基于矩法的CRTSⅡ型軌道板橫向抗彎承載力時變可靠度研究

鄒 紅，盧朝輝，余志武

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

截至2017年底，我國高速鐵路運營里程突破2.5萬km。為了踐行工后“零沉降”建設理念，一般在土質不良地段采用以橋代路的方法控制工后沉降，其中CRTSⅡ型無砟軌道簡支箱梁結構體系占整個線路橋梁的近50%[1]。

簡支箱梁上CRTSⅡ型無砟軌道板起著傳遞、分散外界荷載的作用。文獻[2]要求橋上無砟軌道結構設計使用年限為60年，這就要求60年內軌道板結構有完成預定功能(耐久性、安全性、適用性)的能力，軌道板安全承載力失效將嚴重影響鐵路的正常運輸及高速列車的運行安全。文獻[3]采用3種無砟軌道列車荷載彎矩計算模型，分別計算了列車荷載作用下軌道板橫向最大正、負彎矩值，從計算精度和簡便性等方面對比3種模型計算列車荷載彎矩的優劣，推薦將彈性地基梁-板模型作為無砟軌道列車荷載彎矩計算模型。文獻[4]采用Westgaard公式分析軌道板在正、負溫度梯度作用下的彎矩。

在施工建設期以及運營過程中，CRTSⅡ型軌道板承載能力會受到材料自身強度、列車荷載以及環境作用等隨機不確定性的影響。文獻[5]規定了軌道結構在設計年限內安全性、適用性等應當具備的可靠度水準。文獻[6]考慮列車荷載與環境荷載隨機不確定性條件，提出基于FORM法的CRTSⅡ型軌道板橫向抗裂可靠度分析方法。文獻[7]考慮列車豎向輪軌力、地基系數等隨機不確定性條件，提出基于蒙特卡洛直接抽樣法的CRTSⅡ型軌道板橫、縱向抗裂可靠度分析方法。通過FORM法、蒙特卡洛直接抽樣法進行軌道結構可靠度分析分別存在反復迭代確定驗算點[8]、計算量大等不足，因此選擇一種計算過程相對簡便、計算結果精度滿足要求的軌道板結構可靠度計算方法便顯得尤為重要。

鑒于此，本文發展軌道結構可靠度分析的四階矩方法。借助單聯寬軌枕模型發展了考慮荷載與環境共同作用的CRTSⅡ型軌道板橫向抗彎承載力抗力時變模型，結合列車荷載橫向彎矩與溫度翹曲彎矩，建立簡支箱梁上CRTSⅡ型軌道板橫向抗彎承載力的極限狀態函數；假定軌道板結構處于3種抗力衰減服役環境中，分別用7點估計一維減維法求解函數的前四階矩，采用四階矩可靠度公式求出可靠度指標及相應失效概率。

1 列車荷載與溫度作用下軌道板橫向抗彎承載力時變極限狀態函數

文獻[9]認為，考慮抗力衰減的工程結構抗彎承載力可靠度分析中，極限狀態函數(功能函數)可表述為

Z(t)=r(t)MR0-MS

(1)

式中：MR0為軌道板橫向抗彎初始承載力；t為軌道結構服役時間；r(t)為抗力衰減函數；MS為外界荷載作用彎矩，包括列車荷載橫向彎矩Mv和環境作用彎矩Mw。

1.1 軌道板橫向抗彎承載力時變抗力計算

整個軌道結構服役期間，受到各種抗力衰減因素(結構疲勞累積損傷、鹽霧侵蝕、混凝土碳化等)[1]的影響，軌道板承載力呈下降趨勢。

文獻[10]認為，抗力衰減因素本身就是隨著時間變化的隨機過程，較難定量描述，并且各因素之間還可能存在復雜的相關關系，因此結構抗力隨著時間的變化是復雜的隨機過程。一般來說，結構抗力隨時間的變化是非平穩隨機過程，為了計算上的簡化和實用性，可將非平穩隨機過程平穩化，即將時變抗力r(t)MR0表示為

r(t)MR0=MR0(X1，t)=(1-k1t+k2t2)MR0

(2)

式中：X1=[x1x2…xn1]T，x1，x2，…，xn1分別為r(t)MR0中隨機變量參數(t除外)，n1為r(t)MR0中變量個數；k1、k2為系數。

文獻[11]在單聯軌枕基礎上，充分考慮橫向預應力筋以及普通鋼筋的受力情況，建立受力平衡方程，結合文獻[12]得出軌道板橫向抗彎初始承載力計算式為

(3)

假定軌道結構處于不同的服役環境中，抗力衰減因素對軌道板作用強度不同。文獻[13]基于工程結構的3種不同服役環境，提出3種抗力退化速率，即低速退化、中等退化以及嚴重退化，分別對應式(2)中k1、k2的不同取值。

1.2 列車荷載作用下軌道結構橫向彎矩分析模型

文獻[14]認為，由于無砟軌道各結構層在厚度方向的尺寸遠小于橫、縱方向的尺寸，且荷載作用下的撓度遠小于其厚度，故將其視為梁-板結構體系，如圖1所示。

圖1 軌道結構體系受力

鑒于此，在建立有限元分析模型時，扣件采用三向彈簧模擬[15]；CA砂漿層采用豎向彈簧模擬，其剛度按照串聯關系計算得到[16]；下部基礎采用Winkler彈性地基模型模擬；橋面支撐簡化為豎向彈簧，彈簧剛度等于橋梁上地基系數除以離散彈簧個數；用ANSYS軟件分析Mv時，把列車豎向輪軌力P等看成隨機變量，即

Mv=Mv(X2)=Mv(P，…)

(4)

式中：X2=[xn1+1xn1+2…xn1+n2]T，xn1+1，xn1+2，…，xn1+n2分別為Mv中隨機變量；n2為Mv中變量個數。

1.3 溫度作用下軌道結構的橫向彎矩計算模型

軌道結構在運營期內，會受到溫度梯度荷載作用，文獻[6]基于Westgaard公式將溫度梯度翹曲彎矩簡化為

Mw=Mw(X3)=KtT

(5)

式中：X3=[xn1+n2+1xn1+n2+2…xn1+n2+n3]T，xn1+n2+1，xn1+n2+2，…，xn1+n2+n3分別為Mw中隨機變量；n3為Mw中變量個數；T為溫度梯度；Kt為溫度彎矩系數。

將式(2)～式(5)代入式(1)可以得到軌道板t時刻橫向抗彎極限狀態函數為

(6)

2 軌道板橫向抗彎承載力可靠度分析的四階矩方法

2.1 點估計計算功能函數前四階矩的基本思想

對于功能函數G(X)，可以采用標準正態空間上的m點估計函數的前四階矩

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Gμ=G(μ)

(12)

Gi=G[μ1，μ2，…，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn]

(13)

式中：μ=[μ1μ2…μn]T，μ1，μ2，…，μn為隨機變量均值；ui(i=1，2，…，n)為標準正態空間隨機變量；Gi為僅含有參數ui的單變量函數。

G(X)前四階矩可表示為

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式中：uik(k=1，…，m；i=1，2，…，n)是ui的第k個估計點；T-1(uik)是第i個隨機變量的第k個逆正態轉換值；pk是相應的權重。若采用標準正態空間中的7點估計，其估計點值uik及權重pk[18]為

(22)

2.2 軌道板橫向抗彎承載力時變功能函數的前四階矩計算

根據式(13)有

(23)

Gμ=MR0(μ1，…，μn1，t)-Mv(μn1+1，…，μn1+n2)-

Mw(μn1+n2+1，…，μn1+n2+n3)

(24)

式中：T-1(ui)為式(6)中隨機變量xi的逆正態轉換值；μ1，μ2，…，μi-1，μi+1，…，μn1+n2+n3分別為式(6)中所有隨機變量(不含第i個)的均值；MR0(μ1，…，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn1，t)為當xi取逆正態轉換值(1≤i≤n1)，其余變量取均值時式(2)的值；Mv(μn1+1，…，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn1+n2)為當xi變量取逆正態轉換值(n1

基于梁-板有限元模型利用ANSYS軟件分析Mv(μn1+1，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn1+n2)時，考慮到軌道板間受力、變形的對稱性，取一塊軌道板對其進行受力分析，梁-板有限元模型如圖2所示(紅色箭頭表示列車豎向輪軌力)：其中3個方向的扣件剛度分配值如圖3所示，其計算結果可以用etable，mx，smisc，4命令提取。

圖2 梁-板有限元分析模型

圖3 軌道板細部A(單位：mm)

2.3 四階矩可靠度指標及失效概率計算

得到功能函數的前四階矩后，采用式(25)和式(26)可以計算四階矩可靠度指標及失效概率[19]

(25)

Pf=Φ(-β4M)

(26)

式中

(27)

為了保證l2存在，根號內的數必須為正值，因而必須滿足

(28)

3 算例

參考原鐵道第三勘察設計院集團有限公司設計的時速250 km的客運專線CRTSⅡ型板式無砟軌道軌道板結構設計圖[20]，如圖4所示。整塊軌道板長為6 450 mm，厚度為200 mm，寬度為2 550 mm；每一塊軌道板之間用直徑20 mm的螺紋鋼連接[21]；混凝土強度等級為C55；橫、縱鋼筋交叉口采用絕緣設計；每塊軌道板由10塊單聯軌枕組成；單聯軌枕上、下層分別設置4根HRB500級鋼筋；形心偏下10 mm處設置6根φ10預應力鋼筋。

圖4 CRTSⅡ型軌道板俯視圖(單位：mm)

3.1 隨機變量的7點逆正態轉換值

根據表1隨機變量的分布特征， 用式(22)標準正態空間的7點估計值求解每個隨機變量經過T-1(uim)逆正態轉換之后的7點估計值，見表3。

表1 隨機變量分布特征

表2 常量取值

表3 隨機變量7點逆正態轉換值

利用2.2節建立的軌道結構體系梁-板有限元模型，分析Mv(X2)時用到的相關參數，見表4。

表4 梁-板有限元模型參數取值

在ANSYS軟件中，先將列車荷載x7取表4中7點估計值，x8、x9、x10取表1中均值，Mv(T-1(u7m)，μ8，μ9，μ10)的7個值；同理分別得到Mv(μ7，T-1(u8m)，μ9，μ10)、Mv(μ7，μ8，T-1(u9m)，μ10)、Mv(μ7，μ8，μ9，T-1(u10m))的7個值，見表5。

表5 Mv(x7，x8，x9，x10)的7點有限元解 N·m

當x7、x8、x9、x10全部取表1中均值時，Mv(μ7，μ8，μ9，μ10)=11 156 N·m。

3.2 軌道板結構初始狀態可靠度計算

3.2.1不同服役環境中軌道板結構初始狀態單變量參數函數前四階矩的計算

對于初始狀態，即t=0時，不同退化環境下功能函數相同：將表1中xi均值、表2常數項、Mv(μ7，μ8，μ9，μ10)、Mw(μ11，μ12)代入式(24)得Gμ=66 395 N·m；將G1、表2中x1的7個逆正態轉換值、表2常數項、Mv(μ7，μ8，μ9，μ10)、Mw(μ11，μ12)、式(22)相應權重全部代入式(18)～式(21)可計算得到G1的前四階矩分別為：66 395、0、0、0 N·m。

同理可得到Gi(i=2，…，3，…，12)的前四階矩，見表6。

表6 軌道板結構初始狀態單變量參數函數Gi前四階矩

3.2.2軌道板結構初始狀態功能函數前四階矩及可靠度計算

將Gμ、表6中的Gi(i=1，2，…，12)均值代入式(14)，得到μG=66 171 N·m；

將表5中Gi標準差代入式(15)，得到σG=12 862 N·m；

將表5中Gi標準差、偏度代入式(16)，得到α3G=-0.121；

將表5中Gi標準差、峰度代入式(17)，得到α4G=2.826。

利用ANSYS軟件PDS模塊技術，取t=0，采用蒙特卡洛直接抽樣法對式(6)計算2萬次，利用Excel對數據進行統計，得到軌道板結構初始狀態功能函數前四階矩的變化過程，如圖5所示。

用蒙特卡洛有限元法統計分析四階矩時，抽樣次數越多結果越精確，但耗時會增加，不便于應用。從抽取的結果來看，前1萬次，前四階矩值波動比較明顯，超過1萬次后均比較穩定，在1.5萬次時趨于平穩，因此，考慮到計算時間與計算精度的平衡，把抽樣次數設定為2萬次。

(a)均值

(b)標準差

(c)偏度

(d)峰度圖5 軌道板結構初始狀態功能函數前四階矩變化趨勢

通過式(14)～式(17)以及蒙特卡洛有限元法確定的式(16)的前四階矩均滿足式(28)，所以可利用式(25)、式(26)計算功能函數四階矩可靠度指標及相應的失效概率，結果見表7。μG、σG、α3G、α4G的相對誤差依次為0.080%、1.889%、5.785%和0.667%，3種退化工況下β4M的誤差均為1.883%。

表7 軌道板結構初始狀態功能函數前四階矩及其可靠度指標

從表7可以看出，基于7點估計一維減維求解的功能函數前四階矩與蒙特卡洛隨機有限元法求解的前四階矩較接近，誤差最大的峰度值也在6%以內，可靠度結果大體接近，表明7點估計一維減維求矩的方法在減少計算次數的同時能夠保持足夠的精度。

3.3 軌道板結構時變可靠度分析

用蒙特卡洛有限元方法驗證了7點估計一維減維法求解軌道板結構初始狀態功能函數(t=0)前四階矩的正確性之后，對于某一時刻t(t=1，2，…，60)，可以直接采取7點估計一維減維方法求Z(t)前四階矩，分別代入式(25)、式(26)得到軌道板橫向抗彎承載力在3種抗力衰減環境中的四階矩可靠度指標，如圖6所示。

圖6 軌道板結構時變可靠度變化曲線

從圖6可以看出，在抗力低速退化情況下，結構的可靠度指標變化較小；從結構投入使用的5.89下降到60年后的5.78，失效概率較小，可以認為結構在整個服役年限內，軌道板處于安全狀態；在抗力中速退化情況下，結構可靠度指標的衰減較快，結構服役至57年時，可靠度指標低于目標可靠度4.2，說明由鋼筋銹蝕導致的鋼筋截面退化已發展，軌道板結構存在較大的安全隱患；在抗力嚴重退化的情況下，結構開始運營使用后，可靠度指標呈現急劇下降趨勢，結構服役至35年時，可靠度已經低于規范要求，處于嚴重腐蝕環境中的軌道板結構受到外界惡劣環境的影響，再加上養護的不足，結構很快進入破壞階段，需要加強維護與管理。

4 結論

(1)本文建立了列車荷載與環境共同作用下CRTSⅡ型軌道板橫向抗彎承載力的極限狀態函數，并利用該函數發展了基于矩法的軌道板橫向抗彎承載力時變可靠度分析方法，采用基于一維減維的點估計結合有限元方法計算極限狀態函數的前四階矩(均值、方差、偏度、峰度)，采用四階矩可靠度公式計算可靠度指標及失效概率。

(2)與蒙特卡洛方法對比分析表明，用7點估計一維減維的方法求解功能函數的前四階矩，在大量減少計算次數的同時，能夠保證計算結果的精度，此方法利于軌道結構可靠度分析與應用。

(3)算例假定軌道板處于3種不同侵蝕環境(低速退化、中等退化和嚴重退化)中，分析結果表明：軌道結構處于不同服役環境中時，其可靠度指標衰減程度有較大不同，在中等和嚴重退化的服役環境中需考慮加強軌道板橫向抗彎承載力設計。