基于蟻群算法分數階PID控制器在溫度控制系統的應用

劉智城，楊向宇

(華南理工大學 電力學院，廣東 廣州 510640)

0 引言

生物學家研究發現，螞蟻在覓食過程中會留下一種分泌物，即信息素，也稱外激素。螞蟻在運動過程中能感知這種物質的存在及其濃度，并進行路徑的選擇，同時會在所經過的路徑上釋放信息素。信息素的濃度隨時間慢慢揮發，因此在相同時間內，從巢穴到食物源所走的路徑越短，信息素殘留的濃度就越高，再次被螞蟻選中的概率就越大。蟻群的集體行為構成了一種學習信息的正反饋機制，即通過個體之間的信息交流與相互協作最終找到最優解。蟻群算法包含兩個基本階段：適應階段和協作階段。在適應階段，各候選解根據積累的信息不斷調整自身結構。在協作階段，候選解之間通過信息交流，以期望產生性能更好的解[1]。

在蟻群優化算法中，一個有限規模的人工螞蟻群體，可以相互協作地搜索用于解決優化問題的較優解。每只螞蟻根據問題所給的準則，從被選的初始狀態出發，建立一個可行解，或是解的一個組成部分。在建立問題的解決方案時，每只螞蟻都收集關于問題特征和自身行為規則的信息。螞蟻既能獨立工作，又能共同行動，顯示了一種相互協作的行為。它們通過信息素進行信息的交換。每只人工螞蟻都能夠找到一個解，但很可能是較差解。蟻群的所有個體建立起很多不同的解決方案，再通過相互協作找出高質量的解[2]。人工螞蟻并不試圖完全模擬真實的螞蟻，但其具有真實螞蟻所沒有的能力，如：人工螞蟻有記憶所經歷路徑的能力；能夠存儲螞蟻過去的信息，以便于攜帶有用的信息用于生成解決方案的優劣度，控制解決方案。例如，在TSP問題中，利用螞蟻的記憶，可以將螞蟻走過的城市置于一個禁忌表中，來禁止螞蟻重復走過這些城市，進而滿足TSP問題的約束條件[1][3]。

在基本蟻群算法中，人工螞蟻的行為可以描述為：人工螞蟻通過相互的協作，在所求問題的解中搜索可行解，人工螞蟻按照人工信息素濃度的大小和基于問題的啟發式信息，在問題空間移動來構造可行解。在此，信息素類似于一種分布時的長期記憶，這種記憶全局地分布于整個問題的解空間中。當人工螞蟻在問題空間中移動時，在經過的路徑上留下信息素，這些信息素反映了人工螞蟻在問題空間覓食過程中的經歷[4]。人工螞蟻在解空間中逐步移動從而構造問題解，同時它們根據解的質量在其路徑上留下相應的濃度信息素。蟻群中的其他螞蟻傾向于沿著信息素濃度大的路徑前進，同樣螞蟻在這些路徑上留下自己的信息素，從而形成一種正反饋形式的強化學習機制，來指引蟻群找到高質量的問題解。蟻群算法還應包括另外一種機制，即信息素的揮發，螞蟻走過路徑上的信息素隨著時間不斷揮發，驅使螞蟻搜索解空間中新的領域，避免求解過程過早地收斂于局部最優解[5]。蟻群算法必須有運行停止標準，即所求解達到預定的條件后，算法停止繼續求解。流程圖如圖1所示，其中NC為迭代次數。

圖1 基本蟻群算法流程圖

1 蟻群算法PID控制器設計

PID控制器系統的原理圖如圖2所示。

圖2 PID控制原理圖

其中:r(t)為輸入量，u(t)為控制量，y(t)為輸出量，e(t)為輸入與輸出之間的偏差量，即e(t)=r(t)-y(t)。連續時，控制量與偏差量滿足：

(1)

離散時，控制量與偏差量滿足如下差分方程和增量形式[1]：

(2)

(3)

式中:u(n)為本次控制量，e(n)為本次誤差，TI為積分時間常數，TD為微分時間常數，Kp為比例系數，T為采樣周期。

在采樣周期已知的情況下，PID控制器只有3個參數需要確定，即：Kp、TI和TD，使某一控制性能達到最佳。

蟻群算法優化PID參數的過程：

(4)

一次遍歷結束后，對每只螞蟻走過的路徑進行評價[6]。首先求得對應的解，求解式為：

(5)

xi=(xiH-xiL)ei+xiL

(6)

再求取相應的目標函數。然后記錄下當前的最佳路徑。接下來對各只螞蟻所經歷路徑上的信息素進行更新，即:

(7)

為了加強最佳路徑對螞蟻行為的影響，需要對其信息素進行強化，即：

信息素更新完成后，進入下一次遍歷，直到達到最大遍歷次數NC為止。最后，輸出在歷次遍歷過程中所選出的最佳路徑所對應的解。

蟻群算法尋優簡單，魯棒性強，是一種效率很高的優化算法，它不依賴于數學模型，使處理問題更具有適應性、魯棒性。

2 分數階PID控制器設計

對于一些復雜的實際系統，用分數階微積分建模要比整數階模型更準確，對于分數階模型則需要分數階控制器來提高控制效果。分數階PID控制器由于多了2個參數，增加了控制的靈活度，對于分數階系統的控制具有較好的效果，且對于整數階系統的控制，也具有一定的控制效果[7-8]。

整數階PID 控制器的傳遞函數描述為：

(8)

式中：U(s)為控制器的輸出；E(s)為控制器的誤差輸入。將式(8)中的微分和積分項的階次推廣到分數，即可得分數階PID控制器的傳遞函數[2]。

(9)

式(9)中，當λ=μ=1時，Gf(s)就變為整數階PID控制器的傳遞函數，因此整數階PID控制器是分數階PID控制器的特殊形式。分數階PID所對應的時間域方程可以表示為：

u(t)=Kpe(t)+KiD-λe(t)+KdDμe(t)

(10)

式中D-λ、D-μ為分數階微分算子。

從式(9)、式(10)可以看出，相比傳統PID 3個參數的整定來說，分數階PID控制器的整定參數有5個，比整數階控制器多了2個自由度，即：微分器和積分器的階次，因此分數階PID更具有靈活性，能更加靈活的控制受控對象，可以得到更好的控制效果[9-10]。

3 仿真與實驗

某真空感應爐溫度控制系統為二階慣性環節，其傳遞函數為：

其中:τ1、τ2為真空感應爐溫度控制系統的時間常數，K為控制系統的比例系數。

當τ1=12s、τ2=10s、K=1 000時，其傳遞函數為：

為獲取滿意的控制效果，采用時間乘絕對誤差積分準則(ITAE)作為目標函數，這種準則能反映控制系統的快速性和精確性，具有較小的超調量和較快的響應速度，即目標函數為：

式中，e(t)為系統誤差，ts為SIMULINK仿真時間。

蟻群算法中使用的城市個數City=30，路徑數Path=10，螞蟻個數Antsize=40，信息素殘留系數取ρ1=0.8，ρ2=1.0，總遍歷次數取NC=20。

在應用蟻群算法進行優化時，為了避免所選取參數優化范圍過大，考慮實際控制條件限制的前提下，先按經驗選取一組較好的參數，然后再根據這組參數確定參數優化范圍，利于節約計算量。本案例參數尋優范圍為：KP∈[0，120]、KI∈[0，0.1]、Kd∈[0，0.1]、λ∈[0，1]、μ∈[0，1]。由于螞蟻路徑的選取是以隨機概率選取的，因此每次運行的結果都不一樣，有差異，可多運行幾次，選取控制效果最好的一組參數作為尋優結果。

PID控制器優化參數為：KP=110.771 2、KI=0.038 35、Kd=0.011 844，最優參數所對應的目標函數值為：J=1.53×10-6。

分數階PID控制器優化參數為：KP=119.927 5、KI=0.065 5、Kd=0.032，λ=0.462、μ=0.145 5，最優參數所對應的目標函數值為：J=1.229 3×10-6。

采用優化整定后的PID控制階躍響應和分數階PID控制階躍響應對比圖如圖3所示。

圖3 PID控制和分數階PID控制階躍響應對比圖

在0.025s～0.03s加入干擾信號后，采用優化整定后的PID控制階躍響應和分數階PID控制階躍響應的對比圖如圖4所示。

圖4 干擾影響下的PID控制和分數階PID控制階躍響應對比圖

由圖3-圖4可知(黑白印刷有疑問可咨詢作者)，基于蟻群算法優化后，PID控制階躍響應無超調，調節時間短，響應速度快；相比PID控制，分數階PID控制階躍響應無超調，調節時間更短，響應速度更快，目標函數的值更小。有干擾的情況下，相比PID控制，分數階PID控制的抗干擾能力更強，魯棒性更好。

4 結語

通過仿真分析對比可知，基于蟻群算法優化的整數階PID控制器比傳統PID控制器具有更優的性能；基于蟻群算法優化的分數階PID控制器相對于基于蟻群算法優化的整數階PID控制器具有更短的調節時間，也沒有超調，且響應速度更快。