數(shù)形結(jié)合，有形才行

江蘇蘇州高新區(qū)達善小學(xué)校（215151） 羅曉喻

數(shù)形結(jié)合是一種常見的數(shù)學(xué)思想，但是，具體教學(xué)中，許多教師忽視了它的強大功能，或是一筆帶過，或是片面地強調(diào)它輔助解題、幫助理解題意的功用。其實，深究起來，數(shù)形結(jié)合不僅是輔助理解那么簡單，它還有揭示數(shù)學(xué)概念、驗證算理、尋求解題突破口等用途。

一、以形推形

2011版課程標準將幾何圖形的教學(xué)內(nèi)容按照“三維——二維——三維”的回環(huán)結(jié)構(gòu)編排，并且在同一階段中，對圖形的認識設(shè)計一定的梯度，從“辨認”到“認識”再到“建?！?，讓學(xué)生經(jīng)歷借“形”思“形”的過程。

【案例1】長方體和正方體的認識。

教師拿出土豆，然后讓學(xué)生按照要求切分土豆。學(xué)生切下第一刀后，電腦演示將土豆一剖為二。讓學(xué)生觸摸切面，比較新切面和原表面有何差異。學(xué)生發(fā)現(xiàn)切面為平面。在這個平面上再切第二刀，電腦演示分切過程。教師提問：“出現(xiàn)了什么變化？”學(xué)生答復(fù)：“出現(xiàn)一條直直的線”。教師指明這條線就叫“棱線”，揭示“兩個平面相交形成棱”。學(xué)生再切一刀又出現(xiàn)一條棱，除了多出一條棱，還生成了一個頂點。此時教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三條棱交匯產(chǎn)生一個頂點，即三棱交接處為頂點。接著，再切三刀就得到長方體。教師讓學(xué)生數(shù)出長方體的棱、面、頂點的數(shù)量。最后，請學(xué)生分享探究成果：長方體一共有8個頂點、6個面、12條棱。

借“形”思“形”，簡而言之就是經(jīng)過動手操作，感受幾何直觀。學(xué)生雖是首次接觸立方體，對其中的一些概念名詞也是初次接觸，但是他們在幼兒時期接觸過許多類似的物件，對長方體的結(jié)構(gòu)都有感性經(jīng)驗，只是沒有形成明確的學(xué)科概念。因此，課始階段，切土豆的活動就能調(diào)取學(xué)生已有的面、棱、頂點等感性經(jīng)驗，為學(xué)生構(gòu)想長方體的幾何元素提供表象支架。

二、形中說理

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微?！眻D形總是以其生動、形象的特點，給人以強烈的視覺信號。通過幾何直觀，可以將生活中抽象難比擬的事理，簡明直接地呈現(xiàn)出來，于是，課堂上用鮮明搶眼的“形”去詮釋、證實抽象的“理”是最佳選擇。

【案例2】筆算乘法。

教師出示例題：每盒有12支鋼筆，4盒鋼筆一共多少支？學(xué)生列式：12×4=48。

教師讓學(xué)生簡述計算過程，并匯報交流。（點名幾位學(xué)生上臺書寫）

教師讓學(xué)生重點解說最后一種豎式解法：

將圖解與算式相結(jié)合，可得：

分析圖示可知，先是將每個12分成兩部分，然后分別擴增4倍，變?yōu)?個10和4個2，對應(yīng)到豎式中，4乘2等于8，是計算4個2這部分；4乘十位上的1（代表10）等于40，是計算4個10這部分，合并計算兩部分就是48。

在圖解乘法豎式時，將所有運算步驟“10×4=40，2×4=8，40+8=48”全部用圖形進行說明，做到數(shù)形結(jié)合，算理清晰，讓學(xué)生徹底開悟。

三、畫圖開路

解應(yīng)用題時，“數(shù)”依靠“形”可將題意直觀化，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維；用圖來解析和推斷，能化難為易，提高解題效率。

【案例3】題目：甲乙兩輛汽車同時從A、B兩地相向而行，甲車行駛了總里程的，乙車行駛了總里程的,此時，兩車相距220千米,求A、B兩地距離是多少？

解析：單看文字表述，題干中的“220千米”無法確定為全長的幾分之幾，而依題意畫出線段圖，其中玄機自然顯現(xiàn)：

看圖可知：“220千米”是兩車相遇之后錯開的距離，在兩車行駛路線的重疊處：

③僅僅截取中間一段距離看：“220千米”對應(yīng)全長的份額是，所以全長為220÷；

④對比全長看，“220千米”是兩車行駛總里程與全長的差，所以全長為。

從上例可以看出，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，通過圖解可以做出不同角度的判斷，在看似無關(guān)的數(shù)據(jù)間，可以捕獲到有利和有效的解題線索。

在教學(xué)過程中，充分利用幾何直觀，可以讓學(xué)生另辟蹊徑，把抽象問題變得具體可操作，把靜止的數(shù)字問題變成靈活的游戲問題，增強題目的趣味性和可塑性。

【案例4】“雞兔同籠”問題。

題目：雞兔同籠共有8個頭和26條腿，分別求雞和兔的數(shù)量。

教師先要求學(xué)生畫圖解決問題，學(xué)生展示做法。用圓圈代表頭數(shù)用短線表示腿數(shù)，在每個頭下面配上兩條腿，得到8個頭、16條腿，比題目中給出的條件少了10條腿，把剩下的10條腿補畫到5個頭下，每個頭補加2條腿，這樣一來，就有5個頭有四肢，所以兔子數(shù)為5個，由此可推斷雞數(shù)為3只。

數(shù)形結(jié)合，其目的就是通過“形”來簡化解題程序，降低思維難度，克服思維障礙。通過畫圖可以給出數(shù)字無法表現(xiàn)的解題線索，讓學(xué)生切實感受到幾何直觀對解題的重要作用。