扁平思維洞悉立體幾何

梁曉盟

獨白：數(shù)學是神秘的，但又是最直率的。初次面對一道數(shù)學題，或許毫無頭緒，但是當我們把它抽絲剝繭，分化組合的時候，就會發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”。正是這種神秘和直率，讓我對數(shù)學有執(zhí)著的熱愛。

愛好：讀書、羽毛球

就讀高校&專業(yè)：北京大學/歷史學

經(jīng)常有同學說“我的空間想象能力差，所以立體幾何題做不好”我是不贊同這種觀點的一方面，空間想象能力可以通過解題培養(yǎng)；另一方面，單純強調空間想象能力是片面的立體幾何題的求解是綜合能力的體現(xiàn)，同時也是有方法可循的。

想象的駿馬

良好的空間想象能力對立體幾何的學習確實有很大的幫助，因此在平時解題時，我們要有意識地加以培養(yǎng).如平時多做一些與三視圖相關的練習，畫不同幾何體的直觀圖，研究平面截幾何體所得的截面圖形形狀，以及計算截得的幾何體的體積和表面積等問題.這些都對空間想象能力的培養(yǎng)有很大幫助.

心中有形，人圖合一

立體幾何問題的求解方法很重要，熟練掌握常見模型對提升解題速度和準確率都有很大幫助.以與球有關的組合體為例，常見的求解方法有兩種：一是剖面圖，重點考查平面截球的兩條性質，如（1）球心和截面的圓心連線與截面垂直；（2）球的半徑（R），截面圓的半徑（r）以及球心到截面的距離（d）滿足關系式R²=r²+d²；二是補體，轉化為與常見幾何體有關的問題，

我曾遇到過這樣一道題：如圖1，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為多少？

模型難求？自己來修

在面對不規(guī)則模型正面（直接）求解沒有頭緒時，割補法可以幫助我們打開思路，如圖2，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為多少？

3D？我選2D！

立體的模型有時可以把條件轉化到平面內，空間問題平面化能讓題目看起來更直觀.例如解決有關球的組合體問題經(jīng)常借助過球心和截面圓心連線的平面，將空間問題轉化為平面問題來研究，例如：某幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體外接球的體積為多少？

化繁為簡，四兩撥千斤

在立體幾何證明題中，經(jīng)常涉及線面轉化.看到待證明的結論，切勿盲目下筆，先理清思路找到解題方向，這樣推理鏈才容易進行，

有效的推理鏈包括兩個方面：其一是“上游命題”，即要證明一個結論常用到的理論依據(jù)，例如要證明線線平行，我們可以聯(lián)想到平行公理、線面平行的定義等；其二則是“下游命題”，即可以由已知條件得到有價值的信息.例如當題干中出現(xiàn)面面垂直時，聯(lián)想到面面垂直的性質定理，將面面垂直轉化為線面垂直.注重平時積累和有針對性地探究結論間的聯(lián)系，是建立和增進推理鏈的基本方法.