不確定時滯切換系統(tǒng)的滑模控制方法

劉永慧

(上海電機學院 電氣學院,上海 201306)

在過去的20年中，切換系統(tǒng)受到國內(nèi)外學者的廣泛關注，這是由于基于“切換”模式的系統(tǒng)，如化工過程控制系統(tǒng)、網(wǎng)絡控制系統(tǒng)以及機器人控制系統(tǒng)等都可以轉(zhuǎn)化為切換系統(tǒng)[1-2]。切換系統(tǒng)由一族子系統(tǒng)以及描述它們之間聯(lián)系的切換信號組成。切換信號的引入使得切換系統(tǒng)的動態(tài)性能特殊復雜，其典型特征是即使每個子系統(tǒng)都穩(wěn)定，整個系統(tǒng)不一定穩(wěn)定。因此切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其鎮(zhèn)定問題備受關注[3-5]。

眾所周知，滑模控制方法是一種有效的魯棒控制方法，這是由于該方法對參數(shù)不確定性以及匹配擾動具有強魯棒性。因此滑模控制方法在懸浮車[6]及機器人[7]等實際物理系統(tǒng)的控制中得到了廣泛的研究和應用。最近滑模控制方法開始被用來研究切換系統(tǒng)[8-11]。文獻[8]研究了一類帶有狀態(tài)時滯的切換系統(tǒng)的滑模控制。之后，這一結(jié)果又被進一步推廣到隨機切換系統(tǒng)[9]和離散切換系統(tǒng)[10]。此外，文獻[11]采用滑模控制方法分析了一類不確定切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制。最近，文獻[12]進一步考慮了輸入矩陣不同時切換系統(tǒng)的滑模控制，在輸入矩陣不同的情況下，通過輸入矩陣加權(quán)方法構(gòu)造了一個公共滑模面。

另一方面，時滯現(xiàn)象是實際系統(tǒng)中非常普遍的一種現(xiàn)象，它會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性甚至會導致系統(tǒng)失穩(wěn)[13]。因此研究帶有狀態(tài)和輸入時滯的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性很有必要。 近年來，含有狀態(tài)時滯[14-15]和輸入時滯[16-19]的系統(tǒng)的控制問題已經(jīng)得到很多重要的結(jié)論。而且滑模控制方法開始被用來研究含有輸入時滯的控制系統(tǒng)[20-21]。文獻[20]采用滑模控制方法研究了含有輸入時滯以及非線性擾動的不確定線性系統(tǒng)的控制問題，為了補償輸入時滯造成的影響，文中設計了含有預測項的滑模面。最近上述結(jié)論又被進一步推廣到不確定離散線性系統(tǒng)[21]和不確定非線性系統(tǒng)[22]。然而，值得注意的是已有的成果中關于含有狀態(tài)和輸入時滯的切換系統(tǒng)還沒有被考慮。滑模控制器設計過程中，時滯現(xiàn)象尤其是輸入時滯可能會導致系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在滑模面附近產(chǎn)生不斷的震蕩[23]。此外，由于切換系統(tǒng)和滑模控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的特殊性，現(xiàn)有的結(jié)論不能簡單的推廣到切換系統(tǒng)，因此含有狀態(tài)和輸入時滯的不確定切換系統(tǒng)的滑模控制值得進一步考慮。

基于以上考慮，本文將討論含有狀態(tài)和輸入時滯的一類不確定切換系統(tǒng)的滑模控制。 本文的主要創(chuàng)新之處有以下兩點：① 與已有的結(jié)果相比，不要求控制系統(tǒng)中每個子系統(tǒng)的輸入矩陣相同。為了彌補輸入時滯帶來的影響，引入一個含有預測項的公共滑模面。② 設計同時依賴于狀態(tài)和時間的切換信號，分析了滑動模態(tài)的漸進穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下含有狀態(tài)和輸入時滯的不確定切換系統(tǒng),即

Bσ(u(t)+fσ(x(t)))+Bu(t-h)

(1)

由切換信號σ可得到切換序列{(i0,k0),(i1,k1),…,(ij,kj),…,|ij∈Γ}，即當切換信號在指標集Γ={1,2,…,s}中取定時，表示運行第ij個子系統(tǒng)。

當σ(k)=i，i∈Γ時，第i個子系統(tǒng)的參數(shù)簡記為

本文的控制目標是設計滑模控制器使得存在狀態(tài)時滯和輸入時滯的情況下切換系統(tǒng)穩(wěn)定。為了得到本文的主要結(jié)論，首先引入如下的假設條件和引理。

假設1矩陣Bi列滿秩，即rank(Bi)=m。

值得注意的是與已有的工作[8-11]不同，切換系統(tǒng)式(1)的輸入矩陣不同，這給滑模控制中設計公共滑模面帶來了困難。為了克服這個困難，引入輸入矩陣加權(quán)方法[12]

(2)

記

考慮上面的定義，系統(tǒng)式(1)可重新表示為

ML(i)N)(u(t)+fi(x(t)))+Bu(t-h)

(3)

引理1矩陣D,H和F(t)維數(shù)匹配,并且F(t)滿足FT(t)F(t)≤I.則對于任意的ε>0,下式成立:

DF(t)H+HTFT(t)DT≤ε-1DDT+εHTH

2 滑模面設計

值得注意的是如果設計依賴于模態(tài)的多滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將在不同模態(tài)間進行切換，此時滑模面的可達性分析很困難。因此,設計的公共滑模面為

S(t)=Dx(t)+r(t)

(4)

式中,r(t)滿足:

(5)

對S(t)關于時間t求導得

(I+DML(i)N){u(t)+fi[x(t)]}

(6)

ueq(t)=-(DBi)-1((DAi-K)x(t)+

DAidx(t-d))-fi(x(t))

(7)

值得注意的是，矩陣DBi需要滿足非奇異。因此,需要選擇參數(shù)αi(i=1,2,…,s)使得矩陣DBi是非奇異的。

將式(7)代入式(3)，得到下面的滑動模態(tài):

(Aid-Bi(DBi)-1DAid)x(t-d)-

B(DBi)-1(DAi-K)x(t-h)-

B(DBi)-1DAidx(t-d-h)-

Bfi(x(t-h))

(8)

3 主要結(jié)論

接下來，將分析滑動模態(tài)式(8)的穩(wěn)定性，穩(wěn)定性結(jié)論將在定理1中給出。

定理1考慮滿足假設條件1的切換系統(tǒng)式(1)，如果存在矩陣Pi>0,Qi>0,Ri>0,Si>0和參數(shù)εi>0,i∈Γ,滿足下面的線性矩陣不等式(linear matrix inequalities, LMIs)

(9)

式中:*為矩陣中的對稱部分;

Θ2i=(Aid-Bi(DBi)-1DAid)Xi

Θ3i=-B(DBi)-1(DAi-K)Xi

Θ4i=-B(DBi)-1(DAid)Xi

對于任意的i∈Γ，定義切換域為

Λi={x(t)|Vi(t)-Vj(t)≥0}

(10)

?j∈Γ,i≠j

設計基于最小投影算法的切換信號

σ(0)=arg min{Λi|x(t)∈Λi}

(11)

那么滑動模態(tài)系統(tǒng)(8)漸進穩(wěn)定，其中Vi(t)將在式(13)中給出。

證明 將式(9)左右兩端分別乘以diag[PiPiPiPiII]和它的轉(zhuǎn)置，可以得到

(12)

式中:

選擇第i個子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(13)

因此，由式(8)和(13)得到

(Ai-Bi(DBi)-1(DAi-K))TPi)x(t)+

2xT(t)Pi(Aid-Bi(DBi)-1DAid)·

x(t-d)-2xT(t)PiB(DBi)-1·

(DAi-K)x(t-h)-

2xT(t)PiB(DBi)-1DAidx(t-d-h)-

2xT(t)PiBfi(x(t-h))+xT(t)Qix(t)-

xT(t-d)Qix(t-d)+xT(t)Rix(t)-

xT(t-h)Rix(t-h)+xT(t)Six(t)-

xT(t-d-h)Six(t-d-h)

(14)

由引理1可知

-2xT(t)PiBfi(x(t-h))≤

εixT(t)PiB(PiB)Tx(t)+

(15)

因此由式(14)和(15)可進一步得到

(16)

式中:η(t)=[xT(t)xT(t-d)xT(t-h)xT(t-d-h)]T

考慮切換域的定義式(10)，可以得到切換域的邊界為

Vi(tk)=Vj(tk)

采用多Lyapunov函數(shù)方法分析切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可知滑動模態(tài)(8)漸進穩(wěn)定。

證畢。

基于最小投影算法給出的切換信號運行形式如圖1所示。系統(tǒng)切換過程如下：

圖1 切換行為(數(shù)字表示運行的模態(tài))

第1步選擇初始狀態(tài)x(0)，由式(11)決定初始模態(tài)σ(0)。

第2步只要系統(tǒng)狀態(tài)軌跡維持在域Λi內(nèi)就一直運行第i個模態(tài)。

下面的定理中，將給出滑模控制律并分析滑模面的可達性。

定理2考慮滿足假設條件1的切換系統(tǒng)(1)，構(gòu)造滑模面式(4)，設計如下的滑模控制律：

u(t)=-(DBi)-1((DAi-K)x(t)+

μi)sgn(S(t))

(17)

式中:如μi為正參數(shù)，則滑模面于有限時間內(nèi)可達。

證明:選擇Lyapunov函數(shù)

(18)

因此,由式(6)和(18)可以得到

DAidx(t-d)+DBi{u(t)+fi[x(t)]}

(19)

將式(17)代入式(19)有

這意味著系統(tǒng)(3)的狀態(tài)軌跡將于有限時間內(nèi)被趨近到滑模面S(t)=0上，

證畢。

4 數(shù)值仿真

考慮含有2個模態(tài)的切換系統(tǒng)式(1)，系統(tǒng)參數(shù)如下:

子系統(tǒng)1

B=[-1 1.5 1]T

子系統(tǒng)2

B2=[3 -2 1]T

ε1=3.582 0,ε2=18.237 5,

因此滑模面式(4)設計為

S(t)=0.307 7x1(t)+0.076 9x2(t)+

8x3(s)-0.038 5u(s-h))ds

選擇初始狀態(tài)x(0)=[0.3 -0.2 -0.2]T，由式(10)和(11)可知σ(0)=1并且

式中:σi,i∈Γ的定義如式(10)。

由式(17)可知，滑模控制律設計為

為了抑制抖震現(xiàn)象，用S(t)/(S(t)+0.1)代替函數(shù)sgn(S(t))。選擇參數(shù)β1=β2=1，μ1=μ2=0.05，仿真結(jié)果如圖2～5所示。圖2是切換信號,圖3是狀態(tài)軌跡圖,圖4是滑模變量圖,圖5是控制輸入。由圖3可以看到系統(tǒng)狀態(tài)x1(t),x2(t)和x3(t)被趨近到滑模面S(t)=0上。因此設計的控制器能有效的抑制狀態(tài)和輸入時滯以及外部擾動帶來的不良影響。

圖2 切換信號σ(t)

圖3 狀態(tài)軌跡x(t)

圖4 滑模變量S(t)

圖5 控制信號u(t)

5 結(jié) 語

本文研究了一類含有狀態(tài)和輸入時滯的不確定切換系統(tǒng)的滑模控制。通過引入輸入矩陣加權(quán)方法設計了公共滑模面。采用最小投影算法設計切換信號，分析了滑動模態(tài)的漸進穩(wěn)定性。設計滑模控制律保證了滑模面的可達性。