找準“變”與“不變”，架起“平面”與“立體”

韓文美

立體幾何的翻折問題是指將一平面圖形翻折后變成空間圖形，然后根據平面圖形的數量關系、位置關系等的變化與否來研究空間圖形中各元素間的數量關系、位置關系等問題.所以，解決翻折問題的關鍵是確定翻折前后的不變量與改變量.

一般情況下，在折線同側的量，折疊前后不變，“跨過”折線的量，折疊前后可能會發生變化，這是解決這類問題的關鍵.

一、翻折中的判定問題

通過平面圖形的翻折后變成空間圖形，進而研究翻折后的空間圖形中的點、線、面的位置關系，判定相關的點、線、面的平行或垂直關系，以及相應量的變化等.

點評 平面圖形翻折為空間圖形問題的關鍵是看翻折前后線面位置關系的變化，不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結構特征，據此可加以分析與判斷.

二、翻折中的距離問題

通過平面圖形的翻折后變成空間圖形后的距離問題，往往涉及空間幾何體的表面積與體積，以及空間距離等數量關系的證明與計算等.

例2 如圖3，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.

三、翻折中的探究問題

結合平面圖形的數量關系與位置關系研究翻折后的空間圖形中的點、線、面的開放與創新探索問題，包括點、線的位置確定，存在性或探究性問題等.

例4 如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點.將△ADE沿DE翻折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖5.

（1）求證：DE∥平面AlCB；

（2）求證：A1F⊥BE；

（3）線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由.

分析 （1）由D，E分別為AC，AB的中點，通過線線平行的轉化，易證DE∥平面AlCB；

（2）由題中線線垂直可證DE⊥平面A1 DC，進而有DE⊥A1F，結合線面垂直的判定可證A1F⊥平面BCDE，進而得到對應的線線垂直關系；

（3）分別取A1C，A1B的中點P，Q，可得PQ∥BC，平面DEQ即為平面DEP，結合（2）中的線面垂直關系的轉化，利用線線垂直關系來證明對應的線面垂直關系，進而得以解決存在性問題.

證明 （1）因為D，E分別為AC，AB的中點，所以DE∥BC，

義因為DE 平面AlCB，BC 平面A1CB，所以DE∥平面AlCB.

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC，

所以DE⊥A1D，DE⊥CD，

義A1D ∩ CD=D，所以DE⊥平面A1DC，

而A1F 平面A1DC，所以DE⊥A1F，

又因為A1F⊥CD，CD∩ DE=D，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.

（3）線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ.

理由如下：如圖6，分別取AlC，AiB的中點P，Q，則PQ∥BC，

又因為DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即為平面DEP，

由（2）知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C，

又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，

所以A1C⊥DP，所以A1C⊥平面DEP，從而A1C⊥平面DEQ，

故線段A1B上存在點Q，使得AlC⊥平面DEQ.

點評 在解決翻折中的開放、創新或探究性問題時，一般通過先確定存在性、位置關系等開放性結論，再通過合理的推理與分析來說明.而正確的翻折處理、直觀圖的判定以及科學的推理論證都是必不可少的.

立體幾何的翻折問題背景簡單，立意深遠，對考生的空間想象能力要求很高，可以有效改善同學們對立體幾何的思維定勢，構造空間立體幾何結構直觀圖，使靜態數學動態化，優化思維品質.