埠 233030；2.同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 201800）

0 引言

在對(duì)某種經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行單項(xiàng)評(píng)價(jià)時(shí)，人們往往只能得到比較片面的結(jié)果。為了規(guī)避由此帶來的評(píng)價(jià)偏差，有效地整合各種評(píng)價(jià)方法的信息，學(xué)術(shù)界提出了“組合評(píng)價(jià)”的思想[1-3]。目前國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于組合評(píng)價(jià)的理論研究主要集中在評(píng)價(jià)權(quán)重的組合和評(píng)價(jià)結(jié)果的組合這兩個(gè)方面。關(guān)于評(píng)價(jià)權(quán)重的組合，汪澤焱[4]和陳偉[5]等基于加以區(qū)別的主客觀權(quán)重向量集進(jìn)行了最優(yōu)化權(quán)重組合；林元慶[6]基于不加以區(qū)別的主客觀權(quán)重向量集進(jìn)行了最優(yōu)化權(quán)重組合。關(guān)于評(píng)價(jià)結(jié)果的組合，郭顯光[3]等基于評(píng)價(jià)序值向量集進(jìn)行了最優(yōu)化組合賦權(quán)；郭亞軍[7]和陳國宏[8]基于評(píng)價(jià)數(shù)值向量集進(jìn)行了最優(yōu)化組合賦權(quán)。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，李珠瑞等[9]認(rèn)為運(yùn)用評(píng)價(jià)值進(jìn)行組合能最大限度地集結(jié)原始信息而最小化偏差，從而使組合評(píng)價(jià)值更接近真實(shí)值。隨之組合評(píng)價(jià)理論的不斷豐富和發(fā)展，近些年，李珠瑞[9]和彭張林[10]等也相繼提出了基于離差最大化、評(píng)價(jià)結(jié)論的二次組合的新方法。

通過梳理相關(guān)文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，面對(duì)評(píng)價(jià)問題“真實(shí)值”的不可觀測性，優(yōu)化組合理論似乎出現(xiàn)了某種“失靈”現(xiàn)象；與此同時(shí)，多數(shù)研究還只是處在初步嘗試階段，部分研究成果的科學(xué)性與合理性還有待理論檢驗(yàn)。鑒于此，本文遵循“少數(shù)服從多數(shù)”和“整體貼近度最大化”等思想構(gòu)建了一類基于相關(guān)性準(zhǔn)則的廣義加權(quán)組合評(píng)價(jià)方法，在給出了優(yōu)性組合評(píng)價(jià)以及冗余度等概念的基礎(chǔ)上對(duì)其有效性進(jìn)行了理論推導(dǎo)，最后結(jié)合實(shí)例計(jì)算更進(jìn)一步進(jìn)行了佐證。

1 基于相關(guān)性準(zhǔn)則的廣義加權(quán)組合評(píng)價(jià)模型的概念

設(shè)有n個(gè)評(píng)價(jià)單元，分別采用m種評(píng)價(jià)方法對(duì)其進(jìn)行評(píng)價(jià)，構(gòu)成數(shù)據(jù)陣{xij}n×m，其中 xij是第i個(gè)評(píng)價(jià)單元運(yùn)用第 j種評(píng)價(jià)方法所得到的評(píng)價(jià)值。為了更充分地整合各評(píng)價(jià)方法所包含的評(píng)價(jià)信息，依據(jù)組合理論，可以得出以下相關(guān)基本概念[11-13]。

定義1：若組合評(píng)價(jià)模型采用如下的非線性加權(quán)平均形式：

則稱該組合評(píng)價(jià)方法為廣義加權(quán)算術(shù)平均組合方法，其中，xi為各評(píng)價(jià)單元的組合評(píng)價(jià)值，wj表示第 j種單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法在組合評(píng)價(jià)方法中的權(quán)系數(shù)，

定義2：稱ρj為組合評(píng)價(jià)值序列與第 j種單項(xiàng)評(píng)價(jià)值序列的相關(guān)系數(shù)，ρkj為第k種單項(xiàng)評(píng)價(jià)值序列與第 j種單項(xiàng)評(píng)價(jià)值序列的相關(guān)系數(shù)（0≤ρ≤1）。

不難看出，組合評(píng)價(jià)方法的相關(guān)系數(shù)是關(guān)于各單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法的權(quán)重向量W的一個(gè)函數(shù)，故可記為R(W)。為有效提高組合評(píng)價(jià)結(jié)果與各單項(xiàng)評(píng)價(jià)結(jié)果吻合度，即使得各評(píng)價(jià)單元能夠被更客觀地評(píng)價(jià)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，我們希望組合評(píng)價(jià)值與各單項(xiàng)評(píng)價(jià)值向量之間的相關(guān)系數(shù)之和R(W)愈大愈好，為此本文建立如下基于相關(guān)系數(shù)的組合評(píng)價(jià)模型：

定義3：稱ηj為組合評(píng)價(jià)值序列與第 j種單項(xiàng)評(píng)價(jià)值序列的向量夾角余弦，ηkj為第k種單項(xiàng)評(píng)價(jià)值序列與第j種單項(xiàng)評(píng)價(jià)值序列的向量夾角余弦（0≤η≤1）。

不難看出，組合評(píng)價(jià)方法的向量夾角余弦是關(guān)于各單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法的權(quán)重向量W的一個(gè)函數(shù)，故可記為S(W)。為有效提高組合評(píng)價(jià)結(jié)果與各單項(xiàng)評(píng)價(jià)結(jié)果吻合度，即使得各評(píng)價(jià)單元能夠被更客觀地評(píng)價(jià)，根據(jù)向量夾角余弦的性質(zhì)，組合評(píng)價(jià)值向量與各單項(xiàng)評(píng)價(jià)值向量之間的向量夾角余弦之和S(W )愈大愈好，為此，本文建立如下基于向量夾角余弦的組合評(píng)價(jià)模型：

定義4：稱γj為組合評(píng)價(jià)值序列與第 j種單項(xiàng)評(píng)價(jià)值序列的灰關(guān)聯(lián)度，γkj為第k種單項(xiàng)評(píng)價(jià)值序列與第 j種單項(xiàng)評(píng)價(jià)值序列的灰關(guān)聯(lián)度（0≤γ≤1）。

不難看出，組合評(píng)價(jià)方法的灰關(guān)聯(lián)度是關(guān)于各單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法的權(quán)重向量W的一個(gè)函數(shù)，故可記為Q(W)。為有效提高組合評(píng)價(jià)結(jié)果與各單項(xiàng)評(píng)價(jià)結(jié)果吻合度，即使得各評(píng)價(jià)單元能夠被更客觀地評(píng)價(jià)，根據(jù)灰關(guān)聯(lián)度的性質(zhì)，我們希望組合評(píng)價(jià)值與各單項(xiàng)評(píng)價(jià)值向量之間的灰關(guān)聯(lián)度之和Q(W)愈大愈好，為此本文建立如下基于灰關(guān)聯(lián)度的組合評(píng)價(jià)模型：

定義 5：若滿足 Rmin≤R(W*)≤Rmax(Smin≤S(W*)≤Smax、Qmin≤Q(W*)≤Qmax)，則分別稱基于相關(guān)系數(shù)（向量夾角余弦、灰關(guān)聯(lián)度）準(zhǔn)則下的組合評(píng)價(jià)模型為非劣性組合評(píng)價(jià)；若R*＞Rmax(S*＞Smax、Q*＞Qmax)，則稱之為優(yōu)性組合評(píng)價(jià)；若 R*＜Rmin(S*＜Smin、Q*＜Qmin)，則稱之為劣性組合評(píng)價(jià)。其中W*為組合評(píng)價(jià)模型的最優(yōu)權(quán)重向量。

定義6：在一個(gè)組合評(píng)價(jià)模型中，設(shè)共有m種單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法參與組合評(píng)價(jià)。若某種單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法在組合評(píng)價(jià)模型最優(yōu)權(quán)系數(shù)中為零，則稱該單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法為冗余評(píng)價(jià)方法。即該種單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法增加到組合評(píng)價(jià)模型中不能增加組合評(píng)價(jià)的相關(guān)系數(shù)（向量夾角余弦、灰關(guān)聯(lián)度），表明該種單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法只提供冗余信息。若最優(yōu)解中出現(xiàn)冗余評(píng)價(jià)方法的個(gè)數(shù)為m′，則稱比例r=m′m為組合評(píng)價(jià)模型的冗余度。

2 基于相關(guān)性準(zhǔn)則的廣義加權(quán)組合評(píng)價(jià)模型的性質(zhì)定理

定理1：基于相關(guān)系數(shù)（向量夾角余弦、灰關(guān)聯(lián)度）準(zhǔn)則下的組合評(píng)價(jià)模型的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值均是參與組合評(píng)價(jià)的各單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法總個(gè)數(shù)m的單調(diào)不減函數(shù)，即：

設(shè)表示m+1個(gè)單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法參與的基于相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)則下的組合評(píng)價(jià)模型的最優(yōu)解。則：

即證基于相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)則下的組合評(píng)價(jià)模型的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值是參與組合評(píng)價(jià)的各單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法總個(gè)數(shù)m的單調(diào)不減函數(shù)。

同理可證：

即證基于向量夾角余弦、灰關(guān)聯(lián)度準(zhǔn)則下的組合評(píng)價(jià)模型的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值均是參與組合評(píng)價(jià)的各單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法總個(gè)數(shù)m的單調(diào)不減函數(shù)。

由定理1可知，再增加一個(gè)單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法的組合評(píng)價(jià)模型對(duì)應(yīng)的最大的相關(guān)系數(shù)（向量夾角余弦、灰關(guān)聯(lián)度）可能不變，這表明組合評(píng)價(jià)模型可能存在冗余評(píng)價(jià)方法。

定理2：基于相關(guān)系數(shù)（向量夾角余弦、灰關(guān)聯(lián)度）準(zhǔn)則下的組合評(píng)價(jià)模型的冗余度r＜(m -1)m,則最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的組合評(píng)價(jià)一定是優(yōu)性組合評(píng)價(jià)。

3 算例

3.1 計(jì)算步驟

基于相關(guān)性準(zhǔn)則的廣義加權(quán)組合評(píng)價(jià)可分為以下幾個(gè)主要步驟來實(shí)施：

步驟2：計(jì)算歸一化評(píng)價(jià)矩陣{xij}n×m，其中 xij表示評(píng)價(jià)單元i所對(duì)應(yīng)的第 j種單一評(píng)價(jià)值。從各類綜合評(píng)價(jià)方法中選取幾種具有代表性的單一評(píng)價(jià)方法，分別對(duì)所提出的問題進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，并對(duì)評(píng)價(jià)矩陣按單一評(píng)價(jià)方法進(jìn)行歸一化處理，從而有效減少了因各方法結(jié)果之間差距太大所引起的對(duì)組合效果的影響。

步驟3：依據(jù)定義2至定義4計(jì)算基于相關(guān)性準(zhǔn)則的廣義加權(quán)組合評(píng)價(jià)xi(W )。首先運(yùn)用Kendall一致性系數(shù)檢驗(yàn)這幾種單一綜合評(píng)價(jià)方法的相容性；然后基于相關(guān)性準(zhǔn)則的廣義加權(quán)組合評(píng)價(jià)模型對(duì)上述幾種相容評(píng)價(jià)方法的評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行組合，得出組合評(píng)價(jià)值并進(jìn)行排序。最后運(yùn)用Kendall一致性系數(shù)檢驗(yàn)組合評(píng)價(jià)方法與各種單一相容評(píng)價(jià)方法的密切程度。

3.2 算例分析

為了反映本文提出的基于相關(guān)性準(zhǔn)則的廣義加權(quán)組合評(píng)價(jià)的有效性，不失一般性，這里僅選取基于向量夾角余弦的算術(shù)平均組合評(píng)價(jià)方法加以探討即可。圍繞供給面風(fēng)險(xiǎn)、需求面風(fēng)險(xiǎn)以及金融面風(fēng)險(xiǎn)三個(gè)維度篩選出的能夠有效測度我國房地產(chǎn)泡沫的六個(gè)指標(biāo)，并應(yīng)用來自中國統(tǒng)計(jì)年鑒與中國房地產(chǎn)統(tǒng)計(jì)年鑒的我國1998—2015年原始數(shù)據(jù)矩陣=()18×6進(jìn)行實(shí)例分析。

按照步驟1及步驟2可計(jì)算出由熵值法、因子分析法和層次分析法3種不同的單項(xiàng)評(píng)價(jià)法分別來確定的綜合評(píng)價(jià)值，進(jìn)而得到歸一化評(píng)價(jià)矩陣{xij}18×3，結(jié)果如表1所示。在此基礎(chǔ)上，按照步驟3，利用LINGO軟件對(duì)基于向量夾角余弦的算術(shù)平均組合評(píng)價(jià)模型計(jì)算出最優(yōu)權(quán)系數(shù)分別表示為：w1=0.318，w2=0.287，w3=0.395。并由此得到組合評(píng)價(jià)值，結(jié)果如表1所示。

表1 我國樓市泡沫的各項(xiàng)評(píng)價(jià)結(jié)果

在評(píng)價(jià)基于向量夾角余弦的組合評(píng)價(jià)模型的有效性時(shí)，可通過構(gòu)建如下誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)體系予以論證：

與預(yù)測問題相比較，評(píng)價(jià)問題的真實(shí)值比較難確定。根據(jù)中心極限定律，在沒有其他更好的替代方案情況下，取相容方法集中多方法的平均值序列{x ˉi，i=1，2，…，n}作為第i個(gè)評(píng)價(jià)單元的基準(zhǔn)評(píng)價(jià)值。

表2 效度評(píng)價(jià)指標(biāo)體系

由表2可知，相較于各單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法，基于向量夾角余弦的組合評(píng)價(jià)模型的各種誤差指標(biāo)值要小得多。這在一定程度上佐證了一類基于相關(guān)性準(zhǔn)則的廣義加權(quán)組合評(píng)價(jià)方法要優(yōu)于其他單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法，能夠很好地提高評(píng)價(jià)效度。

4 結(jié)束語

本文在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，選用對(duì)多個(gè)單一評(píng)價(jià)方法的評(píng)價(jià)值進(jìn)行組合的思路。首先，把“少數(shù)服從多數(shù)”和“整體貼近度最大化”等思想引入組合評(píng)價(jià)中，構(gòu)建了一類基于相關(guān)性準(zhǔn)則的廣義加權(quán)組合評(píng)價(jià)模型。然后，對(duì)其相關(guān)性質(zhì)作了研究，提出了優(yōu)性組合評(píng)價(jià)、冗余度等概念，探討了冗余評(píng)價(jià)以及優(yōu)性組合評(píng)價(jià)方法的存在性的判定，得出一些有價(jià)值的結(jié)論，從理論上論證了這類最優(yōu)組合評(píng)價(jià)方法確實(shí)能綜合各種單項(xiàng)評(píng)價(jià)方法的信息。最后，結(jié)合我國房地產(chǎn)泡沫測度實(shí)例，進(jìn)一步肯定了其在各評(píng)價(jià)領(lǐng)域中值得普遍應(yīng)用和推廣的價(jià)值。