反證法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張雁芳 湖北文理學(xué)院理工學(xué)院公共課部 湖北襄陽(yáng) 441025

一 引言

數(shù)學(xué)課程作為高等院校工科類學(xué)生專業(yè)必修課程，一般包含高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三門課程.與其他專業(yè)必修課程相比，這些數(shù)學(xué)課程經(jīng)過(guò)幾百年的發(fā)展和完善呈現(xiàn)的抽象化程度較高，學(xué)習(xí)時(shí)需要較強(qiáng)的抽象思維能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力，而這恰恰是大多數(shù)初學(xué)者所不足的.

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)第一門數(shù)學(xué)課程，這種對(duì)比表現(xiàn)的尤其明顯.一方面是因?yàn)閯傔M(jìn)校門的大學(xué)生的理性思維活動(dòng)還主要是以對(duì)直覺(jué)和表象依賴性較強(qiáng)的形象思維為主，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)還停留在初等數(shù)學(xué)層面，不論是數(shù)學(xué)概念的抽象化還是邏輯推理的嚴(yán)密化，都還沒(méi)有充足的認(rèn)識(shí)；另一方面，就是高等數(shù)學(xué)課程本身而言，涉及到的數(shù)學(xué)內(nèi)容比其他數(shù)學(xué)類課程更多更復(fù)雜，它所包含的思想方法和技巧是豐富多彩的，故而一般高校都將高等數(shù)學(xué)課程分為兩個(gè)學(xué)期完成.

即使是這樣，剛剛跨進(jìn)大學(xué)校門的學(xué)生們要想在短短的一年時(shí)間內(nèi)接受并消化人類歷史上發(fā)展了幾百年的高等數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，還是相當(dāng)困難的.再加上現(xiàn)行的教材基本上是按照西方人的思維以演繹法編寫的教材，無(wú)法展現(xiàn)相關(guān)的概念和理論得到的背景和發(fā)展歷史，這讓習(xí)慣了通過(guò)發(fā)現(xiàn)歸納法進(jìn)行學(xué)習(xí)的國(guó)內(nèi)學(xué)生也相當(dāng)不適應(yīng).

以上種種就造成了一種在高校中高等數(shù)學(xué)難學(xué)難教的普遍現(xiàn)象.從教育學(xué)的角度來(lái)講，造成這種現(xiàn)象的根本原因就是教學(xué)中沒(méi)有充分考慮國(guó)內(nèi)學(xué)生的思維特點(diǎn)和現(xiàn)有的學(xué)習(xí)水平，沒(méi)有根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”的思想來(lái)安排教學(xué).

本文將以高等數(shù)學(xué)為例，展示反證法在教學(xué)中的應(yīng)用。

反證法的含義及其作用

所謂反證法其基本思想就是“否定之否定為肯定”，所以反證法又稱歸謬法、背理法，是間接論證的方法之一。是通過(guò)斷定與論題相矛盾的判斷(即反論題)的虛假來(lái)確立論題的真實(shí)性的論證方法。數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說(shuō)過(guò)：“這種證法在于標(biāo)明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”，這就是對(duì)反證法最精辟的概括。

反證法的論證過(guò)程如下：要證明某個(gè)定理，首先在承認(rèn)定理?xiàng)l件的基礎(chǔ)上，否定結(jié)論；接著將否定的結(jié)論作為新的條件按推理規(guī)則進(jìn)行推演，得到與給定的條件相矛盾的結(jié)論;最后根據(jù)排中律，確定反論題為假，原論題便是真的。在進(jìn)行反證中，只有與論題相矛盾的判斷才能作為反論題，論題的反對(duì)判斷是不能作為反論題的，因?yàn)榫哂蟹磳?duì)關(guān)系的兩個(gè)判斷可以同時(shí)為假。反證法中的重要環(huán)節(jié)是確定反論題的虛假，常常要使用歸謬法。

在數(shù)學(xué)中，反證法更是一種應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)證明方法。從最基本的性質(zhì)定理，到某些難度很大的世界難題很多都是用反證法來(lái)證明的。一般來(lái)講，反證法常用來(lái)證明正面證明有困難,情況多或復(fù)雜,而命題的否定則比較淺顯的題目，問(wèn)題可能解決得十分干脆。

早在古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)家就應(yīng)用它證明了許多重要的數(shù)學(xué)命題，歐幾里德的《幾何原本》中就出現(xiàn)了反證法的身影。牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄７醋C法在很多方面具有不可替代的作用。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，反證法已經(jīng)成為最常用最有效的解決問(wèn)題的方法之一。

反證法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)經(jīng)歷幾代人的努力，教學(xué)體系已比較成熟，很多定義定理已脫離了原有的產(chǎn)生背景，符號(hào)也相對(duì)比較簡(jiǎn)練抽象，其中的定理部分更是很多初學(xué)者望而生畏的部分.下面我們將著重展示反證法在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中的應(yīng)用。

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)生必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，不僅僅起到為后繼的其他課程提供必要的知識(shí)儲(chǔ)備的作用，更重要的要提高學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)邏輯推理和證明。然而，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候出現(xiàn)重計(jì)算請(qǐng)理論的傾向，這樣會(huì)讓教育的質(zhì)量大打折扣。所以理論證明教學(xué)第一課，如何在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的同時(shí)讓學(xué)生意識(shí)到理論推導(dǎo)、理論證明的重要性，顯得尤為關(guān)鍵。通過(guò)學(xué)習(xí)，我們讓要學(xué)生明白：學(xué)習(xí)知識(shí)不是目的，我們要通過(guò)知識(shí)的學(xué)習(xí)逐步提升自己的綜合能力，那么數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與其他學(xué)科相比提升能力的效果會(huì)更好。

通常我們會(huì)通過(guò)一次大家耳熟能詳?shù)睦印暗琅钥嗬睢保铣に巍⒘x慶《世說(shuō)新語(yǔ)·雅量第六》：“王戎七歲，嘗與諸小兒游，看道旁李樹多子折枝，諸兒競(jìng)走取之，唯戎不動(dòng)。）引入反證法的思想。借助一個(gè)問(wèn)題（故事中的王戎為什么會(huì)知道路旁邊的李子是苦的？）引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深層次的思考，讓學(xué)生對(duì)常見的證明方法有個(gè)感性認(rèn)識(shí)，明白日常生活中如何利用反證法的思想進(jìn)行理性的邏輯推理，從而引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

具體過(guò)程為：

3、觀察命題，如果直接證明，難度很大，確定選用反證法來(lái)證明。

4、證明第一步：否定結(jié)論，這個(gè)數(shù)不是無(wú)理數(shù)，根據(jù)實(shí)數(shù)理論，這個(gè)說(shuō)法等價(jià)于這個(gè)數(shù)是有理數(shù)（這時(shí)要提示學(xué)生，這個(gè)命題有個(gè)隱含的大前提就是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，這是邏輯思維嚴(yán)密性的表現(xiàn)之一，要把所有可能的情況都考慮進(jìn)去。）。

5、證明第二步，以否定的結(jié)論作為新的條件開始進(jìn)行邏輯推理。由于不是無(wú)理數(shù)，所有由實(shí)數(shù)的相關(guān)理論，不妨設(shè)，其中p，q是互素的自然數(shù)；接著在這個(gè)式子的基礎(chǔ)上開始推理：p 也必須是偶數(shù)（因?yàn)槠鏀?shù)的平方仍然為奇數(shù)）。由此可令p =2k ，將此式子帶入p2=2q2?2k2=q2可得q也為偶數(shù)，這時(shí)p，q就有共同的公約數(shù)2，與最初的假設(shè)矛盾。是偶數(shù)，由此可得

6、命題得證。

一般情況下，高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象可分為一元函數(shù)和多元函數(shù)。在高等數(shù)學(xué)的理論教學(xué)部分，我們遵循有簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的規(guī)律，逐步讓學(xué)生接受并掌握反面證明的方法和思想。高等數(shù)學(xué)理論證明的教學(xué)部分大部分集中在高等數(shù)學(xué)上學(xué)期，具體包括極限存在的證明、極限理論的證明、連續(xù)性定理及應(yīng)用、微積分中值定理的證明及相關(guān)應(yīng)用等相關(guān)內(nèi)容。

我們?cè)趯W(xué)生了解并逐漸接受反證法的基礎(chǔ)上，首先利用一些簡(jiǎn)單的極限存在問(wèn)題反復(fù)利用反證法來(lái)解決問(wèn)題，從而達(dá)到強(qiáng)化學(xué)生對(duì)這一方法的熟練掌握的目的。具體操作時(shí)，我們利用極限的唯一性這個(gè)定理向?qū)W生們展示了在相對(duì)比較困難的情況下，如何利用反證法證明結(jié)論。接著通過(guò)一個(gè)例題證明數(shù)列1，0，1，0，-----的極限不存在再次展示反證法的威力。最后選取了一些稍微困難一點(diǎn)兒的題目讓學(xué)生們?cè)谀７碌幕A(chǔ)上逐漸理解并掌握反證法的精髓。

高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)部分理論證明的重點(diǎn)和難點(diǎn)主要集中在微分中值定理部分。這部分的命題或結(jié)論相對(duì)比較綜合，我們?cè)趯W(xué)生已經(jīng)適應(yīng)邏輯推理的基礎(chǔ)上再次利用反證法展示復(fù)雜情況下如何反復(fù)利用反證法得到結(jié)論。實(shí)踐證明，通過(guò)這一系列相對(duì)綜合的證明題目的訓(xùn)練，學(xué)生的思維方式逐漸發(fā)展改變，能力也得到進(jìn)一步提升。

除此之外，利用反證法證明數(shù)學(xué)命題或數(shù)學(xué)定理時(shí)，我們需要反復(fù)對(duì)命題或定理中的條件進(jìn)行研究、對(duì)比，這樣能讓我們更清楚地明白命題或定理的內(nèi)涵與外延，從而能引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層面地去思考問(wèn)題，在一定程度上促進(jìn)了學(xué)生的能力的提升。

綜上所述，在高等數(shù)學(xué)課程中尤其是理論證明部分引入反證法，不僅能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)定理的內(nèi)涵與外延的理解與掌握，還能打開學(xué)生眼界、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效率與教學(xué)質(zhì)量，更重要的是可以引導(dǎo)學(xué)生多方面、多角度的思考問(wèn)題，優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。因此，在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)尤其是理論部分教學(xué)中，廣大教師應(yīng)充分重視并恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用反證法。