通過基爾霍夫衍射積分計算激光橫模光場

王藝蓉，藍佳雯靜，孫 萍，屈 帥，高 著

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

激光器由增益介質(zhì)、光學(xué)諧振腔和激勵源組成. 激光諧振腔有本征頻率，每個頻率對應(yīng)1種光場分布，叫做1種模式[1]. 完整描述1種模式需要知道橫向與縱向的光場分布狀態(tài)，其中，縱模描述軸向光場分布，橫模描述橫向光場分布.

諧振腔的結(jié)構(gòu)不同，它的模式也不同. 分析諧振腔的數(shù)值方法有快速傅里葉變換方法[2-3](FFT)、有限差分法[4](FDM)、有限元光束傳播法[5](FEM-BPM)、Fox-Li數(shù)值迭代法[6]等，而對于典型結(jié)構(gòu)的諧振腔，采用解析法就已經(jīng)足夠. Boyd和Gordon首先證明了方形鏡共焦腔模式積分方程有嚴(yán)格的解析解[6].

惠更斯-菲涅耳原理是分析衍射問題的基礎(chǔ)，該原理數(shù)學(xué)上表示為基爾霍夫衍射積分，在分析諧振腔模式問題時用到基爾霍夫衍射積分[7-9]. 本文將通過基爾霍夫衍射積分求出方形共焦腔的光場解析解，并利用Matlab畫出幾種簡單的光場分布，與實驗中獲得的諧振腔出射光斑進行比較.

1 方形共焦凹球面鏡橫模分裂

橫向光場是由衍射導(dǎo)致的[1]，分析起來較縱模來說更為復(fù)雜，需要通過基爾霍夫衍射積分計算光場分布[6]：

(1)

(a) (b)圖1 方形共焦凹球面鏡諧振腔

在圖1條件，基爾霍夫衍射積分可以化為[6]

(2)

式中Cmn為本征值.

對(2)式進行變量代換：

(3)

通過分離變數(shù)[6]，令Umn(x,y)=Fm(X)Gn(Y)，解出Fm(X)和Gn(Y)為角向長橢球函數(shù)：

(4)

角向長橢球函數(shù)比較抽象，查詢數(shù)學(xué)手冊，給出特例如圖2所示.

圖2 角向長橢球函數(shù)

得到光場分布為

方形共焦凹球面鏡橫向光場的不同模式如圖3所示.

當(dāng)菲涅耳數(shù)很大時，還可以通過超橢球函數(shù)近似得到圓形鏡橫向光場不同模式，如圖4所示.

(a)TEM00

(b)TEM10

(c)TEM02圖3 方形共焦凹球面鏡橫向光場的不同模式

(a)TEM00

(b)TEM10

(c)TEM02圖4 圓形共焦凹球面鏡橫向光場不同模式近似

2 實驗結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

實驗儀器：He-Ne激光器，CMOS,長激光管.

實驗通過光屏接收到光斑，利用手機攝像頭(CMOS)記錄圖像,如圖5所示.

圖5 光斑形狀

從圖5并不能明顯看出激光的橫模組分，可將該圖片導(dǎo)入Matlab進行處理，得到光強分布如圖6所示.

圖6 未除噪光強分布圖

從圖6可以看出光強分布主要為高斯分布，對應(yīng)著橫模TEM00，但仍存在其他的光場分布. 通過小波除噪并進行二值化，得到圖7. 圖7中，光強在x方向達到1次最小值，在y方向達到2次最小值. 對照圖3，橫模TEM10在x方向達到1次最小值，橫模TEM02在y方向達到2次最小值. 故圖7的光場分布至少為橫模TEM00,TEM10和TEM023種橫模光場的疊加，若確認是否有其他模的存在，需要結(jié)合頻譜圖分析[10].

圖7 除噪二值化光強分布圖

3 結(jié) 論

橫模產(chǎn)生的原因是由于激光波矢方向與諧振腔軸線有夾角，光在諧振腔內(nèi)壁發(fā)生衍射. 通過基爾霍夫衍射積分得到方形共焦凹球面鏡的解析解，通過Matlab繪制光場. 當(dāng)菲涅耳數(shù)很大時，近似得到圓形共焦凹球面鏡的光場分布. 將理論模型下利用Matlab得到的光場分布圖像與實驗結(jié)果進行比較，發(fā)現(xiàn)實驗中諧振腔的光場分布實際上是多種橫模模式的疊加. 確定這些模中存在TEM00,TEM10和TEM023種橫模光場.