電液伺服系統多模型魯棒自適應控制

成旭華,姚建勇,樂貴高

(南京理工大學機械工程學院,290014,南京)

電液伺服系統具有動態響應快、體積小、輸出力/轉矩大及控制精確度高等突出優點,在國防、航空航天、民用等領域得到了廣泛應用。電液伺服系統是一個典型的非線性系統,包括各種非線性特性和建模不確定性,如摩擦非線性、電液伺服閥流量壓力非線性等非線性特性,電液伺服閥流量增益、泄漏系數、負載質量、執行機構的黏性摩擦系數、液壓油彈性模量等未知參數以及外部干擾、未建模動態、死區等建模不確定性[1-2],這些非線性限制了電液伺服系統高性能控制器的發展。為了提高非線性系統的控制性能,越來越多的研究人員設計了各種非線性控制器[3-6],滑模[7]、自適應[8]、自適應魯棒[9-10]等方法相繼運用到液壓非線性運動控制中。

液壓系統中部分參數的不確定性比較大,如液壓油彈性模量可從100 MPa到1 400 MPa,泄漏系數可從1×10-13m5/(N·s)到1×10-10m5/(N·s)等。傳統自適應控制對參數自適應初值比較敏感,系統存在強參數不確定性時,初值的選取將影響系統的瞬態響應性能,甚至閉環穩定性。針對此類問題,多模自適應控制被提出,且受到廣泛關注。文獻[11]針對線性系統建立含有多個固定模型和兩個自適應模型,提出一種有停留時間的切換策略,并分析了系統的穩定性。李曉理等設計了一種基于有界擾動分區的多模型自適應控制,解決了含有界擾動的離散時間系統輸出跟蹤問題,提高了系統控制性能[12]。邵彭真等設計了一種多模型切換自適應控制器,解決了軋機電液伺服系統在空載和負載兩種不同工況的切換控制。針對線性系統,Han等提出一種二階多模型自適應控制[14],運用凸集的概念,減小了辨識模型的個數,且具有一定的魯棒性能[15]。隨后,陳杰等提出非線性系統的二階多模型自適應控制[16-17],但沒有考慮存在外部干擾等不確定性的情況。自適應控制在存在外部干擾、未建模動態等不確定性時,系統跟蹤性能將會受到影響。

本文針對電液伺服系統的特點,建立了系統的數學模型以及多個辨識模型,在辨識模型中設計非線性魯棒項,以減小外部干擾等不確定性的影響,并基于反步法和李雅普諾夫分析法設計了一種考慮強參數不確定性和不確定非線性的多模型魯棒自適應控制器(MMRAC),使系統得到了漸進跟蹤的性能,提高了系統的瞬態響應性能。實驗結果證明了所設計控制器的有效性。

1 系統建模與問題描述

本文所研究的電液伺服系統如圖1所示,圖中右側的負載被伺服液壓缸驅動。控制器設計的目標是在電液伺服系統的輸出下使得負載位移盡可能地跟蹤任意指定的位移軌跡。電液伺服系統的動力學方程可以表示為

(1)

圖1 電液伺服系統示意圖

忽略伺服液壓缸的外泄漏,則伺服液壓缸的壓力動態方程為[1]

(2)

式中:Vt為伺服液壓缸的總容積;βe為有效油液彈性模量;Ct為內泄漏系數;QL為負載流量;q(t)為建模誤差。

采用高響應的電液伺服閥,則閥芯位移xv與控制輸入u近似為比例環節,即xv=kiu,因此得到電液伺服閥流量方程

(3)

(4)

(5)

對于確定的液壓系統,有以下合理的假設。

假設1系統的指令信號yd(t)=x1d(t)∈C3且有界;實際液壓系統在一般工況下滿足0

假設2系統參數不確定性θ的范圍已知,即

θp∈Ωpθ{θp:θpmin≤θp≤θpmax}

(6)

式中:θpmin=[θp1min,θp2min,θp3min,θp4min]T、θpmax=[θp1max,θp2max,θp3max,θp4max]T是向量θp已知的上下界,θp3min>0。

(7)

在控制器設計分析過程中,將用到以下引理。

引理1?x∈R,a>0,有

0≤xtanh(x/a)≤|x|

(8)

引理2?x≥0,y>0或x>0,y≥0有

x/x+y≤1

(9)

2 控制器的設計

2.1 辨識模型及參數自適應的設計

對系統進行在線辨識,根據系統狀態方程(5)設計多個辨識模型如下

(10)

如上所示,各辨識模型的形式是一樣的,只是參數估計的初值不同。

(11)

式中:j=1,2,3,4表示為第幾個參數;τij為參數自適應函數,在后續控制器設計中決定其具體形式。

給定如下參數自適應率

(12)

式中Γ>0為正定對角矩陣。

對于任意的參數自適應函數τi,不連續映射式(12)滿足以下性質

P1θi∈Ωθi{θi:θpmin≤θi≤θpmax}

(13)

(14)

2.2 控制器的設計

基于各個辨識模型,用反步設計方法設計相應的控制器ui。

定義emi1=xi1-x1d,則

(15)

令αi1為xi2的虛擬控制輸入,定義αi1與xi2的誤差為emi2=xi2-αi1,則

(16)

設計虛擬控制輸入

(17)

式中k1>0為可調增益。

將式(17)代入式(16)得

(18)

令αi2為xi3的虛擬控制輸入,定義αi2與xi3的誤差為emi3=xi3-αi2,則

(19)

設計虛擬控制輸入

(20)

式中k2>0為可調增益。

將式(20)代入式(19)得

(21)

對emi3求導,得到其動態方程如下

(22)

基于式(22)設計控制器

ui=uia+uis

(23)

式中k3>0為可調增益。

將控制器式(23)代入式(22)得

(24)

2.3 切換策略的設計

對系統進行在線辨識并基于辨識模型設計控制器,其動機是通過辨識模型的穩定使得被控對象穩定。因此,如果使用多個辨識模型,具有最佳性能的模型也將產生最佳的控制性能。為了提高系統控制性能,需要在任何時刻有可靠的辨識性能指標。本文采用的切換方案是對基于系統辨識誤差的指標函數進行監視,每次切換時選擇對應于指標函數值最小的辨識模型的控制器作為系統的當前控制輸入。

本文選擇的性能指標函數為

(25)

式中:α>0、β>0為對應項的權重,分別決定實時和歷史辨識誤差在性能指標中的權重。

切換函數

S(t)=sub(Ji(t)=Jmin(t),i=1,2,…,N)

u=us(t)

(26)

式中:sub(·)為取下標函數;Jmin(t)為t時刻各個辨識模型的性能指標函數中的最小值。將基于性能指標函數最小的辨識模型設計的控制器切換為當前控制器,即u=us(t),且切換間隙Tmin>ε,ε為任意小的數,以防止無限切換。

2.4 控制性能及穩定性分析

定義系統真實位移和系統給定指令的誤差z=xp1-x1d。

定理對于電液伺服系統式(5),取參數自適應函數

τi=φei3

(27)

式中:φ=[-xp2,-xp3,-gu,-1]T。

取M的自適應率

(28)

式中γ>0為參數自適應增益。

選取λ1,λ2,λ3,k1,k2,k3使得如下定義的矩陣為正定矩陣

則控制器式(23)及切換函數式(26)保證閉環系統中所有信號均有界,可獲得漸近穩定跟蹤,即當t→∞時,z→0,并且提高了系統的瞬態響應性能。

證明假設某一時刻控制器為ui,取李雅普諾夫函數為

(29)

對其求導得

(30)

將參數自適應率式(11)(28)代入式(30)得

(31)

式中Ei=[emi1,emi2,emi3ei1,ei2,ei3]T。

(32)

對式(32)兩邊進行積分,得

(33)

z=xp1-x1d=(xi1-x1d)-

(xi1-xp1)=emi1-ei1

(34)

由上述證明過程可知,每一個控制器都可以使系統穩定。因此,控制器式(23)和切換函數式(26)可以使得系統任意時刻都是穩定的,即t→∞時,z→0,且把離真實系統最近的辨識模型所設計的控制器切換為系統當前控制器,提高了系統的瞬態響應性能。

3 實驗結果及分析

建立如圖2所示的閥控電液位置伺服系統,其系統參數與文獻[3]相同。系統的供油壓力Ps=10 MPa,Pr=0.08 MPa,采樣時間為0.5 ms。

圖2 電液位置伺服系統實驗平臺

對比以下5種控制器以驗證所提出控制器的有效性。

(1)MMRAC。本文所提出的多模型魯棒自適應控制器,控制器參數k1=1 000,k2=200,k3=50,λ1=1 000,λ2=400,λ3=100,γ=0.05,Γ=diag[20 000,0.2,1×10-5,50]。建立了4個辨識模型,θ1(0)=[-1×105,-100,15,0]T,θ2(0)=[-5×105,-500,30,0]T,θ3(0)=[-1×106,-1 000,50,0]T,θ4(0)=[-2×106,-2 000,90,0]T,Mi(0)=10,δ(t)=10 000/(t2+1)。取α=1,β=1,初始控制器選為u2。

(2)魯棒自適應控制器(RAC)。傳統的RAC,參數自適應初值θ(0)=[-5×105,-500,30,0]T,其余參數同MMRAC。

(3)多模型自適應控制器(MMAC)。與MMRAC的區別在于辨識模型中沒有非線性魯棒項,控制器參數同MMRAC。

(4)PI控制器?？刂破鲄祂p=8 000,ki=2 000。

(5)VFPI控制器。該控制器是速度前饋PI控制器,速度增益kv選為0.028 1 V·s/mm,這種控制結構在工業中被廣泛使用,其增益與PI控制器相同。

采用最大跟蹤誤差Me、平均跟蹤誤差μ、跟蹤誤差的標準差σ等指標[6]來評估以上5種控制器的性能。

為驗證所提出算法的有效性,選取兩種不同工況進行實驗驗證。

工況1:取系統指令x1d=10arctan(sin(πt))·[1-e-t]/0.785 4 (mm),該指令保證了假設1的條件。MMRAC作用下系統位置跟蹤、控制器輸入、伺服液壓缸兩腔的壓力值、切換函數分別如圖3～圖6所示,5種控制器作用下系統位置跟蹤誤差如圖7所示。5種控制器作用下最后兩周期的性能指標如表1所示。

圖3 MMRAC作用下系統的位置跟蹤

圖4 MMRAC的控制輸入

圖5 伺服液壓缸兩腔的壓力值

圖6 MMRAC控制器切換圖

由位置跟蹤誤差圖7及表1中后兩周期的性能指標可以看出,MMRAC的各項性能指標均最優。由于RAC參數自適應初值選取得不合適,導致其跟蹤性能較差,而MMRAC采用了多個辨識模型,其瞬態響應較RAC有了明顯的提高。與MMAC相比,MMRAC通過在辨識模型中加入非線性魯棒項,抑制了外部干擾、未建模動態等不確定性的影響,提高了系統辨識的精度。由于MMRAC基于更為準確的辨識模型設計相應控制器,從而提高了系統的控制性能。從圖6可以看出,MMRAC的初始控制輸入為u2,在經過一個采樣周期后,系統的控制輸入切換到u1,而后面S(t)的值不再變化,說明已經切換到最佳的控制器。PI控制器對模型不確定性有一些魯棒性,其跟蹤誤差比其他4種控制器都要差。VFPI控制器中加入了速度前饋,利用速度前饋消除主要的模型動態,同時通過大的反饋增益抑制其他未考慮的因素,但其性能指標仍不如MMRAC。

圖7 工況1下各控制器位置跟蹤誤差比較圖

控制器MeμσPI0.265 10.136 60.079 1VFPI0.062 50.021 20.013 3RAC0.195 30.071 60.046 9MMAC0.054 90.018 50.011 6MMRAC0.038 60.017 90.007 6

工況2:為了進一步驗證算法的有效性,選取系統指令x1d=30arctan(sin(0.4πt))[1-e-t]/0.785 4 (mm)。5種控制器的位置跟蹤誤差如圖8所示,最后兩周期的性能指標如表2所示。

同樣,從實驗結果可以看出,MMRAC的各項性能指標均優于其他4種控制器,從而進一步驗證了所提出算法的有效性。

圖8 工況2下各控制器位置跟蹤誤差比較圖

控制器MeμσPI0.230 30.134 10.062 1VFPI0.055 10.016 00.012 2RAC0.190 90.069 60.042 1MMAC0.045 70.008 50.007 1MMRAC0.032 90.007 80.005 7

4 結 論

本文針對電液伺服系統存在的強參數不確定性和不確定非線性,設計了一種多模型魯棒自適應控制器。通過設計多個含有非線性魯棒項的辨識模型對系統進行在線辨識,并基于辨識模型設計相應的控制器。采用基于辨識誤差的性能指標函數作為切換依據,選取最佳辨識模型及控制器,并把該控制器作為當前控制器,解決了傳統自適應控制對參數自適應初值敏感的問題,提高了系統的瞬態響應性能。通過辨識模型中的非線性魯棒項,減小了干擾、未建模動態等不確定非線性的影響。運用李雅普諾夫穩定性理論,證明了控制器的穩定性。實驗結果表明,通過設計多個含有非線性魯棒項的辨識模型,可以有效抑制建模不確定性的影響,提高系統跟蹤精度,與MMAC相比,穩態精度提高了28%左右,驗證了本文所提算法的有效性。