法方程疊加的多模GNSS雙差精密算法

肖玉鋼，王 崢，陳 華，喻守剛

(1. 長江空間信息技術工程有限公司(武漢)，湖北 武漢 430010； 2. 武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079)

20世紀90年代美國全球定位系統(Global Positioning System，GPS)的出現顛覆性地改變了人們生產、生活方式中的諸多方面，其成功更促使世界多個國家和組織紛紛研究與建設自主的全球導航衛星系統(global navigation satellite system，GNSS)。預計不久的將來地球上空將存在至少4個GNSS系統(GPS、GLONASS、Galileo和BDS)總計約100顆導航衛星為全球用戶提供PNT(positioning,navigation and timing)服務[1]。多衛星導航系統并存的局面為進一步優化系統服務性能，拓展其應用空間提供了可能。相較于單一的GPS，多系統不僅可以擴展GNSS應用的地域范圍，增加可見衛星數量和觀測值類型，更能優化衛星幾何構型，緩解高山、城市峽谷等對PNT用戶的影響，進一步提升服務的可用性、精度和可靠性[2-6]。總之，多GNSS服務可以實現不同系統間的優勢互補，有望大幅提升GNSS多項性能指標[7]。

目前多模GNSS數據處理多基于非差觀測值甚至原始觀測值進行[8-10]。已有研究證明，當采用最小二乘法進行參數估計時非差算法與雙差算法是等價的[11-12]。但非差算法的精度直接取決于IGS等組織發布的衛星軌道、精密鐘差等產品的質量。目前GNSS軌道的三維精度僅為厘米甚至分米級[13]，再加上普遍為納秒級別的衛星鐘差，非差算法在區域網或局域網情況下所得基線相對精度一般。此外，IGS等組織發布的精密軌道、鐘差等產品存在最大約2周的時延。因此，在地質災害預警、結構物形變監測、交通導航等對服務精度和時效性要求較高的領域，非差算法不能很好地滿足需求。雙差方法通過消除空間相關性誤差，在基線較短時即使采用質量較低的廣播星歷也能實時得到高精度的解算結果。但在多模GNSS情況下，由于各系統載波頻率的不同以及ISB(inter-system bias)、IFB(inter-frequency bias)等的存在，系統間雙差模糊度不具備整周特性，不能直接在系統間構建雙差觀測值[14-16]，影響了多模GNSS的應用與推廣。

針對上述問題，本文提出一種基于法方程疊加的多模GNSS雙差算法。該方法在各系統內部單獨構建雙差觀測值，經過先驗初值統一、先驗約束消除與添加，將各系統的法方程疊加，實現各類地學參數的聯合估計。實測數據分析表明，該方法精度高、擴展性強、實施簡單，可廣泛應用于地殼形變監測、ERP參數估計、導航衛星軌道確定、地面控制網布設、結構物形變監測等領域。

1 基于法方程疊加的多模GNSS雙差解算

各GNSS系統根據雙差組合觀測值形成法方程的過程在較多文獻中均有涉及[17-19]，本文不再贅述，主要討論各GNSS法方程先驗初值統一、先驗約束消除與添加及法方程疊加過程。

1.1 先驗初值統一

構成法方程時各系統所采用的參數先驗初值一致是進行法方程疊加的前提，否則需對法方程系統處理以統一先驗初值[20]。

假設某系統在構建觀測方程時以X1為初值，為進行法方程疊加需要將其初值轉換為X0，且X0=X1+dx。以X0為初值的誤差方程和法方程分別為

(1)

式中，v0為殘差；B0為設計矩陣；N0為法方程矩陣；l0為誤差方程常數項；b0為法方程右側常數項；x0為以X0為初值時所對應的參數估值。

以X1為初值的誤差方程和法方程分別為

(2)

式中,v1為殘差；B1為設計矩陣；N1為法方程矩陣；l1為誤差方程常數項；b1為法方程右側常數項；x1為以X1為初值時所對應的參數估值。

由于參數估值與初值無關，因此

X=X0+x0=X1+x1

(3)

故

x1=x0+dx

(4)

當兩套初值相差不大時認為兩個法方程系統的設計矩陣B及系數矩陣N均相同。將式(4)代入式(1)和式(2)得

l0=l1-Bdx

(5)

從而

b0=BTPl0=BTPl1-BTPBdx=b1-Ndx

(6)

式中，P為觀測值所對應權矩陣。

將式(6)代入式(1)得

Nx0=b1-Ndx

(7)

因此通過對法方程系統右側常數項進行簡單調整即可實現參數估計先驗初值的統一。

1.2 先驗約束消除與添加

GNSS數據處理過程中經常出現法方程秩虧現象，主要是因為待估參數較多且相互耦合，導致部分參數之間強相關。為獲得準確可靠的平差結果，通常需要在法方程解算前根據外部信息對待估參數施加先驗約束，并將約束信息轉換為虛擬觀測方程聯系到法方程系統中[21]。為避免其對整體平差結果的影響，需在法方程疊加前消除各系統原有的先驗約束信息。

假設原始觀測方程與法方程分別為

(8)

式中，v為殘差；B為設計矩陣；N為法方程矩陣；x為參數估值；l為誤差方程常數項矩陣；b為法方程右側常數項矩陣。

附加的先驗約束以虛擬觀測值的方式表示為

v=x-lc=x-(Xc-X0)

(9)

式中，X0為待估參數初值；Xc為待估參數先驗約束值；lc為虛擬觀測方程中的常數項。

則附加先驗約束后的法方程系統為

(N+Pc)x=b+Pclc

(10)

式中，Pc為待估參數先驗權陣。

通常情況下觀測方程中待估參數初值取與先驗約束值一致，因此式(9)中lc=0。式(10)可轉化為

(N+Pc)x=b

(11)

先驗約束消除是添加的逆過程。由上述推導可知，若施加先驗約束后的法方程系統為

N′x=b

(12)

則消除先驗約束后的法方程為

(N′-Pc)x=b

(13)

一般在法方程疊加之后需要對整體法方程重新施加先驗約束以解決秩虧問題。這一過程可根據式(11)進行。

1.3 法方程疊加

在統一各法方程系統中待估參數的先驗初值并消除先驗約束后可進行法方程疊加。

在考慮軌道改進的情況下(其他情況類似)，假設基于GPS雙差觀測值構成的法方程為

(14)

基于BDS雙差觀測值構成的法方程為

(15)

不同法方程系統中通常含有相同的參數。如在式(14)和式(15)中測站坐標、對流層延遲和ERP參數是相同的。因此在疊加法方程時需進行參數合并。由式(14)和式(15)為例可得疊加后的法方程系統為

(16)

在參數估計結束后要評價參數估值結果的精度。單位權中誤差是精度評定的重要指標，其無偏估計可表示為

(17)

式中，σ0為單位權中誤差；n為觀測值數量；t為待估參數數量；VTPV為驗后殘差加權平方和，可表示為

(18)

根據式(16)和式(17)即可實現基于法方程疊加的多模GNSS觀測值雙差解算。

2 數據分析

為驗證基于法方程疊加的多模GNSS雙差算法的有效性，本文搭建了模擬變形平臺，利用實測數據從內、外符合精度等多個角度出發對結果進行了分析。數據處理平臺由GAMIT改編得到，可利用GPS/BDS單雙模數據實現測站位置、衛星軌道、ERP參數等的聯合估計。

2.1 觀測數據

試驗利用GPS、BDS雙模數據。采用的儀器為Trimble NetR9型接收機，天線型號為TRM29659.00。共布設3個測站(JZ01、JC01、JC02)，位于中國中部某城市。所有測站均為土層觀測墩，高出地面3 m。其中JZ01站基座深8 m，為鋼筋混凝土結構;JC01、JC02站基座深3 m，為鋼結構。各測站視野開闊，高度角10°以上基本不存在遮擋物。測站間基線長度見表1。3個測站均配備有強制對中標志。另外JC02站裝置有精度測試系統，可以通過旋轉螺栓使接收天線在水平和垂直方向上精確移動，精度優于0.1 mm。

表1 測站間基線長度 m

本次試驗采集了從2014年8月5日至9月3日(年積日217～246)共30天的數據，采樣間隔30 s，截止高度角10°。數據采集過程中JC02的位移見表2。為滿足變形監測較高的精度需求，本文采用時段解模式，時段長4 h。

表2 試驗平臺位移量 mm

2.2 結果分析

為分析變形結果的內符合精度，本文對JZ01—JC01基線30 d的數據進行了解算。重復性統計結果見表3。

表3 不同星座組合基線重復性比較 mm

由表3可知，與單GPS相比，單BDS解算精度稍低，尤其在U方向。本文推測這是由目前BDS尚未實現滿星座運行引起的。現有BDS工作衛星星座構型較差，造成單BDS結果精度較低。另外，BDS解算中存在未改正或改正不完善的系統誤差，如PCO、PCV等，也影響BDS解算精度。此外，需要注意的是，GPS/BDS雙模解算結果優于單BDS結果，但與單GPS相比并無明顯提升。本文認為除了BDS解算存在上述問題外，還由于本試驗基線較短，單GPS解算結果精度已經相當高，給GPS/BDS雙模解算留下的提升空間有限。

為分析解算結果的外符合精度，本文統計了JZ01—JC02基線在試驗平臺調整前后各測段各分量雙模解算結果的較差，其中基準值采用JC02測站未調整時所對應的基線向量，結果如圖1所示。由于每天9：00(北京時間)左右調整變形監測試驗系統的位移量，因此舍棄第一個時段(8:00—12:00)的數據，每天只統計5個時段的結果。

由圖1可知，對于3 mm的變形，無論發生在水平方向或高程方向均可輕易識別。當變形為2 mm時，水平方向仍可輕易識別，但高程方向的較差已不太明顯。進一步，當變形量為1 mm時，水平方向仍可以分離出此變形，但高程方向的基線分量較差表現出較大的隨機性，已不足以提供明確的變形信息。因此，結合本節上述對基線內符合精度的討論，認為基于本文所提出的多模算法和搭建的數據處理平臺，本試驗可達到水平1 mm、高程2 mm左右的監測精度。

圖1 試驗平臺調整前后各測段基線分量較差

3 結 論

隨著目前BDS、Galileo等GNSS系統建設的穩步推進，多模GNSS數據處理方法與應用的研究已成為衛星導航領域的熱點。本文主要分析了基于法方程疊加的多模GNSS雙差算法。通過實測數據分析與討論，得到如下結論：

(1) 在本文試驗中，與單GPS相比，單BDS精度稍低，尤其在U方向。推測主要由目前BDS尚未實現滿星座運行引起，以及BDS也存在部分未改正或改正不完善的系統誤差，如PCO、PCV等。

(2) GPS/BDS雙模解算結果優于單BDS，但與單GPS相比并無明顯提升。除BDS還存在部分問題外，也由于本試驗所用基線較短，單GPS解算結果精度已經較高，GPS/BDS雙模解算結果精度的提升空間有限。

(3) 通過變形監測試驗平臺的分析結果發現，基于法方程疊加的GPS/BDS多模雙差算法在短基線條件下能夠達到平面1 mm、高程2 mm的精度水平，滿足大部分變形監測工程的需要，可以在生產實踐中推廣應用。