串行伯努利生產線的實時維護決策控制

李 洋, 鄧 嘉, 張新艷

(同濟大學 機械與能源工程學院, 上海 201804)

制造系統需要將設備保持在良好的工作狀態以防止設備故障，合理的設備維護作為典型的制造業生產性服務[1]對于保證生產線高效運行具有至關重要的作用[2].基于狀態的維護(condition-based maintenance, CBM)是一種根據設備退化程度進行維護的決策方式，及時運用CBM方法輔助生產決策可以降低故障頻率，減少維修費用.但由于進行CBM需要暫時停止設備運行，所以會在一定程度上影響系統產量[3].CBM引起的設備停機對于生產線的影響不僅僅單獨作用于維護設備，還會引起其上游設備的阻塞或下游設備的饑餓，進而影響生產系統的整體效率，延誤既定的生產進程.因此，如何平衡設備故障導致的潛在風險和停機維護引起的產量損失，在恰當的時間對設備進行維護，是每個生產系統不容忽視的問題.

在制造系統中，利用緩沖區庫存可以有效減少設備維護帶來的生產損失，保證維護設備在停機時其上、下游工序可以繼續生產[4].作為學術和工業界關注的焦點，國內外學者不斷對帶緩沖區庫存的生產系統的維護決策問題提出各種分析和解決方法，旨在提高系統的生產率.對于雙機生產線，Karamatsoukis等[5]證明了根據系統狀態控制維護決策的合理性.Gan等[6]對具有衰退特征的設備生產線建立基于馬爾可夫鏈的數學模型，加上對備件庫存量的考慮，確定上游設備的最佳維護周期.陸志強等[7]針對可修復設備，同時對單位時間成本和系統可用度進行雙目標優化.對于上下游設備同時退化的雙機生產線，Fitouhi等[8]以提高系統整體生產效率為目標，計算了最佳維護點，并證明了設備運行速度對維護決策的影響.對于多機復雜系統，Nahas[9]在產量約束的前提下綜合考慮維護活動對系統的整體影響，通過合理分配各緩沖區的容量，確定最優預防性維護策略.周炳海等[10]通過建立系統狀態與質量損失間的函數關系，確定機會維護決策點.面對維護后不能完全恢復如新的設備，Zhang等[11]研究了故障設備數量與維護決策之間的關系.

上述文獻在計算維護活動造成的生產損失時，往往假設系統損失的產量與設備停機時間成正比.然而由于復雜生產系統中設備和緩沖區的交互作用[12]，并非所有的停機時間都會對系統造成永久性的生產損失，部分停機時間只會導致產量臨時降低，并在后續的生產活動中得以恢復[13].對于機器可靠性服從伯努利分布的生產線，Chang等[14]驗證了通過計算停機維護造成的生產損失，可以量化維護活動對系統產生的影響.Li等[15]建立了基于事件的模型來量化設備活動對生產系統的影響.上述文獻通過可檢測到的生產數據評估了停機活動對系統產生的影響并尋求改進，但無法預測系統后期的動態變化并提前做出準備.

綜上所述，目前很少有文獻在準確描述系統動態的基礎上預測設備停機對系統帶來的影響.因此，研究設備符合伯努利可靠性模型的生產線[16](伯努利生產線)實時維護決策問題，建立基于馬爾可夫過程的數學模型描述系統的實時動態變化，預測維護活動對系統帶來的潛在影響，使系統在一系列的停機維護過程中永久性生產損失最小，并通過仿真實驗，驗證模型和算法的有效性.

1 問題描述

考慮一條如圖1所示的具有M臺設備、M-1個緩沖區的串行伯努利生產系統.Mm表示第m個設備，bm表示第m個緩沖區.該系統的符號和假設如下：

圖1擁有M臺設備和M-1個緩沖區的串行伯努利生產線

Fig.1BernoulliserialproductionlinewithMmachinesandM-1buffers

(1) 緩沖區bm,m=1,…,M-1的容量上限為Bm.

(2) 設備Mm,m=1,…,M的生產周期相同，系統按照機器生產周期劃分為生產階段t=1,…,T.

(3) 系統中所有設備均為可靠性為pm的伯努利設備，即在階段t，設備Mm運行的概率為pm，失效的概率為1-pm.

(4)αm表示設備Mm的狀態.

(1)

(5) 設備Mm的最大速度為Sm，即在運行過程中，設備Mm的時速不超過Sm.

(6) 如果設備Mm*的加工速度最小，即MM*=arg minm=1,…,M(Sm)，則設備Mm*稱為最慢設備.

(7) 當系統滿足以下條件時，Mm阻塞：①Mm運行；②下游緩沖區容量bm(t)=Bm；③Mm+1不運行.

(8) 當系統滿足以下條件時，Mm饑餓：①Mm運行；②上游緩沖區容量bm-1(t)=0.

(9)M1永遠不會饑餓，MM永遠不會阻塞.

(10)ei=(Mm,ti,di)表示發生在設備Mm的停機事件，停機時間為[ti,ti+di).

1.1 基于馬爾可夫過程的系統動態描述

(2)

bm(t)=bm(t)+sm(t)-sm+1(t),m=1,…,M-1

(3)

其中，設備Mm在階段t的生產速度為

(4)

在階段t，生產系統的設備狀態共有2M種組合方式，每種組合方式分別對應了不同的緩沖區容量變化情況.假設系統在階段t的狀態為U(t)=[b1(t),b2(t),…,bM-1(t)]，不同的設備狀態組合對應了不同的U(t+1).系統狀態從U(t)轉移到U(t+1)的轉移矩陣計算步驟如下：

步驟1 計算階段t設備狀態α1(t),α2(t),…,αM(t)的組合概率

(5)

步驟2 假設在階段t，系統狀態U(t)=[b1(t),b2(t),…,bM-1(t)].根據式(3)和(5)，求出每種設備狀態組合所對應的下一階段的系統狀態U(t+1).

步驟3 將對應了相同的系統狀態的設備狀態組合概率相加，即得到系統從U(t)變成U(t+1)的轉移概率.

步驟4 對所有系統狀態重復以上步驟，直到得到系統狀態轉移矩陣A.

通過以上步驟，當給定系統初始狀態Psys(0)時，任一生產階段的系統狀態可以由式(6)迭代得到

Psys(t+1)=APsys(t)

(6)

1.2 機會窗口

1.2.1機會窗口的定義

Li等[16]提出，機會窗口是指事件ei=(Mm,ti,di)引起設備Mm停機但不會造成永久性生產損失的最長停機時間.只有當停機事件ei的持續時間大于機會窗口Wm(ei)時，系統才會產生永久性生產損失.根據以上定義，機會窗口可以由以下公式表示：

(7)

從式(7)可以看出，機會窗口的定義與停機設備在生產線的相對位置有關.當Mm位于MM*上游(1

根據機會窗口的定義，通過分析MM*在停機過程[ti,ti+di)中的狀態變化，找出其饑餓或阻塞的時間點，可以準確量化停機維護對系統產量的影響.因此，發生在Mm的停機事件ei=(Mm,ti,di)對系統造成的永久性生產損失L(ei)則可以通過最慢設備MM*在系統停機時間里的產生的生產損失來衡量.

(8)

1.2.2機會窗口的單調性

從機會窗口的定義可以看出，機會窗口Wm(ei)的長度與停機設備Mm和最慢設備MM*之間的緩沖區容量有關.Mm和MM*相對位置的不同，Wm(ei) 呈現不同的單調性.

定理1在服從假設(1)～(10)定義的伯努利生產線中：

證明假設停機事件發生于最慢設備MM*的上游(1

(9)

(10)

(11)

(12)

因此，Mm的機會窗口Wm(ei)為

(13)

2 模型求解

2.1 機會窗口計算

結合系統動態描述和機會窗口的定義，可以計算出在復雜系統動態下各個設備的機會窗口，進而預測停機事件ei對系統產量的影響.假設存在停機維護ei=(Mm,ti,di)，根據機會窗口的定義，為了確定Mm不造成生產損失的最長停機時間，需要找到維護設備Mm和最慢設備MM*之間緩沖區容量開始變為零(1

(14)

則機會窗口的定義可以簡化為

(15)

因此，維護活動ei=(Mm,ti,di)的機會窗口Wm(ei)可以通過以下步驟求得.

步驟1 初始化：d=0.

步驟2 根據式(5)求得系統狀態在ti+d的概率分布Psys(ti+d).

步驟4 計算機會窗口為d的概率P(Wm(ei)),為

(16)

步驟6d=d+1，根據式(5)，確定階段ti+d的系統轉移概率并轉到步驟2.

通過以上步驟可以得到機會窗口Wm(ei)的概率分布，即P(Wm(ei)=0),P(Wm(ei))=1,…，P(Wm(ei)=n).則Mm機會窗口Wm(ei)的期望可以表示為

(17)

2.2 實時CBM決策控制算法

根據上文的算法，可以計算出待維護設備Mm的機會窗口，進而量化維護活動ei對生產線造成的永久性生產損失.為了降低此損失，維護活動應盡量安排在機會窗口較長的生產階段.因此，如何調整維護活動ei的停機時間，保證停機時Mm的機會窗口相對較長，是下一個需要解決的問題.假設每次維護的決策窗口為[0,T)，即對于維護活動ei=(Mm,ti,di)，其開始時間ti可以為決策窗口時間段內的任一時間點，即0≤ti

步驟1 初始化：ti=0.

步驟2 根據2.1節的計算步驟，求出系統在階段ti的機會窗口Wm(ei).

步驟3ti=ti+1，判斷ti

步驟4 根據式(5)，確定階段ti的系統轉移概率并轉到步驟2.

(18)

3 算例分析

如圖2，假設一條擁有4臺設備和3個緩沖區的伯努利生產線，長方形表示生產機器，圓形表示緩沖區.隨運行時間增加，設備M1和M3的健康狀態不斷退化，設備可靠性隨之降低.用hi表示Mi的健康狀態，從初始狀態hi(0)=1不斷衰減至退化狀態，即0

圖2 擁有4臺設備和3個緩沖區的伯努利生產線

表2 緩沖區性能參數

實驗1證明了機會窗口的單調性，即通過調整緩沖區容量，可以減少維護活動ei=(Mm,ti,di)對生產系統的影響.假設對設備M1和M3按時進行維護，其平均修復時間分別為R(t)=R1·e0.008t和R(t)=R3·e0.006t，平均無故障時間分別為F(t)=F1·e-0.008t和F(t)=F1·e-0.006t，其中R1=3.5 h，R3=4 h，F1=10 h，F3=8 h.生產線每天運行8 h，連續工作80 h.由于維護設備M1和M3位于最慢設備M4上游，根據機會窗口的單調性規律，增加的b2和b3緩沖區容量可以減少M4饑餓的概率，從而增加M1和M3機會窗口的時長.假設有一批加時生產的半成品x存儲在設備M4上游，當M4由于停機維護而饑餓時，可以通過加工半成品x保證生產線繼續運行.實驗1驗證了當x分別等于0、2、4、6、8、10時所對應的系統產量和生產損失情況.圖3所示在x等于0到8時，系統產量G從52.34增加至72.12，增幅達到37.79%.而在x等于8和10時，產量略有減少.圖3所示x等于0到8時，系統生產損失從21.25減少到10.34，降幅達到51.34%.而在x等于8和10時，生產損失略增.這是因為x從0增加到8時，M1和M3最大機會窗口小于停機時間，因此其增長對減少生產損失、增加產量有明顯的影響.當x大于8后,機會窗口等于或超過停機時間，因此無法再通過增加機會窗口而增加系統產量或減少生產損失.

實驗2證明了實時CBM決策控制算法的合理性，即通過預測機會窗口靈活調整維護活動的開始時間，降低生產損失.假設設備Mi(i=1,3)有一組維護計劃Ei={ei,1,…,ei,n}，每次維護活動ei,j(j=1,…,n)的決策窗口W=1 h，即設備Mi在1 h內任意時刻均可以停機維護.決策窗口W的間隔時間和維護活動的持續時間服從指數分布，且均值分別為8 h和4 h.生產線每天運行8 h，連續工作240 h.實驗2對比了停機維護開始時間的選擇在以下3種策略下對生產線的不同影響.

圖3 不同半成品x數量影響下的系統產量和生產損失變化

Fig.3Systemthroughputproductionlossvariationwhenaddingdifferentamountofsemi-finishedproducts

策略1：在決策窗口開始時停機維護.

策略2：隨機選擇時間停機維護，即維護活動的開始時間為決策窗口W內任一時刻.

策略3：實時CBM決策控制方法.

圖4顯示了3種策略下每次維護造成的永久性生產損失.從圖4可以看出，由于策略3可以有效緩解CBM對產量的影響，因此在該種策略下產生的損失低于前2種策略.如表3所示，在決策窗口開始時停機維護和隨機選擇時間停機維護對系統造成的平均生產損失分別為19.25和17.38，而利用實時CBM決策控制方法來控制停機維護的生產損失只有10.56，相較于前2種情況，生產損失分別減少了45.14%和39.24%，有效提升了系統產量.

4 結論

研究了伯努利生產線的實時維護決策問題，通過建立數學模型描述生產系統的狀態變化，預測待維護設備的機會窗口，從而控制CBM決策，降低生產系統由于停機維護所導致的永久性生產損失.實驗結果表明，本文的數學模型可以有效描述復雜系統的動態變化，量化停機維護對生產線帶來的負面影響.而CBM控制算法對降低由維護導致的永久性生產損失有明顯效果.本文目前只從生產損失角度來評估CBM對制造系統帶來的影響，而在實際生產中，維護決策的實施還要考慮生產成本、維護成本和庫存成本等其他方面的因素.綜合考慮以上多種成本對維護決策的影響是后續工作重點.

a 策略1

b 策略2

c 策略3

CBM維護策略平均生產損失/(件·d-1)策略119.25策略217.38策略310.56