泡沫波紋復合夾心梁等效彈性常數的推導及其振動特性研究

吳建均,王永靜,謝敬堯,李曉露,倪娜,張陵

(西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室,710049,西安)

近年來,輕質多孔材料以其優良的結構性能和多功能特性,成為眾多學者和工程技術人員關注的熱點。波紋結構作為一種典型的點陣多孔材料,具有結構形式簡單、易于加工和維護、質量小、強度和剛度高、抗撞擊力強、能有效散熱等優點,已在航空航天、高速列車、建筑及包裝等領域得到了廣泛應用,并具有進一步發展的潛質[1]。但是,波紋結構亦存在如下問題:因其嚴重的各向異性力學性能,結構易發生屈曲失穩破壞,承載能力對初始缺陷比較敏感,且能量吸收能力明顯弱于泡沫和蜂窩材料。為進一步提高波紋結構的力學性能,許多學者提出將泡沫材料填充到波紋芯體中制備復合夾心結構,可使其力學性能得到較大的提高。鑒于泡沫波紋復合夾心板的優異特性,不少學者對泡沫波紋復合夾心板的力學性能進行了研究[2-3]。

早在1951年,Libove等人就對波紋夾心板的等效彈性常數進行了推導[4];他們通過對材料常數的等效,將具有復雜結構的實際模型簡化成各向異性的等效材料屬性[5],這在很大程度上簡化了計算,且具有較高的精度。Hohe和Becker對二維周期點陣材料夾心板的等效理論研究進行了較為全面的綜述,指出等效剛度參數主要取決于芯體與面板的相互作用,因此要將面板和芯體綜合考慮以獲得夾心板的整體宏觀等效剛度[6]。Cheng等基于有限元分析,得到了波紋夾心板的所有等效剛度[7]。Xia等提出了一種適用于任意波紋形狀的均質化等效模型,并對2種常見的波紋(梯形波紋和正弦形波紋)結構進行了數值仿真,驗證了其等效模型[8]。然而,目前關于復合多孔結構的等效研究還相對較少。

本文基于材料力學中材料的小變形理論,考慮材料的連續性,設結構由面板承受彎扭,泡沫芯體材料承受剪切,在符合變形協調方程的條件下,推導出了泡沫波紋復合夾心梁芯體的等效彈性常數;進行了泡沫波紋復合夾心梁的模態實驗研究,并對實驗梁的有限元二維等效模型和三維實體模型進行了數值計算;通過實驗數據和計算結果的比較分析,驗證了所推導的芯體等效彈性常數的正確性。此外,本文還對泡沫波紋復合夾心梁的面板厚度、波紋肋板厚度、泡沫芯體密度及胞元數對結構振動特性的影響進行了研究。

1 泡沫波紋復合夾心梁芯體等效彈性常數的推導

本文推導泡沫波紋復合夾心梁芯體的等效彈性常數主要基于材料力學中的以下基本假設和模型簡化[9-11]:①材料是連續的;②材料只發生小變形;③材料是各向同性的;④面板與芯體粘接無缺陷;⑤采用中厚度面板理論;⑥不考慮面板的屈曲。

1.1 等效彈性模量的推導

圖1a為單元體在11方向的單向受力圖,圖1b為單元體在11方向單向受力時的波紋肋板變形圖。

(a)單元體在11方向的受力

(b)波紋肋板在11方向受力時的變形圖1 單元體在11方向的單向受力和波紋肋板變形

(1)

11方向的變形協調條件為沿此方向的波紋肋板拉伸變形和泡沫芯體拉伸變形相同,即

(2)

(3)

(4)

其中Ef為泡沫芯體的彈性模量,θ為波紋肋板的傾斜角度,λ為波紋肋板的體積分數

(5)

將式(2)～式(4)代入平衡方程(1),可得泡沫芯體材料在11方向的受力

(6)

波紋肋板在11方向的受力

(7)

波紋肋板沿11方向的變形

(8)

由此可得11方向的等效應變

(9)

11方向的等效彈性模量

(10)

(11)

1.2 等效剪切模量的推導

假設填充泡沫邊緣部分剪應力均勻分布,不考慮平板屈曲,且由面板承受彎曲變形,填充泡沫承受剪切變形,變形過程滿足變形協調關系。由力的平衡方程可得

(12)

由沿12方向的泡沫芯體和波紋肋板變形一致性,可得變形協調方程為

(13)

(14)

(15)

其中Gf為泡沫芯體的剪切模量。

將式(13)～式(15)代入式(12),可得泡沫芯體在12方向的受力

(16)

波紋肋板在12方向的受力

(17)

在12方向的剪切應變

(18)

對應的等效剪切彈性模量

(19)

(20)

1.3 等效泊松比的推導

(a)單元體在1方向受拉力時2、3方向的壓縮變形

(b)波紋肋板和泡沫芯體的變形協調關系圖2 單元體在1方向受拉時引起的2、3方向的變形協調關系

(21)

波紋肋板的壓縮變形和泡沫芯體的拉伸變形分別為

(22)

(23)

泡沫芯體由于泊松效應在2、3方向的位移

(24)

式中νf為泡沫芯體的泊松比。

波紋肋板由于泊松效應在2、3方向的位移

(25)

式中νc為波紋肋板的泊松比。

將式(22)～式(25)代入式(21),可得附加力

(26)

則波紋肋板的壓縮變形

(27)

2、3方向的總變形位移

(28)

等效應變

(29)

等效泊松比

(30)

同理,可求得ν13、ν23

(31)

(32)

等效芯體密度等于泡沫芯體和波紋肋板的總質量除以泡沫芯體和波紋肋板的總體積,表達式為

ρ=λρc+(1-λ)ρf

(33)

式中:ρc為波紋肋板密度;ρf為泡沫芯體密度。

2 芯體等效彈性常數驗證

本節將通過模態實驗獲得泡沫波紋復合夾心梁的固有頻率和振型,并針對實驗梁采用有限元方法建立二維等效模型和三維實體模型,通過對比實驗結果和有限元計算結果來驗證有限元計算的可靠性,從而驗證所推導的芯體等效彈性常數的正確性。

2.1 模態實驗

(a)夾心梁示意圖

(b)夾心梁的結構參數

(c)夾心梁實物俯視圖圖3 實驗用復合夾心梁模型

實驗設計了2種梁:一種是圖3a所示的梁Ⅰ,其波紋方向沿著L方向;另一種是梁Ⅱ,其波紋方向沿著W方向。L、W方向如圖3a所示。這2種梁只是波紋方向不同,其他結構參數(見圖3b)均相同。梁結構的設計尺寸見表1。實驗材料參數:面板和波紋肋板采用5052鋁合金;泡沫填充芯體采用Zihacell52材料,材料密度為52 kg/m3,彈性模量為44 MPa;面板、波紋肋板、填充芯體均為各向同性材料。實驗梁的俯視圖如圖3c所示。本模態實驗通過多點力錘敲擊單點拾激法獲得泡沫波紋復合夾心梁的固有頻率和振型,采用動態信號集成系統進行數據采集,并用TST模態分析軟件進行后處理。

表1 梁的結構尺寸

復合夾心梁的制備過程如圖4所示:①用模具沖壓鋁板,得到中間波紋肋板;②用平整的鋁板切割出完整的上下2個面板;③用樂泰環氧膠將波紋肋板與上下面板粘接在一起;④將PMI泡沫切割成與波紋芯體空隙相同的梯形塊;⑤將表面涂抹了環氧膠的泡沫梯形塊填充到波紋芯體中,制備出泡沫波紋復合夾心梁。梁Ⅰ橫向包括8個胞元,梁Ⅱ縱向包括2個胞元。

圖4 復合夾心梁的制備過程

實驗過程:采用左端固支、多點激勵單點拾激方法[12-13],將梁Ⅰ和梁Ⅱ按橫向胞元劃分為8段共9個敲擊點,縱向劃分為3段共4個敲擊點,共計36個敲擊點;實驗梁左端固定,加速度傳感器安裝在梁自由端右上角33點處,用力錘依次敲擊每個測點(如圖3c所示),能較好地激發出實驗梁的振型。

2.2 建立有限元模型

為了驗證所推導的等效彈性常數的正確性,利用軟件ANSYS對實驗梁模型進行有限元二維等效模型和三維實體模型建模計算,通過模態實驗驗證有限元三維實體模型的可靠性,再通過三維實體模型驗證二維等效模型的可靠性,從而驗證所推導的芯體等效彈性常數的正確性。

復合夾心梁的有限元建模過程如下。

(1)梁的三維實體模型建模:分別建立波紋肋板和上下面板,材料采用5052鋁合金,再建立泡沫填充芯體,材料采用Zihacell52,將面板、波紋肋板和泡沫芯體綁定約束在一起,如圖5a所示。

(2)梁的二維等效模型建模:分別建立上下面板和中間等效芯體,面板材料采用5052鋁合金,將三維實體建模中的波紋肋板和泡沫芯體等效為中間層的等效芯體,等效芯體為正交各向異性材料,材料的9個等效彈性常數和等效芯體密度由理論推導的公式計算。

(a)實體模型 (b)實體單元

(c)等效單元 (d)殼單元圖5 梁Ⅰ的有限元模型

對梁Ⅰ沿橫向(L方向)建立8個胞元,對梁Ⅱ沿縱向(W方向)建立2個胞元;梁Ⅰ三維實體模型的泡沫芯體和二維等效模型的等效芯體均采用六面體單元(solid 185),如圖5b、5c所示;二維等效模型和三維實體模型的上下面板以及實體模型的波紋肋板均采用四邊形殼單元(shell 181),如圖5d所示;面板、波紋肋板和泡沫芯體之間均建立綁定約束(Bond(always)),網格尺寸為0.05 m,網格質量較高,以保證計算結果良好。

2.3 結果分析

表2給出了梁Ⅰ和梁Ⅱ的模態實驗結果和有限元計算結果。實驗結果表明,梁Ⅱ的一階固有頻率為142 Hz,比梁Ⅰ的一階固有頻率134 Hz高,這主要是因為梁Ⅱ的固定端約束比梁Ⅰ的強。由于實驗采用力錘沿垂直方向敲擊,梁在另外2個方向的模態振動頻率較高,因此,本實驗主要是針對垂直(厚度)方向的振動測試,不考慮另外2個方向的模態。由表2可以看出,沿垂直方向模態實驗的測量結果與有限元計算結果吻合良好。圖6給出了經TST模態分析軟件后處理的振型結果,可見梁的一階振型為垂直方向的彎曲,三階振型在梁長度的2/3處出現第二次彎曲,四階振型為梁繞固定端左右扭轉。

本節通過模態實驗數據與有限元三維實體模態計算結果的對比,驗證了有限元三維實體模型計算結果的正確性;通過有限元三維實體模態和二維等效模態計算結果的對比,初步驗證了理論推導的芯體等效彈性常數的正確性。

表2 復合夾心梁的計算結果與實驗結果比較

圖6 2種復合夾心梁的模態實驗振型

3 結構幾何參數對芯體等效彈性常數的影響

為進一步驗證所推導的芯體等效彈性常數的正確性,并研究不同結構參數對二維等效模型和三維實體模型計算結果的影響,選擇泡沫波紋夾心梁的3個結構幾何參數——面板厚度、波紋肋板厚度、泡沫芯體密度,分析其對二維等效模型和三維實體模型固有頻率的影響,并研究胞元數對仿真結果可靠性的影響[14]。

在分析上述4個結構參數的影響時,取面板厚度tp=1 mm、波紋肋板厚度tc=1 mm、泡沫芯體密度ρf=52 kg/m3、彈性模量E=44 MPa、胞元數n=8為基準參照,梁長L取0.358 m,寬W取0.089 2 m。每次改變1個結構參數,保持其他3個參數不變,分別計算4個結構參數對固有頻率的影響,并對二維等效模型和三維實體模型的計算結果進行對比,進一步驗證二維等效模型的可靠性。為保證計算結果的收斂性,分別在0.005 m和0.002 m的網格尺寸下對二維等效模型和三維實體模型進行了計算,計算結果無差異,驗證了結果的良好收斂性。

圖7所示為不同面板厚度對結構一階固有頻率的影響。由圖7可知:對于波紋沿L方向的梁Ⅰ而言,面板厚度對二維和三維模型固有頻率計算結果的影響略有差異,但均在誤差控制范圍之內;對于波紋沿W方向的梁Ⅱ來說,面板厚度對2種模型固有頻率計算結果的影響基本無差異,這說明梁Ⅱ的實際模型和等效模型吻合良好,從而進一步驗證了推導的等效彈性常數的合理性。由圖7還可知,結構固有頻率隨面板厚度的增加而升高,這是因為面板主要是承受彎曲,隨著面板厚度的增加,結構剛度增大,所以結構的固有頻率變高。

圖7 面板厚度對結構一階固有頻率的影響

圖8 波紋肋板厚度對結構一階固有頻率的影響

圖8所示為波紋肋板厚度對結構一階固有頻率的影響,從中可以看出:在波紋肋板厚度最薄時,梁Ⅰ的二維等效模型和三維實體模型的最大誤差為13%,但隨著波紋肋板厚度增加,誤差逐漸減小,直至與梁Ⅱ的計算結果基本吻合;結構的一階固有頻率隨波紋肋板厚度增加而降低,這是由于波紋肋板主要是抗剪切,增加厚度對增加結構質量的影響大于對提高結構剛度的影響,所以結構的固有頻率呈現下降趨勢。

圖9為泡沫芯體密度對結構一階固有頻率的影響,從中可以看出:梁Ⅰ和梁Ⅱ的實體和等效模型的計算結果最大誤差不超過6.6%;結構一階固有頻率隨泡沫芯體密度增加而降低,這是由于泡沫填充材料占較大體積,密度的增大對結構質量增加的影響遠大于對結構剛度提高的影響,因此結構的固有頻率呈現降低的趨勢。

圖9 泡沫芯體密度對結構一階固有頻率的影響

由圖7～圖9可知,梁Ⅰ的計算誤差大于梁Ⅱ的,這是由于在約束梁Ⅰ三維實體模型的左端面時,僅約束了上下面板和1個波紋肋板的厚度,主要約束施加在泡沫填充芯體上,而泡沫填充芯體密度小,剛度低,所以梁Ⅰ的約束強度相對較弱,而在約束梁Ⅱ三維實體模型的左端面時,同時約束了上下面板以及所有波紋肋板的側面,因此梁Ⅱ三維實體模型的約束強度比梁Ⅰ三維實體模型的更高,計算結果比梁Ⅰ的更好。由于梁Ⅰ二維等效模型左端約束了上下面板和中間等效芯體,而二維等效模型芯體的密度比三維實體模型泡沫芯體的密度大,因此梁Ⅰ二維等效模型的約束剛度比三維實體模型的大,二維等效模型計算的固有頻率更高;由于梁Ⅱ三維實體模型約束了所有波紋肋板,三維實體模型和二維等效模型的約束強度差異小,因此梁Ⅱ的實體模型與等效模型的計算結果基本無誤差。同時,由于梁Ⅰ的三維實體模型約束了波紋肋板、泡沫芯體和上下面板,因此在增加面板厚度、波紋肋板厚度以及泡沫芯體密度時,梁Ⅰ約束端的剛度均會增加,使計算結果誤差減小。

圖10所示為胞元數對結構一階固有頻率的影響,可以看出:實體模型和等效模型計算結果的最大誤差為10%;隨著胞元數增加,結構的一階固有頻率降低,等效模型和實體模型的計算結果趨于相同;在胞元較少時,由于剪應力分布不均勻,導致考慮剪應力均勻分布的公式推導的誤差偏大;隨著胞元增多,結構更趨于均勻狀態,所以2種模型的計算結果逐漸接近。

圖10 胞元數對結構一階固有頻率的影響

4 結 論

本文基于材料力學中的基本假設,考慮結構由面板承受彎扭,泡沫芯體承受剪切,推導出了泡沫波紋復合夾心結構的芯體等效彈性常數,并通過模態實驗結果與有限元計算結果的對比分析,驗證了該等效彈性常數的正確性。因此,該等效彈性常數可適用于相應構型的泡沫波紋復合夾心結構的有限元靜、動力學分析。此外,進一步分析了該泡沫波紋復合夾心結構的幾何參數對其振動特性的影響,結果表明:隨著面板厚度增加,結構的一階固有頻率升高;隨著波紋肋板厚度、泡沫芯體密度或胞元數增加,結構的一階固有頻率降低。由此,再次驗證了所推導的泡沫波紋復合夾心結構芯體等效彈性常數的正確性。