平板介質波導特征方程幾何光學推導的一種修正

王 寧，田文昊，李代林，朱化鳳，王 濤

（中國石油大學（華東）理學院 山東 青島 266580）

1 引言

作為一種能夠引導光束傳播并且能夠對光束產生約束作用的光學介質，波導材料一直被廣泛應用[1-4]。如平板介質波導材料，目前在波導激光器[5]、太赫茲波導器件[6]、波導傳感器[7]、光學掃描儀[8]、波導光柵[9]等方面仍有相關研究和應用的報道。波導的特征方程（也稱色散方程或波導條件）是研究其光束傳輸行為和規律的基本理論公式。

在目前已有的報道中，對于波導特征方程的推導，主要有幾何光學和電磁場理論兩種方法。電磁場理論因其求解準確，被廣泛應用于各種波導材料光場求解及特性分析中。然而電磁場方法推導過程較為復雜，且在分析和推導相應規律時較為抽象，不易與物理模型進行直觀的對應。波導介質特征方程的推導以及光線特性分析可以利用幾何光學的分析方法，使求解過程變得簡單清晰，且能與物理模型直接對應，易于理解。因此，在很多已有的文獻資料中使用了幾何光學方法[10-13]。

實際上，波導條件證明過程是在很多教科書出現的。然而，已有的教科書特別是國內教科書，往往利用了某些特殊條件下光線之間的關系或者不加推導直接引出。這些處理雖然簡單明了，卻在推導的一般性方面有所缺失，不能夠給學習者一個更為普適和全面的理解。如文獻[10]中采用了單條光線自身相長干涉的推導方法，此種情況只能對光線在纖芯和包層交界面入射角度較小時適用。文獻[10]也說明在較大角度下也是能夠得到波導條件的，但未給出詳細的推導過程。文獻[11-13]給出的方法是在兩波陣面間兩條特殊位置關系的光線之間的相位周期關系，即利用兩條光線在上下波導界面的反射點連線恰好與波陣面重合的特殊情況。文獻[14-16]中由自洽條件直接引出波導條件，并沒有給出推導過程。本文分析了已有方法在推導過程中存在的問題，并在前人推導方法的基礎上，給出了更為一般情況下的平板介質波導特征方程的推導方法，同時巧妙引入過渡角參量簡化了推導過程，為利用幾何光學方法進行波導特征方程的推導提供了一種修正，有利于光學波導特征方程更為直觀而透徹的理解。同時對薄膜層中光線傳播可能出現的其他情況，以及是否滿足波導特征方程進行了討論，對加深波導特征方程的理解提供了有益的幫助。同時也為學習者和教學者在涉及該理論規律的討論時，提供了一種更為全面和透徹的解釋。

2 推導方法修正

為了使推導過程更具一般性，本文試圖對已有推導方法進行修正。建立模型時，采用了相對位置更為普通的平行光束進行推導，同時引入過渡量進行推導，使過程變得簡單巧妙。

波導光束傳輸示意圖如圖1所示，可以看出，與國內教材不同，圖1中上下兩個反射點的連線B’C已不再與波陣面重合，即A’B’已不再垂直于B’C。此時的波陣面是一個比較一般情況下的波陣面B’F，而推導利用的兩個波陣面為BE和B’F。為了計算的簡便，我們引入了一個中間過渡量，角度γ，即∠B’CH。

實線ABCD和A’B’C’代表平面波的兩條射線，虛線BE和B’F表示向上斜射的平面波的兩個波陣面。因此，兩條光線在兩個波陣面之間傳播分別經歷的相位變化只差應為2π的整數倍。光線由B到F所經歷的相位變化為k0n1(BC+CF)，光線由E到B’所經歷的相位變化為k0n1EB’，二者的相位變化之差為：

由幾何關系可知：

由式（4）可以看出，計算過程中包含角度γ的項被消掉，直接得到最終結果，簡化了計算過程。

因此，二者的相位變化之差為：

考慮到上下交界面全反射時的相位變化，根據如前所述的位相關系，可以得到位相變化之差滿足：

本推導在傳輸光線相對位置更為一般的情況下進行，因而在導出波導條件時更為自然，對目前教科書中已有的推導過程提供了一種理論修正。

3 其他情況討論

圖1給出了波導層中較為一般情況下的兩條平行光線傳播的情況，代表著波陣面的B’F此時沒有與B’C重合而是在它的右側。如果以波陣面與B’C的位置關系來看，文獻[11-13]中為夾角為0°的情況，圖1為夾角大于0°的情況。是否存在第三種情況，即圖2所示的，夾角小于0°的情況，即波陣面B’F此時在B’C的左側，此時A’B’仍不垂直于B’C。

按照之前類似求解思路，光線由B到F所經歷的相位變化為k0n1BF，光線由E到B’所經歷的相位變化為k0n1EB’，二者的相位變化之差為：

利用幾何關系可知：

將以上關系式代入公式（7）可得：

由以上結果可知，若式（9）滿足波導特征方程，即Δψ=2k0n1dcosθ，則化簡后有：cos(θ+γ)=0。對于波導的光線傳輸情況，兩個角度均為銳角，因此可知θ和γ互余，這意味著A’B’與B’C垂直，這顯然與圖2的情況矛盾。也就是說，該種情況下的傳播光線不可能滿足波導特征方程。這與文獻中并不是所有滿足全反射條件的光線都能夠產生導波的結論是一致的。另外，圖2這種情況只考慮了光線在薄膜層上界面的全反射，沒有考慮光線在下界面的全反射，無法全面反映薄膜層中光線的傳輸行為，不利于波導特征方程的推導。

4 結語

本文圍繞平板介質波導特征方程的推導進行分析，指出了已有幾何光學推導方法的問題和適應條件。針對已有推導缺乏一般性的情況，給出了更為一般情況下的平板介質波導的特征方程的推導方法，通過巧妙引入中間過渡量角度γ，使推導過程變得非常簡單。在推導特征方程的分析中，以波陣面與傳播光線反射點連線的位置關系出發，對可能出現的波陣面與反射點連線間夾角大于0°、等于0°、小于0°等各種光束傳輸的情況進行了討論。等于0°的情況利用了平行光線中兩條位置較為特殊的情況，雖然推導出了波導特征方程，但一般性不足。

通過利用相對位置更為一般的波導傳輸光學進行推導，得到了如下結論：（1）利用相對位置更為一般的兩條傳輸光線，即波陣面與反射點連線間夾角大于0°的情況，通過推導得到了特征方程，同時引入過渡角使推導更為簡化，對于波導條件的幾何光學推導方法提供了一種理論修正。更有利于學習者從更為一般的情況下理解波導條件的成立。（2）而對于可能出現的其他光線傳輸情況，即波陣面與反射點連線間夾角小于0°的情況，通過計算表明此時不能滿足波導條件，即無法形成導波傳輸。

分析結果為利用幾何光學方法進行平板介質波導特征方程的推導提供了有益的修正和更為透徹的理解。