基于直接光路測量的非均勻性物體表面輪廓重構

邱柏赫，喬楊，徐昕陽

（長春理工大學 光電工程學院，長春 130022）

隨著計算機技術，光電技術的發展，以及人們對于逆向工程[1]，虛擬現實[2]，快速原型[3]等技術的大量需求，國內外學者對于朗伯反射目標[4]，鏡面反射目標[5]，透明目標[6，7]，甚至對于煙霧[8]等具有一定體積的自然現象等都提出了重構的算法，但是這些算法都只局限于表面界限單一，均勻，沒有內部結構，沒有遮擋的透明的物體，而對于帶有非均勻介質的透明目標，因為這種物體對于光的折射反射與散射的情況相當復雜，所以國內外學者對于這種內部帶有一定結構的透明的非均勻性介質的物體的研究很少[9]。本文集中體現在對物體外表面輪廓而非整個物體的重構，并提出了一種簡單易行的方法。使用依賴于幾何算法與輻射特性的方法，并且運用幾何學與能量學的知識，恢復表面輪廓的形狀。

1 系統組成及工作原理

本實驗的被測目標為內部帶有不同折射率介質的非均勻性透明物體，且內部物質能吸收光線而不能反射光線。本測量系統由線激光光源、電控平面鏡、CCD相機、帶有非均勻性介質的透明物體組成，如圖1所示。

圖1 系統組成圖

在對帶有非均勻介質的透明物體的三維重構過程中，要想求出物體的外表面輪廓，法向量與深度信息是兩個必不可少的參數，通過連接測得的每個深度信息點，即可得到帶有非均勻介質的透明物體外表面輪廓。

2 數學模型

2.1 法向量的獲取

因為三維空間上一點的法向量可以由公式（1）計算出來，因此要想計算出法向量，必須求出入射角與方位角的大小，如圖2。

式中，θ1為曲面的入射角，φ為入射面的方位角。

圖2 向量關系示意圖

2.1.1 入射角度的獲取

當一束光照射到物體上時，會在分界面上發生折射和反射，能量的反射率能用菲涅爾公式進行解釋說明。因為自然光是由互相垂直的s波和p波組成的，自然光的能量可以看做是s波和p波的能量的和。s波和p波的反射率可以用反射角θ1和折射角θ2來表示[10]，如公式（2），公式（3）。

其中，ρp為p波的反射率，ρs為s波的反射率。由公式（2），公式（3）可知，自然光的總的反射率ρn為：

假設自然光的總能量為I，則反射光的總能量Ir的表達式如公式（5）所示。

折射定律為：

其中，n1=1為空氣的折射率，n2=1.5為玻璃的折射率。

因為總能量與反射光的總能量的比值可以通過相機測量出來，且通過相機灰度值進行表示，因此由公式（5），公式（6），能得到入射角度θ1。

2.1.2 方位角的獲取

對于二維平面，方位角φ由公式（7）計算出來，

其中，x1，y1為轉化成二維坐標系下，A點的橫縱坐標，x2，y2為轉化成二維坐標系下，B點的橫縱坐標。因此通過將三維空間中的方位角轉化成二維空間中方位角的測量，并通過測得的方位角的值進行后續的MATLAB仿真，可以得到方位角，且方位角測量過程如下：

將一張白紙貼在一個平整的木板上，將激光器關閉，并將木板放在距離激光器10cm的地方。將激光器出射口的位置畫在白紙上，即測量激光器出射口距離平板邊緣的長度，寬度與高度，將此點a畫在白紙上。

將激光器打開，使點激光照射在被測物體最左端，將物體拿開，用帶有白紙的木板來代替物體的位置，并將此點b在白紙上描繪出來。

再將打開的激光器照射到被測物體最右端，將物體拿開，用帶有白紙的木板來代替物體的位置，并將此點c在白紙上描繪出來。

連接a點b點，a點c點分別得到測量被測物體最左端時的方位角與被測物體最右端時的方位角。

根據測得的位置，應用公式（7）計算出方位角的大小。計算結果得到在照射物體最左端時，方位角的大小為20°，在照射被測物體最右端時，測得的方位角是120°，且對于不同被測物體的不同區域，方位角的變化范圍有所不同，這個測得的方位角的數值為復雜的魚形工藝品的數據。

因為電控平面鏡每次的轉角大小是相同的，且同一豎行的方位角的大小是相同的，對于魚形工藝品，線光源的長度為200像素，因此可知，每移動一個像素，方位角的變化為0.5°。將求得的數值應用在MATLAB算法中，測試結果表明，具有較好的效果。

2.2 深度信息的獲取

根據直接光路測量法，既能知道輻射信息，又能知道幾何信息。考慮到鏡面反射的過程能被看做一個逆向過程，根據斯涅耳公式，入射向量，反射向量及他們的法向量在一個平面上。相機坐標系上的每個像素都唯一對應于世界坐標系中的一個點。因此，入射向量能通過公式（8）和公式（9）得到。

其中，是入射向量，是通過相機標定得到的每個像素的反射向量，是由公式（1）得到的法向量。

已知入射向量與反射向量，入射向量與反射向量的交點即為深度信息點。因為線光源在空間坐標系中的位置可以仿真出來，入射光線和反射光線的空間表達式可以通過一個確定的點和已知的向量得到，即能得到整條光線的空間軌跡。且空間軌跡的表達式如公式（10）表示：

式中，mx、my、mz分別為線光源入射點m在世界坐標系中的x坐標，y坐標和z坐標；nx、ny、nz分別為成像點n在世界坐標系中的x坐標，y坐標和z坐標；Ix，Iy，Iz分別為入射向量在世界坐標系中的x坐標，y坐標和z坐標；Rx，Ry，Rz分別為反射向量在世界坐標系中的x坐標，y坐標和z坐標。

通過求解方程組可以直接計算出由光源出射的入射光線與其對應的反射光線在被測目標表面上交點的三維坐標，獲取面型重構所需要的深度系數d1，d2，即可求解出被測面的深度點。

3 實驗結果與誤差分析

本實驗中重構的物體是帶有非均勻性介質的透明物體，比如內部帶有涂層的平板，內部能吸收光線的復雜手工藝品等物體，本實驗的原理裝置圖如圖3所示。

圖3 實驗裝置圖

本實驗中，相機為SVS-Vistek SVS285MUCP型號的1360×1024像素的工業相機，被用來拍攝圖像，且被用來作為小孔模型。線激光光源提供入射光且能解決較為復雜的表面輪廓，但對于非常復雜的面形，采用插值的方法進行擬合。電控平面鏡用來反射入射光，并通過旋轉平面鏡，使光線遍歷整個非均勻性物體，且經過理論推導，對于復雜的魚形工藝品，本文拍攝了24副圖片，對于內部具有涂層的平板，本文拍攝了8張圖片，用來重構非均勻性物體。

實驗過程如下：線激光光源發出的線激光照射到電控平面鏡上，經過電控平面鏡的反射，照射到帶有非均勻介質的透明物體上，通過電控平面鏡的旋轉，使光線在被測物體表面遍歷，最終被CCD相機接收，且每掃描一次，用CCD相機拍攝一副圖片，通過CCD相機拍攝到的一系列的圖片進行算法分析，進而重構出帶有非均勻介質的透明物體的外表面輪廓。

圖4為重構的內部具有涂層的平板的點云圖。

圖4 膠合平板的點云圖

經過與標準方程進行比較，誤差為0.3478mm。且誤差分布比較均勻。

基于對于規則面型物體的重構，繼續對復雜的魚形工藝品進行了重構，且單位化后得到的部分單位法向量數據與魚形工藝品的X，Y，Z軸坐標如表1至表4所示。

表1 部分單位法向量數據

表2 魚形工藝品部分X坐標數據

表3 魚形工藝品部分Y坐標數據

表4 魚形工藝品部分Z坐標數據

且重構出的點云圖如圖5所示。

圖5 （左）被測的帶有非均勻介質的透明目標（右）被測目標的點云圖

由于被測目標非常復雜，因此選取了部分區域對誤差進行分析，將魚身體作為區域1，支座作為區域2，魚鰭作為區域3，魚尾巴作為區域4，并將德國GOM公司生產的ATOS光學三維掃描儀掃描出來的數據作為標準，分區域進行了誤差分析，得到的誤差曲線圖如圖6所示，且圖中橫坐標表示誤差值，縱坐標表示這一誤差值在整體點云數據中所占的百分比。

圖6 魚形工藝品各部分的誤差曲線圖

從誤差曲線圖可以看出，對于復雜的魚形工藝品，區域1的誤差為0.6013mm，區域2的誤差為0.8145mm，區域3的誤差為1.1985mm，區域4的誤差為1.3745mm。

其中區域1和區域2的面型細節特征較少，主要不同之處即為曲率的不同。因此從這兩個部分可以評價曲率對于重構精度的影響。將區域1與區域2進行比較，區域1誤差較小。對于曲率不同的表面，同樣的入射光，曲率大的表面反射光線更發散，范圍很大，在一定程度上會導致面形信息不能被相機完全接收，因此能夠得出結論，曲率變化越大，精度越低。

對于區域3，RMS誤差為1.1985mm，對于區域4，RMS誤差為1.3475mm。區域3和區域4細節特征都較多，但曲率變化都不大。相較而言，細節特征更多的區域4精度更低一些。這是因為一方面在測量過程中，由于復雜面型的反射及部分環境光的影響，反射光線會較為復雜，很難準確計算法向量。

4 結論

本文針對帶有非均勻介質的透明物體的三維重構的問題，提出了一種基于直接光路測量的方法來獲取帶有非均勻性介質的透明物體的表面輪廓。這種方法融合了光路三角法與能量成像法，結合了幾何信息與能量信息。實驗結果表明，直接光路測量法能對帶有非均勻介質的透明目標進行重構，且對于曲率變化越小的目標，重構精度越高；細節特征越少，重構精度越高。

今后，通過組合一些新的方法比如偏振等來進一步擴大可測量對象的范圍，是以后研究工作的重點。