一種改進的電離層反演投影矩陣生成算法

余龍飛，胡伍生

(東南大學交通學院測繪工程系,江蘇 南京 210096)

當觀測全球?qū)Ш蕉ㄎ恍l(wèi)星獲得的衛(wèi)星信號穿越電離層，電離層中分布的電子會對電磁波傳輸產(chǎn)生影響，使得衛(wèi)星信號產(chǎn)生彎曲現(xiàn)象，這種現(xiàn)象使得觀測全球?qū)Ш叫l(wèi)星已成為探測電離層的主要手段之一[1-2]。利用觀測全球?qū)Ш蕉ㄎ恍l(wèi)星探測電離層，可以建立區(qū)域甚至全球的電離層電子總含量的三維甚至四維空間的電離層模型[3]。其中像素基電離層層析模型是一種三維空間的電離層模型[4]，主要是將待反演區(qū)域離散化為一系列的像素網(wǎng)格，利用衛(wèi)星信號射線在像素網(wǎng)格的投影矩陣，采用非迭代算法或迭代算法解算每個網(wǎng)格的電子密度，從而建立三維電子密度模型。由于計算過程相對簡單，且計算結(jié)果精度較高，像素基電離層層析模型被廣泛地應用于電離層電子密度的反演過程中[5-6]。

投影矩陣的獲取是像素基電離層反演的關鍵步驟，也是其解算電離層電子密度的前提。本文針對傳統(tǒng)方法在求解過程中的復雜性，以及不能得到唯一解的問題，通過分析衛(wèi)星信號射線像素網(wǎng)格交點的向量關系，提出基于向量關系求解方法，不僅可降低解算的復雜程度，提高解求效率，更有利于編程數(shù)據(jù)處理。

1 傳統(tǒng)投影矩陣生成算法[7-8]

投影矩陣生成算法的最關鍵步驟是衛(wèi)星信號射線與三維像素的高度面、緯度面和經(jīng)度面的交點。傳統(tǒng)投影矩陣生成算法的交點計算如下：

如圖1所示，已知衛(wèi)星坐標S(XS，YS，ZS)，測站坐標G(XS,YS,ZS)，點P(x,y,z)是線段GS內(nèi)的任意一點，可知衛(wèi)星信號傳播路徑的直線方程為

(1)

圖1 交點示意圖

(1) 若高度面的高度為h，點Ph(xh,yh,zh)為高度面交點，則點Ph所在球面方程為

(2)

式中，R為地球半徑。將式(1)和式(2)聯(lián)立解算三元二次方程可獲得點Ph坐標。

(2) 若緯度面的緯度為B，點Pb(xb,yb,zb)為緯度面交點，則點Pb所在圓錐面方程為

(3)

將式(1)和式(3)聯(lián)立解算三元二次方程可獲得點Pb坐標。

(3) 若經(jīng)度面的經(jīng)度為L,點Pl(xl，yl，zl)為經(jīng)度面交點，則點Pl所在平面方程為

xltanL-yl=0

(4)

將式(1)和式(4)聯(lián)立解算三元一次方程可獲得點Pl坐標。

傳統(tǒng)投影矩陣生成算法中，對于高度面交點的計算，根據(jù)衛(wèi)星信號射線與圓球面相交的關系必有兩個交點，即三元二次方程必有兩組解；對于緯度面交點解算，根據(jù)衛(wèi)星信號射線與圓錐面相交的關系必有兩個交點，即三元二次方程必有兩組解；對于經(jīng)度面交點解算，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)方程必可獲得兩組解，即有兩個交點。由于三元二次方程及正切函數(shù)性質(zhì)，解算結(jié)果都存在兩組解，還需要根據(jù)點必在線段GS內(nèi)剔除另一個無效解。這種交點坐標計算采用代數(shù)方法，存在不僅解算過程煩瑣復雜而且不能直接得到唯一解的問題。

2 改進的投影矩陣生成算法

針對傳統(tǒng)投影矩陣生成代數(shù)算法存在的問題，改進的投影矩陣生成算法采用向量方法，利用向量關系可以簡單有效地獲得交點唯一解。已知衛(wèi)星坐標S(XS，YS，ZS)、測站坐標G(XS，YS，ZS)，點P(x，y，z)是線段GS內(nèi)的任意一點，由圖1可知

(5)

式中，O為坐標原點；k為實數(shù)且0

(6)

式中，R為地球半徑。將式(6)獲得的kh代入式(5)可直接獲得點Ph坐標。

圖2 高度面交點示意圖

(7)

(8)

圖4 經(jīng)度面交點示意圖

3 分析與試驗

為了驗證新投影矩陣生成算法的高效性，進一步分析上述中向量方程。式(6)和式(7)簡化為一元二次方程的形式為

ax2+bx+c=0

(9)

ax+b=0

(10)

采用實例進一步驗證新投影矩陣生成算法的高效性和準確性。本文選取待反演區(qū)域的經(jīng)緯度范圍為：30°—35°N、116°—122°E，高度范圍為100～1000 km。采用江蘇CORS在2010年11月19日05:00—05:15UT時段的10個GNSS觀測站接收GNSS信號，采樣間隔為30 s，在這一時段內(nèi)可用于電離層反演的有效衛(wèi)星信號射線為228個。選取三維像素的尺度為1°×1°×50 km，總共540個像素組成待反演區(qū)域，高度面有19個，緯度面有6個，經(jīng)度面有7個。衛(wèi)星信號射線與高度面交點有4332個，與緯度面交點有523個，與經(jīng)度面交點有895個。新投影矩陣生成算法需要計算5750次交點，傳統(tǒng)投影矩陣生成算法需要計算11 500次交點。新投影矩陣生成算法交點的計算次數(shù)僅是傳統(tǒng)投影矩陣生成算法的50%。除了計算交點之外，傳統(tǒng)投影矩陣生成算法還需要判斷11 500次這些交點是否在線段GS內(nèi)。

對比傳統(tǒng)投影矩陣生成算法，新投影矩陣生成算法在高度面和緯度面解算時，將三元二次方程簡化為一元二次方程，降低了待求未知數(shù)的個數(shù)，從3個降低到1個，從而降低了解算難度，同時高度面交點獲得唯一解，而緯度面交點根據(jù)二次未知數(shù)系數(shù)的正負直接解算唯一解，無需判斷解算結(jié)果是否在線段內(nèi)。在經(jīng)度面解算時，將三元一次方程簡化為一元一次方程，僅有唯一解，無需判斷方程解所在象限。

4 結(jié) 語

傳統(tǒng)投影矩陣生成算法時，解算方程組都會獲得兩組解，存在一倍的冗余計算，判斷有效解嚴重影響了計算效率，而且解算過程煩瑣。新投影矩陣生成算法采用向量關系計算三維像素各個面的交點，算法簡單易懂，減少了待求參數(shù)的個數(shù)，降低了解算難度，同時獲得唯一解。由于每次都能獲取唯一解，相對于傳統(tǒng)投影矩陣生成算法不存在冗余解，提高了一倍的效率，也沒有經(jīng)過判斷點位位置就能直接有效地獲得交點，也相對提高了計算效率。本文采用的實例也進一步驗證了新投影矩陣生成算法的高效性和準確性，影矩陣生成效率得到大幅度的提升。