“逐差法”不僅可以求加速度

李偉康 朱小勤

(蕪湖市第一中學 安徽 蕪湖 241000)

1 “逐差法”的內涵和意義

【例1】(2006年高考重慶卷第22題)某同學用如圖1所示裝置測量重力加速度g，所用交流電的頻率為50 Hz，在所選紙帶上取某點為0號計數點，然后每3個點取一個計數點，所有測量數據及其標記符號如圖2所示．該同學用兩種方法處理數據(T為相鄰兩計數點的時間間隔)：

百分差

5 創新點

(1)通過無線設備遙控測量牛頓環，使系統簡便且易于操作．

(2)對于實驗中的條紋數目是經過CMOS鏡頭，將條紋清晰地顯示在電腦屏幕上，利用光敏模塊進行計數條紋．系統可記錄每環數據并在液晶顯示屏上顯示，避免繁瑣的數據記錄過程，減少眼疲勞，方便瀏覽．

(3)利用角編碼器進行測量位移，這樣就可以避免回程誤差.

(4)系統通過所測數據自動計算牛頓環半徑，優化了實驗步驟，提高了準確度，減少了誤差．

(5)斷電自動保存實驗所測數據，免去因線路故障丟失數據．

6 結論

改進后的裝置與原裝置相比，百分差由2.3%降為了1.5%，誤差減少了0.8%，相對不確定度由0.68%降為0.53%．改進后優化了實驗步驟，系統簡便且易于操作，減少眼疲勞帶來實驗誤差，有效避免了回程誤差，實驗數據更加準確，效率高效．

圖1 例1題圖

圖2 紙帶

從數據處理方法看，在s1，s2，s3，s4，s5，s6中，對實驗結果起作用的，方法A中有________；方法B中有____________________．因此，選擇方法______(A或B)更合理，這樣可以減少實驗的________(系統或偶然)誤差．本實驗誤差的主要來源有____________________(試舉出兩條)．

答案：s1,s6；s1,s2,s3,s4,s5,s6；B；偶然；阻力(空氣阻力，振針的阻力，限位孔的阻力，復寫紙的阻力等)，交流電頻率的波動，長度測量，數據處理方法等．

“逐差法”是一種逐一相減的數據處理方法，通過大量數據的使用和逐一相減，使正負誤差盡量抵消，從而起到減小物理實驗測量數據偶然誤差的作用．例1中由于方法A中對實驗結果起作用的只有s1和s6，對減小偶然誤差沒有幫助，而方法B中對實驗結果起作用的是全部數據，正負誤差抵消較為充分，起到了有效減小偶然誤差的作用，所以方法B更合理．因此，在物理實驗數據處理上，方法B才真正體現“逐差法”的內涵．而其意義正是“充分減小偶然誤差”．

“逐差法”的操作要領是盡量充分地利用已測量數據，通過觀察進行逐差組合，分組求解后再求平均值．對于連續的偶數段數據，可以將全部數據分成連續的“兩大段”，再行求解．

2 “逐差法”的思想根源和等效表現

“逐差法”的思想根源是“多次測量求平均值”以減小偶然誤差，理解了這一點，學生就不至于只拘泥于“逐差法”的形式，才能在非一般情況下做到靈活變通，準確求解．

“逐差法”的等效處理方式是圖像法(如“逐差法”求加速度和利用s-T2的斜率求加速度是等效的)，兩者都能達到充分抵消正負誤差的效果．相比之下，“逐差法”求解快速，而圖像法直觀，容易發現、剔除個別錯誤數據．

3 “逐差法”的拓展應用和靈活處理

在線性關系的數據處理上，“逐差法”可以拓展到中學各種實驗的數據處理中，只是為了方便應用，可能要對數據的關系做些形式的變通．

3.1 “舍小取偶逐差法”

【例2】(2017年高考全國Ⅰ卷第22題)某探究小組為了研究小車在桌面上的直線運動，用自制“滴水計時器”計量時間．實驗前，將該計時器固定在小車旁，如圖3所示．實驗時，保持桌面水平，用手輕推一下小車．在小車運動過程中，滴水計時器等時間間隔地滴下小水滴，圖4記錄了桌面上連續的6個水滴的位置．(已知滴水計時器每30 s內共滴下46個小水滴)

(1)由圖4可知，小車在桌面上__________(填“從右向左”或“從左向右”)運動的．

(2)該小組同學根據圖4的數據判斷出小車做勻變速運動．小車運動到圖4中A點位置時的速度大小為______m/s，加速度大小為______m/s2．(結果均保留2位有效數字)

圖3 例2題圖

圖4 小水滴位置

解析：現只分析加速度的“逐差法”求解．

一般有以下3種處理方式，均為“奇段取偶”，只采用部分數據．

Ⅰ．舍掉第一段，變為偶數段

0.037 125 m/s2≈0.037 m/s2

Ⅱ．舍掉最后一段，變為偶數段

0.037 687 5 m/s2≈0.038 m/s2

Ⅲ．舍掉中間一段，變為偶數段

0.037 5 m/s2≈0.038 m/s2

那么，標準答案應該給多少呢？筆者在網上搜索的結果基本上都是0.037 m/s2．若如此，則處理方式Ⅱ和Ⅲ就是錯誤的．那么，若標準答案給的是0.037 m/s2或0.038 m/s2呢？

我們再看一下其他處理方式，即在5段數據中任選兩段求解

……

那么，若采用“全數據處理”方式又會分別得出什么結果呢？

Ⅳ．重復使用“小數據”段

0.037 687 5 m/s2≈0.038 m/s2

Ⅴ．重復使用“大數據”段

0.037 406 25 m/s2≈0.037 m/s2

由此可以看出，命題者除了旨在考查“逐差法”外，還兼顧考查了對誤差來源的認識和減小的多種途徑的理解和處理．

我們可以把由連續奇數段數據求解相關物理量的方法概括為“舍小取偶逐差法” ．

3.2 “湊和逐差法”

【例3】(2010年高考重慶卷第22題)某同學用打點計時器測量做勻加速直線運動的物體的加速度，電源頻率f=50 Hz，在紙帶上打出的點中，選出零點，每隔4個點取1個計數點，因保存不當，紙帶被污染，如圖5所示，A，B，C，D是依次排列的4個計數點，僅能讀出其中3個計數點到零點的距離：sA=16.6 mm，sB=126.5 mm，sD=624.5 mm．

圖5 紙帶

若無法再做實驗，可由以上信息推知：

(1)相鄰兩計數點的時間間隔為________s；

(2)打C點時物體的速度大小為________m/s(取2位有效數字)；

(3)物體的加速度大小為________(用sA，sB，sD和f表示) ．

解析：現只分析加速度的“逐差法”求解．易知，AB段距離sAB=sB-sA，BD段距離

sBD=sD-sB

但考慮已知數據的局限性，根據上述做法很難得出加速度的表達式，現靈活處理如下

sBC-sAB=aT2

sCD-sAB=2aT2

兩式相加后，得

(sBC+sCD)-2sAB=3aT2

即

sBD-2sAB=3aT2

亦即

又

所以

3.3 “倒數逐差法”

【例4】(2014年高考浙江卷第21題)在“探究彈力和彈簧伸長的關系”時，某同學把兩根彈簧如圖6連接起來進行探究.

圖6 例4題圖

(1)某次測量如圖7所示，指針示數為______cm.

圖7 測量示數

(2)在彈性限度內，將50 g的鉤碼逐個掛在彈簧下端，得到指針A，B的示數LA和LB如表1所示.用表中數據計算彈簧Ⅰ的勁度系數為______N/m(重力加速度g=10 m/s2).由表1中數據______(填“能”或“不能”)計算出彈簧Ⅱ的勁度系數.

表1 指針示數

解析:現只針對彈簧Ⅰ的勁度系數的求解做如下討論(為便于比較差異，以下保留3位小數).

(1)單組數據求解

三者取平均值

(2)“逐差法”求解

所以

κ=12.500 N/m

由上述不同的求解方法，可以看出所求結果大小呈現多樣性，這是偶然誤差的表現，而“逐差法”所求結果在各個數值中居中位，這是偶然誤差減小的體現．

3.4 “整體逐差法”

【例5】某研究性學習小組利用伏安法測定某一電池組的電動勢和內阻(電動勢約為6 V，內阻約為2 Ω)，實驗原理如圖8所示，其中，虛線框內為用靈敏電流計?改裝的電壓表V○，A○為標準電流表，E為待測電池組，S為開關，R為滑動變阻器，R0是標準阻值為4.0 Ω的定值電阻．已知靈敏電流計?的滿偏電流Ig=100 μA、內阻約Rg=2.0 kΩ．若要改裝后的電壓表滿偏電壓為6 V，需測量靈敏電流計的內阻，研究性學習小組決定用半偏法測靈敏電流計的內阻．

實驗中備有下列器材：

待測電流表?(量程Ig=100 μA)；

電阻箱R′(0～99 999.9 Ω)；

滑動變阻器R1(總電阻約5 kΩ，額定電流0.5 A)；

滑動變阻器R2(總電阻約100 kΩ，額定電流0.5 A)；

電源E(電動勢約為6 V，內阻約為2 Ω)；

開關及導線若干.

實驗步驟：

(1)若采用如圖9所示的電路測定靈敏電流計的內阻，并且要想得到較高的精確度，那么，以上備用的器材中，滑動變阻器R應選用__________．

(2)若實驗中測得待測靈敏電流計的內阻Rg=2.0 kΩ，現要想將此靈敏電流計改裝成量程為6 V的電壓表，則改裝的方法是將靈敏電流計與電阻箱R′________聯，并將電阻箱的阻值調為________Ω．

(3)請將電路圖圖8補充完整．

圖8 實驗原理圖

圖9 測定靈敏電流計內阻

(4)某次實驗的數據如表2所示.

表2 電壓表、電流表示數

該小組借鑒“研究勻變速直線運動”實驗中計算加速度的方法(逐差法)，計算出電池組的內阻r=______Ω(保留3位有效數字)．

解析：現只針對電池組的內阻r的“逐差法求解”分析如下.

由于本實驗中，改裝后的電壓表所測并非電池組的路端電壓，所以無法直接求出電池組內阻，但可以把定值電阻R0等效為電池組內阻的一部分，先用逐差法求出r+R0，再得到r的大小．

所以

r+R0=

5.625 Ω

即

r=1.63 Ω

4 結束語

綜上所述，“逐差法”不僅可以求勻變速直線運動的加速度，它實際上是線性關系數據處理的一般方法．在中學理科實驗的數據處理中，都可以借鑒該種方法，線性變通后使用，應引起中學教師和考試命題者的關注．以上例題，也能反映出相關考試的一種命題趨勢，“逐差法”處理數據準確快速的這一優勢，也必然會在今后的高考等各種考試中進一步體現出來．