掀起“隱含條件”的蓋頭來

劉新春

許多數學問題常常因為發現不了隱含條件而無法求解或方法繁復，耗時太多.如能將題目中的各個條件用幾何化、圖表化、代數化、模式化、結論化的形式相互轉化，往往能發現隱含條件，找到解題思路.下面以解析幾何問題為例說明如何發現隱含條件.

一、數形結合，巧妙轉化

比較上述兩種解法可知，只有抓住題目中兩個條件的本質屬性——幾何特征——兩直線關于原點對稱這一隱含條件，并用最簡單的數量關系表示，才能快捷地獲得簡單的解題方法和簡明的解題過程.

二、變換圖形，發現性質

例2 在平面直角坐標是xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點0對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-（1/3）.

（l）求動點P的軌跡方程；

（2）設直線AP與BP分別與直線x=3交于點M與點N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

在上述幾種表征形式中，表征（l）抓住圖形中三角形的邊的特征給出數量關系，最接近題中原始條件，也最容易想到，但計算M，N兩點的縱坐標步驟較繁，運算過程也非常復雜；表征（2）抓住了∠APB =∠MPN這一條件，從角的特征出發，把面積相等表征為三角形邊長的乘積關系，再運用線段在同一條直線上的射影的比值相等，因而思路巧，方法簡，運算少；表征⑶與表征⑴類似；表征（4）抓住圖形的整體特征，充分運用B點是AD的中點條件，從兩個三角形的面積相等關系挖掘出P點為△ADN的重心這一隱含條件，題目中條件的本質屬性更加凸顯.

三、特殊引路，直覺猜想

例3 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x²+y²=4，F（O，2），點A，B是圓O上的動點，且FA·FB =4，是否存在與動直線AB恒相切的定圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由.

分析 直覺告訴我們，若定圓存在，應與圓心O或定點F有關.因為A，B是動點，若取FA =l，FB=4，可知∠FAB=90。.點F到AB的距離為1，點O到AB的距離為1/2（中位線）.再令FA =FB =2，可算得點F和點O到AB的距離均為1.合情猜想，點F到AB的距離為定值1.換句話說，AB與以點F為圓心，1為半徑的圓相切.這就是本題中的核心隱含條件.如何證明？聯想FA.FB=4、三角形的面積公式、余弦定理等條件可得以下證明：

作FH⊥AB于點H，連結OA，OB.設△ABF的面積為S.

本題的求解思路其關鍵是通過直覺判斷、特殊引路、合情猜想、推理論證等環節發現并證明隱含條件“定點到直線的距離為定值1”.可從上述探究過程中體會如何探索幾何圖形的本質特征.

四、抓住“有界”，化隱為顯

在求解解析幾何問題時，經常會運用圖形特征中的限制條件，如圓上兩點的距離范圍，橢圓、雙曲線、拋物線上點的坐標的限制條件，求離心率或其他參數的范圍等問題.解析幾何問題中的隱含條件首先是圖形中隱含的幾何特征，抓住最本質的幾何特征，就能發現隱含條件.其次是尋找同一個幾何特征的不同數量關系，有些是顯而易見的，有些是深藏不露的，需要我們去發現.