滯環(huán)非線性系統(tǒng)的自抗擾動態(tài)面控制方法*

劉勝榮 孫國法 王 亮

1.青島理工大學 信息與控制工程學院，青島 266520 2.北京航天自動控制研究所，北京 100854

在過去幾十年中，為了獲得滯環(huán)的動態(tài)特性并實現(xiàn)精確控制，學者們?yōu)橄鋵刂菩阅艿挠绊懽龀隽瞬恍概Α＠纾墨I[1]解決了一類輸入帶有類齒隙滯環(huán)非線性的動態(tài)系統(tǒng)自適應控制問題，其中滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)由一個微分方程描述。隨后，該方法被擴展為該類系統(tǒng)的自適應模糊控制問題[2]。與此同時，文獻[3]研究了一類帶有一般化的Prandtl-Ishlinskii滯環(huán)輸入的純反饋形式的未知非線性系統(tǒng)的自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制。類似的，文獻[4]針對一類存在不確定性攝動并帶有未知類齒隙滯環(huán)嚴格反饋系統(tǒng)的控制問題，提出了自適應動態(tài)面控制問題。文獻[5]對一類前面帶有包含滯環(huán)的時延非線性系統(tǒng)提出了一種魯棒自適應神經(jīng)網(wǎng)絡動態(tài)面。上述控制方法基于穩(wěn)定性設計的控制器很難保證系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。本文提出基于擴張狀態(tài)觀測器的自適應魯棒控制解決一類帶有輸入端滯環(huán)的純反饋非線性系統(tǒng)的跟蹤問題。

自抗擾控制器(Active Disturbance Rejection Controller，ADRC)[6]是由韓京清和他的團隊創(chuàng)立的一種新的實用的非線性控制方法。自抗擾控制和經(jīng)典PID的不同之處是它不依賴被控對象的精確模型，是一種新型的實用數(shù)字控制技術。自抗擾技術算法簡單，參數(shù)易于調節(jié)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在非線性環(huán)節(jié)中，自抗擾技術將跟蹤微分器、擴張狀態(tài)觀測器和誤差反饋組合在一起，發(fā)揮它們各自的功能。自抗擾技術的先進性主要體現(xiàn)在它能夠對內部擾動和外部干擾進行實時估計，而且，自抗擾技術的反饋采用非線性誤差反饋，這樣能夠提高跟蹤的質量。目前，自抗擾控制技術已經(jīng)在船舶航向控制[7]、飛行器控制[8]、電機控制[9]和機器人控制[10]等領域的一些實際問題中得到了廣泛應用。

研究一類含滯環(huán)非線性系統(tǒng)的自抗擾動態(tài)面控制策略，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，提高閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能。

1 系統(tǒng)描述與準備條件

首先給出一類帶有輸入端滯環(huán)的非線性系統(tǒng)的自適應控制問題。然后，回顧一些有關擴張狀態(tài)觀測器結構的基本知識以方便后續(xù)提出的控制器的設計過程。

考慮如下形式的被控對象數(shù)學模型：

(1)

式中，u齒隙類滯環(huán)非線性的輸出信號，由如下方程描述:

(2)

其中，α，c，B是常數(shù)且c>B。

研究動態(tài)模型式(2)解的性質來解釋切換機制，對于控制器的設計至關重要。解方程式(2)可得u對于v的解為

u(t)=cv(t)+d(v)

(3)

其中

(4)

對于初始值u(v0)=u0。

把式(3)帶入式(1)得

(5)

圖1 輸入信號為v(t)=ksin(2.3t)時的滯環(huán)曲線

2 擴張狀態(tài)觀測器設計

(6)

其中，z1和z2是新定義的坐標變量。

將式(5)帶入式(6)得：

(7)

將式(7)進行化簡得

(8)

其中

(9)

作為自抗擾技術的一個重要環(huán)節(jié)，擴張狀態(tài)觀測器的主要作用是對系統(tǒng)的內部擾動和外部擾動進行估計，具體算法推導如下。考慮系統(tǒng)形式如下：

(10)

其中,f(x1,x2,t)為未知擾動函數(shù)，令x3=f(x1,x2,t),則原式變?yōu)?/p>

(11)

其中，x3定義為擴張狀態(tài)。

基于公式變換式(6)，本文設計狀態(tài)觀測器結構為

(12)

其中,β1,β2和β3是增益為可調參數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗，β1,β2和β3取值從小到大，并且依次差一個數(shù)量級，非線性函數(shù)取為

(13)

其中，e為反饋輸入誤差，δ>0。在實際的控制工程界，常用到的經(jīng)驗就是：“大誤差，小增益；小誤差，大增益”，因此，當輸入誤差信號時，可以通過調節(jié)fal(e,α,δ)的參數(shù)，使得反饋環(huán)節(jié)在誤差較大時，產(chǎn)生較小的反饋增益；在誤差較小時，產(chǎn)生較大的反饋增益。在保持系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時，使系統(tǒng)快速的到達穩(wěn)定。

3 動態(tài)面控制器設計

自抗擾控制器的結構如圖2所示。

圖2 自抗擾控制結構圖

其中，xd為參考信號；v1為過渡過程的狀態(tài)；v2為提取的微分信號；D(t)為外部擾動。zi，i=1,2,3代表擴張狀態(tài)觀測器的3個狀態(tài)，也就是內部和外部總擾動的估計。本論文的主要工作是研究控制器部分，下面進行介紹。

如圖2所示，自抗擾控制信號選為

(14)

其中，b0表示前向通道放大倍數(shù)b的估計值，u0的形式可以設計為多種形式。

如果用經(jīng)典PID控制，因為u0為e1和e2的函數(shù)，具體形式表達為

(15)

其中，反饋誤差定義為

(16)

如果采用非線性控制器控制，例如可以采用滑模控制，具體的表達形式為

(17)

由于滑模控制信號式(17)里面包含符號函數(shù)，會給系統(tǒng)帶來高頻顫振。在本文中，我們采用第2種非線性控制動態(tài)面(DSC)，控制信號組成結構如圖6所示。

圖3 動態(tài)面控制器示意圖

在圖3中， 定義如下形式的反饋誤差面：

(18)

其中，xd是被跟蹤的參考信號；α1是中間虛擬控制信號，具體形式將在下面設計中給出。

上述誤差面的動態(tài)可以轉化為

(19)

通過求取第2個誤差面E2對時間的微分，可以得到具體非線性反饋動態(tài)面控制信號的表達形式為

(20)

其中，K1，K2為設計常數(shù)；ω是魯棒項，具體形式選為

(21)

其中，dM是誤差的上界，將在后續(xù)中給出；μ2是有界的，滿足不等式

0<|μ2|<μM

(22)

式中，μM是正常數(shù)。

4 穩(wěn)定性分析

考慮如下形式的李雅普諾夫候選泛函：

(23)

對V求導數(shù)得

(24)

其中，跟蹤誤差信號的動態(tài)滿足：

(25)

(26)

把式(25)和(26)帶入式(24)得

(27)

上式中，不難看出如下不等式成立:

(28)

于是，有不等式

(29)

根據(jù)參考文獻[11]，又有如下不等式成立

(30)

將式(30)帶入式(29)得

(31)

對公式(31)左右兩端積分可得

因此，閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差是有界的，通過合理選取控制信號設計參數(shù)，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，能夠使得跟蹤誤差任意小。

5 仿真算例

考慮如下形式的含有輸入端滯環(huán)的二階非線性不確定性系統(tǒng)：

(32)

其中，u=H(v)代表輸入端滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)。

結合式(3)，被控對象式(31)變?yōu)?/p>

(33)

其中，

α1=γ1cos(ω1t)，α2=γ2cos(ω2t)
b(t)=γ4cos(ω4t)

(34)

式中，

γ1=0.7，γ2=-1，γ4=0.1，ω1=0.5，ω2=0.7，ω4=2

式(31)中

(35)

是輸入端滯環(huán)特性的非線性環(huán)節(jié)部分。其中，參數(shù)值選為K=10,α=5,B1=0.345,c=3.1635,u(0)=0,v(0)=0。

當在參考信號xd=0.8sin(0.5t+0.1cost)的自抗擾控制中加入滯環(huán)特性，取擴張狀態(tài)觀測器的參數(shù)依次為β1=10,β2=100,β3=300，對應的仿真圖像如圖4所示，總擾動信號觀測存在較大誤差。當增大觀測器反饋增益β3的取值時，能夠提高擾動信號的觀測精度，觀測曲線如圖5和6所示。

圖4 β3=100總擾動信號觀測曲線

圖5 β3=500總擾動信號觀測曲線

圖6 當β3=900總擾動信號觀測曲線

在跟蹤相同的正弦參考信號xd時，如果用PID控制，觀察跟蹤效果。因為PID的參數(shù)比較難調，只能根據(jù)曲線變化相應地改動比例和積分參數(shù)，通過調節(jié)參數(shù)值發(fā)現(xiàn)，當kp=5,kd=0.007時，效果比較好。經(jīng)典PID的跟蹤效果如圖7所示。

圖7 PID控制跟蹤曲線

由圖7可以看出，輸出信號曲線的跟蹤效果并不理想。系統(tǒng)輸出信號y=x1雖然穩(wěn)定，但是跟蹤效果存在很大的誤差，而且存在超調，達不到預期滿意的效果。

當采用自抗擾技術時，仿真圖像如圖8所示。由圖中曲線可以看出，控制效果明顯優(yōu)于PID控制器。基于擴張狀態(tài)觀測器對擾動信號的實時觀測與動態(tài)面信號的補償控制，輸出信號以很高的精度跟蹤參考軌跡。充分體現(xiàn)了自抗擾控制算法的魯棒性與快速跟蹤性能。同時，從跟蹤曲線可以看出，所采用的控制信號并沒有出現(xiàn)滑模控制信號的抖振問題。通過對比發(fā)現(xiàn)，在控制本文第2節(jié)給出的含有輸入端滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)的不確定非線性系統(tǒng)時，自抗擾控制算法在提高系統(tǒng)的魯棒性和快速性方面明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制策略。

圖8 動態(tài)面控制跟蹤曲線

(36)

其中，設計參數(shù)通過采用一種根據(jù)經(jīng)驗方法取值為kP=30，kI=0.2，kD=0.3來跟蹤一個給定的參考信號xd=0.85sin(1.25πt)/(1.25T),T=5s。

對于改進的動態(tài)面設計方法，其中參數(shù)值選為b0=0.025，c1=10，c2=23，r2=60，自適應參數(shù)值選為θ1=θ2=0.5，σ1=σ2=0.025。

6 結論

研究了輸入端含滯環(huán)的二階不確定非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制問題， 提出了一種自抗擾控制算法。首先通過對滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)的重新表述和坐標變換，設計了三階非線性擴張狀態(tài)觀測器。在對狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)和總擾動信號同時觀測的基礎上，提出了一種動態(tài)面控制律，在提高輸出信號跟蹤參考信號快速性的同時，避免了滑模控制帶來的抖振問題。數(shù)值仿真表明，該算法在跟蹤性能方面優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制算法。