李璟璟, 張玉兔, 王文從, 胡慧君, 邵思霈

(山東航天電子技術研究所, 山東 煙臺 264000)

0 引 言

自20世紀60年代X射線源天體被發現以來,基于X射線源的天文導航技術成為實現航天器自主導航的又一研究熱點。2016年11月,我國首次發射了以X射線導航為目的的X射線脈沖星探測衛星,獲取了寶貴的在軌數據。2017年6月,長四乙發射的“慧眼”衛星,也搭載了X射線探測載荷,通過在軌獲取X射線數據,同樣能夠為X射線導航提供有力支持。X射線脈沖星導航方法主要采用脈沖到達時間(time of arrival, TOA)觀測的手段,該方法具有完全自主、全信息、高精度等優點,但是也存在脈沖折疊時間長、探測器面積大、TOA估計精度受限等缺點。此外,要實現完全的自主導航,還需要通過相當長時間的脈沖星觀測,建立脈沖星數據庫[1-4]。相比于TOA觀測技術,X射線成像技術不需要光子累積時間,探測器面積小。此外,與傳統光學波段敏感器相比,X射線成像探測器成本低、重量輕,星圖識別速度快,既可以作為現有導航手段的補充,也可獨立提供高精度的導航信息[5-7]。

結合X射線新型導航手段的優點,將X射線探測器應用于自主天文導航[8]。提出基于X射線源/地心矢量觀測的航天器自主天文導航方法。建立了自主導航觀測模型,并針對系統觀測殘差進行了殘差分析和建模,利用UKF濾波器,實現了航天器自主導航信息的解算。

1 基于X射線源/地心矢量觀測的自主導航方法

基于X射線源/地心矢量觀測的自主導航原理如圖1所示。依據衛星、X射線導航星以及地球三者的幾何關系,可以得到的角度觀測量有星光角距α、地球視角β以及星光仰角γ。星光角距是從衛星上觀測到的導航X射線源的星光矢量方向與地心矢量方向之間的夾角。地球視角是從衛星上觀測地球邊緣構成的圓錐角。星光仰角是從衛星上觀測的導航X射線源與地球邊緣的切線方向之間的夾角。結合衛星軌道動力學模型,并運用最優狀態估計方法,可以得到航天器自主導航信息。

圖1 X射線源/地心矢量觀測自主導航原理Fig.1 Autonomous navigation based on X-ray/geocentricvector observation

基于X射線源/地心矢量觀測的航天器自主導航系統主要由探測器單元和導航計算單元構成。其中探測器單元包括X射線探測器和地球敏感器,用于獲取二者矢量信息。星載導航計算單元包括觀測量合成模塊、星歷數據庫和最優濾波模塊。系統基本方案如圖2所示。

圖2 自主導航系統方案Fig.2 Autonomous navigation system scheme

兩種探測器方案可以實現X射線源矢量方向的測量。第1種是編碼孔徑盤像素探測器。通過對天空X射線源進行成像,獲取視野中的X射線源特征、輪廓等信息,進而獲取X射線源在慣性坐標系下的矢量方向。研究表明,利用有效面積為650 cm2的X射線探測器觀測SC0-X1射線源,只需1 ms便可以獲取可識別的圖像[5]。第2種方案類似于傳統的星掃描儀。通過準直器和機械掃描的方法掃描已知X射線源,通過一定的搜索算法確定X射線源單位矢量方向[9]。

2 觀測方程建模

2.1 觀測方程的構建

以X射線源為觀測對象,通過星圖識別,獲得X射線源的單位方向矢量。其方位信息來自像平面坐標系中的X射線源矢量Sp。設(xc,yc)為像平面坐標系中的像點坐標,fc為成像焦距,則

(1)

(2)

通過地球敏感器獲取地平信息,并結合地球物理參數信息,計算得到地心在地球敏感器基準坐標系中的矢量。利用紅外地球敏感器輸出的地平掃入脈沖、地平掃出脈沖以及磁基準脈沖。通過幾何關系,可以得到地球敏感器坐標系中地心方向的矢量為

(3)

衛星通過X射線源探測器觀測得到X射線源方向矢量,通過地球敏感器敏感地平并計算獲得地心矢量。從而進一步合成得到關于兩者夾角的實際觀測量。為了進行狀態估計,還需要對該實際觀測量進行數學上的表達。由圖1所示的幾何關系可知,X射線源方向矢量和地心矢量的夾角α為位置的函數,可建立觀測方程為

(4)

式中,rc為J2000地心慣性系下衛星的位置矢量;s為衛星到X射線源的單位矢量;va為測量噪聲,通常為高斯白噪聲。

如果以星光仰角為觀測矢量,則可直接由地球敏感器獲得地平方向矢量,與星光方向矢量共同構建觀測方程

(5)

式中,Re為地球半徑。

2.2 測量殘差分析

將系統觀測殘差建模為加性誤差,則式(4)～式(5)表示的觀測方程可以統一寫為以下形式,即

Yob=Y+ΔY+vob

(6)

式中,Yob為實際觀測量;Y為真實量;ΔY為X射線源方向矢量觀測誤差和地球敏感器方向矢量觀測誤差引起的觀測量殘差的和;vob為測量噪聲,服從零均值高斯分布。

根據式(4),令

M=-(rc·s)/rc=-r·s

(7)

式中,r為探測器在地心慣性坐標系中的單位位置矢量。由X射線源方向矢量觀測誤差和地球敏感器方向矢量觀測誤差引起的點積偏差可表示為ΔM,有

ΔM=ΔMs+ΔMe

(8)

式中,ΔMs為X射線源方向矢量觀測誤差引起的點積偏差,ΔMe為地球敏感器方向矢量觀測誤差引起的點積偏差。由ΔM引起的觀測量偏差為ΔY,令觀測量Y′為

Y′=Y+ΔY=arccos(M+ΔM)

(9)

真實量為

Y=arccos(M)

(10)

可得

ΔM=cos(Y+ΔY)-cos(Y)

(11)

式(11)進行麥克勞林展開,有

(12)

略去高階小項,整理得

(13)

根據式(7),對s求偏導數,可得到X射線源觀測誤差引起的觀測量偏差ΔMs為

ΔMs=-r·Δs

(14)

即由X射線源方向矢量角位置偏移Δs引起的誤差傳播函數。當Δs為角秒量級時,ΔMs極小。上式對時間求導,并取絕對值,得

(15)

近地圓軌道衛星速率不超過8 km/s,軌道高度一般為200～800 km,X射線源天體角位置誤差一般為角秒量級。由此估算,|ΔMs|一小時變化率約為10-5量級。可見,X射線源角位置誤差引起的ΔMs極小且變化極為緩慢。

同理,式(7)兩端對r求偏導數,得

ΔMe=-Δr·s

(16)

即由地心矢量角位置偏移Δr引起的誤差傳播函數。上式對時間求導,并在等式兩邊取絕對值,可得地心方向矢量觀測誤差引起的單位方向矢量點積偏差ΔMe為

(17)

單圓錐掃描地球敏感器在軌測量誤差約為0.25°～1°,雙圓錐掃描地球敏感器在軌測量誤差約為0.05°～0.07°,面陣地球敏感器在軌測量誤差約為0.02°～0.05°,當測量誤差為常值誤差或緩變量時[10],|ΔMe|的變化率極小。對于近地圓軌道衛星,當采用敏感器光軸在軌道平面內與地平切線垂直的最佳UKF濾波安裝方式時[11,12],真實觀測量Y約為90°+arcsin(Re/rc),由于ΔM為緩變量,根據式(13),可將ΔY建立為緩變模型,即

(18)

式中,ws為高斯白噪聲。

3 狀態方程建模

衛星軌道運動學采用牛頓二體引力模型[13],同時考慮地球非球形引力及其他攝動力的作用,衛星運動學模型建立為

(19)

式中,v為J2000地心慣性系下的衛星速度矢量;μ為地球引力常數;P(rc,v)為受攝運動項。將上式展開,并利用勒讓德多項式化簡,整理后即可得到衛星運動狀態方程

(20)

式中,狀態變量取為x=[x,y,z,vx,vy,vz]T,分別為衛星在J2000地心慣性系中3個坐標軸上的位置和速度,J2為地球引力二階帶諧項系數。在這里,考慮到J2攝動項相對其他攝動項為大項,因而在方程中單獨提出,ΔFx、ΔFy、ΔFz為地球非球形攝動的高階攝動項和日、月攝動以及太陽光壓攝動和大氣攝動等其他攝動力影響。wo為過程噪聲,假定為高斯白噪聲。

為了補償觀測量偏差引起的系統估計誤差,提高導航參數估計精度,根據系統測量殘差的分析,將X射線源矢量觀測誤差和地心矢量觀測誤差引起的系統殘差擴展補充到系統狀態方程中,選取狀態量X=[xΔY]T,建立擴展狀態方程為

(21)

式中,w=[wows]T為擴展狀態噪聲,設為零均值高斯白噪聲。

4 導航算法

式(4)、式(5)和式(21)構成的自主導航系統是復雜的非線性系統。針對這一類系統的最優濾波問題,Julier等提出了UKF濾波算法。該算法通過設計合理的采樣Sigma點逼近非線性系統狀態概率密度分布函數,在提高濾波精度的同時規避了雅克比矩陣的計算[14]。經過Unscented變換,UKF濾波可以獲得三階準確度的非線性系統函數統計量,在非線性動態濾波中得到越來越多的應用[15-16]。因此,本文應用UKF算法對自主導航系統狀態量進行濾波計算,非線性系統的狀態方程式(21)和觀測方程式(6)經離散化后,可整理為以下形式，即

Xk+1=F(Xk)+Wk

(22)

Yob,k=G(Xk)+Vk

(23)

式中,k代表離散化采樣點序列,狀態向量為Xk∈RL,測量向量為Yob,k∈RM,L和M分別為狀態向量維數和觀測向量維數,Wk和Vk分別為狀態噪聲和測量噪聲,滿足

(24)

式中,Qk≥0為狀態噪聲方差陣;Rk>0為測量噪聲方差陣;δkj為Kronecker符號。

，i=0

(25)

(26)

(27)

Sigma點在非線性系統中傳播,并對其結果進行加權計算,得到狀態變量和估計均方誤差陣的一步預測,即

χi,k/k-1=F(χi,k-1)

(28)

(29)

(30)

重新生成Sigma點并預測觀測向量為

(31)

(32)

(33)

計算增益矩陣為

(34)

(35)

(36)

對狀態變量和估計均方誤差陣進行更新,可得到k時刻導航信息為

(37)

(38)

(39)

式中,β是狀態分布參數,β=2 對于高斯分布是最優的。

由于觀測量獲取時間間隔與導航計算周期往往是不同步的,因而需要基于導航周期最近估計點進行導航時刻的位速估計,從而獲得滿足導航與控制需求的實時位速信息。因此在導航周期中,進行兩步獨立的UKF計算,一方面根據觀測量到達周期進行UKF導航估計,從而為下一周期的導航濾波提供狀態估值;另一方面根據當前時刻t進行UKF導航估計,用于飛行器制導與控制決策。導航周期計算流程如圖3所示。其中tm

圖3 導航周期計算流程Fig.3 Calculation flow of navigation periods

5 仿真分析

為了驗證本文提出方法在航天器自主導航應用中的有效性,以實現近地圓軌道衛星自主導航為目標進行仿真。

衛星的初始軌道六根數為

半長軸a=7 208.72 km,偏心率e=0.011,軌道傾角i=65°,升交點赤經Ω=30°,近地點角距ω=32°。

J2000地心慣性坐標系下初始三軸位置估計誤差為1 km,初始三軸速度估計誤差為10 m/s,初始系統殘差估計誤差為0.5°,濾波器初始位置、速度估計方差陣為

仿真中所采用的系統過程噪聲矩陣為

Qk=diag[1 m 1 m 1 m 2×10-3m/s

2×10-3m/s 2×10-3m/s]2

測量殘差初始估計方差為(7°)2,測量殘差狀態噪聲為(0.001°)2,觀測量噪聲取為(4×10-6)°。

仿真中導航周期取為5 s。

參照實際敏感器能力,取X射線源矢量方向觀測精度3″,地心矢量方向觀測精度為0.02°,采用標準UKF方法進行導航計算。衛星在J2000地心慣性坐標系下的位置、速度估計誤差隨時間變化如圖4和圖5所示。

圖4 位置估計誤差Fig.4 Position estimation error

圖5 速度估計誤差Fig.5 Velocity estimation error

在經過一定時間的收斂過程后,濾波結果最終達到穩定,圖6為測量殘差的估計誤差。

圖6 測量殘差估計誤差Fig.6 Observation residual estimation error

從局部放大圖可見,測量殘差估計誤差可達到10-4量級,這表明濾波器能夠實現對測量殘差的有效估計。考慮到濾波收斂時間,需要在導航方案設計中,合理設置自主導航濾波起始點,從而保證任務時間點的濾波精度。

按照以上條件進行蒙特卡羅仿真,并對穩定后的濾波結果求取均方根誤差均值,三軸位置和速度估計誤差如表1所示。可見,三軸位置估計誤差約為100～200 m,三軸速度估計誤差約為0.1～0.15 m/s。該精度水平能夠滿足航天器在軌自主導航的需求。

表1 均方根誤差均值

Table 1 Mean of RMSE

6 結 論

本文以近地航天器自主天文導航為應用背景,提出一種基于X射線源/地心矢量觀測的航天器自主導航方法,將空間X射線探測器拓展應用于航天器自主天文導航。進行了系統建模與分析,將X射線源矢量觀測誤差和地心矢量觀測誤差引起的系統觀測殘差建模為緩變過程,并擴展補充到狀態方程中。利用UKF算法進行了導航信息解算。仿真表明,該方法能夠滿足航天器自主天文導航需求,具有一定的工程應用參考價值。