一類非線性四階拋物方程周期解的存在性

梁波,吳曉琴,張振宇

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

晶體是由物質的質點在空間中作有規律的排列而形成的物質. 晶體按照不同性質可分為離子、原子、分子、金屬等四大典型類別.由于晶體內部結構中的質點的運動, 從而形成了一定形式的晶格, 外表上為具有一定形狀的幾何多面體.

由于各種不同的原因, 晶體原子在不同程度上會發生擴散, 導致晶體結構發生變化. 晶體中原子發生擴散是由原子所作的無規則的布朗運動所引起的. 并且, 原子在擴散過程中遵循一定的宏觀擴散規律, 從而產生了擴散方程 :

ut=-jx+f(x,t)

于(0,1)×R.

文中，將其進行改進得到所要討論的四階拋物方程

于(0,1)×R, (1)

u(x,t+ω)=u(x,t),x∈(0,1),t∈R

(2)

ux|x=0,1=uxxx|x=0,1=0,t∈R,

(3)

定理假定f∈Cω(R；H2(0，1))，ft∈Cω(R;L2(0，1)),問題(1)～(3)存在廣義時間周期解

(4)

(5)

此定理為本文主要結論，下面將利用近似解估計給出證明.

1 近似解估計

令{yj(x)}(j=1,2,…)是L2(0，1)中的標準正交基，并且滿足特征值問題

y″+λy=0,y′(0)=y′(1)=0

其中λj(j=1,2,…)為特征值.

uNj(t)∈C1(ω,R)(j=1,2,…,N),

N是一個正常數. 由Galerkin方法，可知uN(x,t)在(0，1)×R滿足方程

在應用Leray-Schauder不動點定理證明uN(x,t)是問題(6)～(8)的解時，考慮以下含參數θ(0≤θ≤1)的偏微分方程的時間周期解：

(9)

其中,θ∈[0,1],uN∈(0,1)×R. 依據線性方程理論，方程(9)存在唯一的解vN∈C1(ω,R).

從而定義映射：

T:[0，1]×C(ω,R)→C(ω，R),

(θ，vN)→vN.

顯然，對任意的vN∈C1(ω,R)，都可以滿足T(0，vN)=0.而對vN∈C1(ω,R)，滿足T(θ，vN)=vN.

引理1映射

T:[0,1]×C(ω，R)→C(ω,R)

是緊映射.

證明：令

且存在常數M>0使得

‖vk‖C(ω,R)≤M,?k>0

若uk=T(θk,vk) ，那么，根據Schauder理論(見文獻[4])可知uk∈C1(ω，R)且滿足

從而由Arzela-Ascoli定理知，uk在C(ω,R)中是收斂的.故映射T是緊的.

引理2假定f∈Cω(R;L2(0,1))，令

則問題(6)～(8)存在近似解uN，且有估計

(10)

其中,C0是不受N、M1的正常數.

證明：通過Poincare＇和H?lder不等式，可得

(11)

對于式(9)以uN為檢驗函數，在(0,1)上積分，由H?lder不等式可得

‖uNx‖2+C‖uN‖2+2‖f‖2

其中,0<δ<1. 從而有

(12)

由式(12)得

(13)

根據積分中值定理，存在t1∈(0,ω)，使得

聯合式(11)可得

(14)

將式(12)在[t1,t+ω](?t∈[0,ω])上積分，由式(13)有

其中,C0是不受N，M1約束的正常數.

由引理1和引理2的證明，依據Leray-Schauder不動點定理可知，當θ=1時，式(9)的解uN是式(6) ～(8)的解.

引理3假定

f∈Cω(R;H2(0,1)),ft∈Cω(R;L2(0,1))

(15)

證明：對于式(6)，以-uNxx為檢驗函數在(0,1)上積分可得

其中,0<δ<1.

由H?lder不等式可得

(16)

通過Gagliardo-Nirenberg不等式, 式(10)以及M1

將其代入式(16)，應用Young不等式, 得

(17)

由式(17)，應用積分中值定理，存在t2∈(0,ω)，使

‖uNxxx(·,t2)‖2≤C4(M2).

從而得到

再由式(17)可有

通過Sobolev嵌入定理，有

(18)

對于式(6)，以uNxxxxxxxx為檢驗函數，并且在(0,1)上將其積分可獲得估計

‖uNxxx(·,t)‖C[0,1]≤C‖uN‖H4≤C9(M2)

(19)

由式(6), 對任意的uN∈(0,1)×R有

(20)

對于式(20), 以uNxxxxt為檢驗函數, 并在(0,1)上積分，可得估計

‖uNxt(·,t)‖C[0,1]≤C‖uNt‖H2≤C10(M2)

(21)

聯合式(19)和式(21)得到

2 結論證明

通過上一小節引理給出的近似解的估計及證明，該部分借助以上估計對第一部分中的定理作出證明.

證明：通過式(15)和嵌入定理，有以下估計式

(22)

依據Arzela-Ascoli定理和式(22)可得，存在一個函數u(x，t)和{uN(x,t)}的子序列(仍記為{uN(x,t)})，當N→+∞時，{uN(x，t)}、{uNx(x,t)}在[0，ω]×(0,1)中分別一致收斂于u(x，t)、ux(x,t).

定義

綜上可知，問題(1)～(3)存在廣義時間周期解，并且滿足式(4)和(5).