關(guān)注數(shù)列性質(zhì)，探究數(shù)列問題

王佩其

等差數(shù)列與等比數(shù)列有一些值得注意的性質(zhì)特征，這些性質(zhì)特征是我們巧妙解題的突破口，也是優(yōu)化問題解題過程的“綠色通道”，讓我們一起來探究.

一、“子數(shù)列”性質(zhì)的應(yīng)用

評注 本例是等差數(shù)列“子數(shù)列”性質(zhì)中“等距抽取”問題，分析的關(guān)鍵在于新數(shù)列中的項(xiàng)是從原等差數(shù)列中“等距”抽取出來的，故仍成等差數(shù)列，但產(chǎn)生了新的公差.

例2 對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是

（）

A. al，a3，a9成等比數(shù)列

B.a2，a3，a6成等比數(shù)列

C. a2，a4，a8成等比數(shù)列

D.a3，a6，a9成等比數(shù)列

思路探究 考察四個選項(xiàng)中的等比數(shù)列{a n}的子數(shù)列的下標(biāo)成什么數(shù)列.

解 因?yàn)閿?shù)列{a n}是等比數(shù)列，又3，6，9成等差數(shù)列，所以以a3，a6，a9。成等比數(shù)列.選D.

二、“下標(biāo)和”性質(zhì)的應(yīng)用

評注 1.本例（1）的解法很多，其通法是用等比數(shù)列基本量的運(yùn)算，但是這種方法有時(shí)會很麻煩，遇到此類問題時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮結(jié)合性質(zhì)，以化繁為簡.

2.等比數(shù)列的性質(zhì)中，尤其以“下標(biāo)和”性質(zhì)應(yīng)用最多，最靈活，但使用時(shí)一定要區(qū)別其與等差數(shù)列“下標(biāo)和”性質(zhì)的不同，以免混淆致誤，比較如下表：

三、數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

例6 （1）已知等比數(shù)列{a n}中，前10項(xiàng)和Sl0=10，前20項(xiàng)和S20=30，求S30

（2） 一個等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).

思路探究 （1）列出關(guān)于a1，q的方程組能求解嗎？S10，S20- S10，S30- S20是否成等比數(shù)列？用這一性質(zhì)能解決嗎？（2）“奇數(shù)項(xiàng)之和”、“偶數(shù)項(xiàng)之和”的含義是什么？你能使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解嗎？

評注 解決本例有兩種思路：用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解，屬通性通法；用性質(zhì)求解，方法靈活，技巧性強(qiáng)，使計(jì)算簡便.等比數(shù)列前n項(xiàng)和還有項(xiàng)的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列{a n}中，公比為q.