數學“套路”似海深，你只是沒找到登陸點

這三道題很有收藏價值。前兩道題為平時作業中的基礎題，但體現了很經典的思路。第三道題難度適中，是對先前思路的延伸拓展。在此分享給大家。

——重慶清華中學高2016級學生 王雅琪

立體幾何是高中數學的重要組成部分，也是高考的熱門考點，更是考查高中學生空間思維能力的有效工具，解題方法靈活多樣。如果學生在平時學習中不斷總結和反思，積累一些解題“套路”，定能在高考場上超常發揮，達到“事半功信”的效果。

——重慶市數學高級教師 羅學平

獨白：學習數學，不僅僅是為了在高考時取得優異成績，更重要的是學會將思維打開，激發出自己無限的智慧潛能。完美解決每一道數學題都是對自己的一種肯定。也正是這些“小成功”給了我不少鼓勵，讓我在一次次跌倒后又重新站起來。

愛好：畫畫、乒乓球

目標高校&專業：

北京大學/數學

每次數學試卷一發下來，總有同學在我耳邊抱怨： “我的洪荒之力根本沒有施展出來，這個題型的數學題我做過，我的計算也沒有任何問題，就是沒有注意到有個條件變了，哎呀，真可惜”

每次聽到類似的抱怨，我都會想：這兩道題真的是同一類型嗎？之前所用的方法的立足點是什么？本題滿足這個條件嗎？

三道題“醍醐灌頂”

這里，我用我自己做過的三道題來舉一個例子（詳見前頁筆記）

1.在三棱錐P-BC中，PA垂直于平面ABC，AB=AC=PA=2，且在△ABC中，∠BAC=120°，則三棱錐P-ABC外接球的體積為

2.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為2的正三角形，SC為球的直徑且SC=4，則此三棱錐的體積為

3.已知邊長為2

3的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對角線BD折成二面角A-BD-C為120°的四面體ABCD，則四面體的外接球的表面積為（ ）

A.25π

B.26π

C.27π

D.28π

第一道題相信大家都見到過套路如下：通過AB=AC=2，∠BAC=120°，算出BC=2√3，通過正弦定理，求出△ABC的外接圓半徑2，再用勾股定理求出外接球半徑（R²=r²+d²），剩下的就很簡單了做完這道題，你會有一個粗略的印象：好像在一個三棱錐里邊，有一條棱垂直于底面，底面三角形又已經確定，那么它的外接球的體積就很容易求出了.

第二道題也很簡單，照搬題一的“套路”，所以第二道題助長了我的自信，這類題我不畫圖也能做出來

再看看第三道題.有了第一道題的“經驗”和“印象”，當時的我自然而然地想到了第一道題的“套路”心想：小樣兒，這還不簡單如前頁筆記圖3-2所示，把這個四面體轉一個面，△AFC已經確定，還有那條垂直于它的棱DB，和第一題的圖幾乎一模一樣，這和我當初的“總結”完全相符這道題，用這個“套路”！圖都不畫了，拿筆就算

如果你也和我一樣用了這個“套路”，恭喜你，選項里根本沒有這個答案.再加之考試時間很緊，你心里又慌，干脆隨便猜一個，心想一定是題目有問題.

后來，我將這兩道題一起抄在了自己的錯題本上，仔仔細細地研究了一番，最終恍然大悟點F根本就不在那個外接球上，也就是說，△AFC的外接圓半徑根本就不是小圓的半徑，糊涂呀！

再回頭想想，如果當時不是因為自己做過“類似”的題，大意得連圖都不畫（畫畫圖就會發現，如果點F在外接球上，直線DB又垂直于平面AFC，那么點D和點B去哪里了），這不契合的“套路”也不會繼續用下去.

第一道題“套路”的立足點在于確定的這個三角形的頂點都要在外接球上，題二滿足條件，而題三根本不滿足.所以題一和題二同類，題三與它們都不同.

“套路”拐角，你可別跌了

我告訴大家自己這種愚蠢經歷，其實是想說：數學“套路”很深，有些題看著不像，其實只是在“變臉”，本質是一樣的：有些題看起來相似得像雙胞胎，結果一點“血緣關系”都沒有.

這就需要我們將學過的每一道經典例題反復琢磨，切不可丟了西瓜撿芝麻.學習需要一種“鉆研精神”，與其各種“套路”都會點兒皮毛，不如玩好一種“套路”，這樣就不會鬧類似于我鬧過的這種笑話

如何玩好一種“套路”呢？我的方法是分四步走：

需要有兩道及以上類似思路的題目；

找出其中所有題目的相同點和不同點；

提煉出屬于自己的“套路”；

記住“套路”.

如果你的“套路”不夠全面，貿然使用“套路”就極有可能出錯.在寫好你的“套路”之后，不妨交給數學老師看看，相信他一定能找出其中有瑕疵的地方

做題的時候，該畫圖時一定要畫圖，不是說有了“套路”就可以一步登天數學題目是變化的，畢竟考試的目的在于查漏補缺，如果總是無法突破你的“套路”，那就沒必要考試了，所以有了“套路”也不能大意

打怪在升級，“套路”在錯題

隨著學習的不斷深入，各種圈套互相“勾結”，做數學題就像打“王者榮耀”，你剛消滅一個敵人，另一個就從背面來一個大招，功虧一簣！那么，怎樣才能將各種“套路”爛熟于心，在考場上一路降妖除魔，取得高分呢？

方法其實很簡單，你的錯題本就是錦囊妙計.錯題本上的題不在多而在精，不在是否會做而在是否有意義.

就像之前那三道題，我就將它們記在了錯題本上的同一個地方，在記下這些題的時候，問問自己：我為什么要記下它？它能帶給我什么？

數學學習是一個艱苦的過程隨著我們更深入地了解與學習，未知也就越多.如果把你的已知畫在一個圓里，你知道的越多，它的面積就越大.相隨的，它所接觸“外面”的未知也就越多.遇到挫折時，承認自己的不足，然后盡力學會它的“套路”，找到它的立足點下一次，絕不在同一個“坑”里摔倒.