數(shù)學(xué)問題到底如何審

董裕華

我們先來做個審題能力測試，看看你的實(shí)力到底怎么樣.

你對測試結(jié)果滿意嗎？這個測試有意思嗎？

其實(shí)，這個測試是借用了小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師華應(yīng)龍老師的測試方法，我也測試了多次，發(fā)現(xiàn)年級越高，學(xué)生的測試結(jié)果反而越不理想.為什么？

因?yàn)槲覀兊乃季S已經(jīng)被固化了.長期被動應(yīng)付讓不少同學(xué)形成了陋習(xí)，把自己當(dāng)成知識的容器，只會機(jī)械模仿，缺乏變通和創(chuàng)新的意識和能力.

要提高審題能力，關(guān)鍵靠自己感悟，靠平時積累，

那么，數(shù)學(xué)問題到底該如何審呢？我們不妨從上述測試題5開始分析：

例1 如果銳角三角形ABC的外接圓的圓心為0，求0點(diǎn)到三角形三邊的距離之比.

答題分析 本題的通常思路是先設(shè)出三角形的三邊長分別為a，b，c，o點(diǎn)到三邊的距離分別為ha，hb，hc.

則S△AOB=1/2c·hc=1/2oA·OB.sin∠AOB=1/2R2 sin∠AOB，所以hc=R2/csin∠AOB=R2/csin2C= 2R2·sin/c·cosc=Rcosc.

同理，ha=Rcos A，hb=R cos B.

所以ha：hb：hc=cos A：cos B：cos C.

重新審題：題目所給的條件有什么啟示？為什么沒有給邊長？原來不給邊長就是不需要用邊長表示.因此.關(guān)鍵是要找出距離與角的關(guān)系！如圖1，OD為AB邊上的高，則∠AOD=∠C，OD/OA=cos∠AOD=cos C，故hc=R cos C.領(lǐng)會了命題者的意圖，整個解題過程方向明確，運(yùn)算量明顯減小，

這個題目的解答過程驗(yàn)證了命題老師常掛在嘴邊的一句話：多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算，

例2 設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[ -1，1]上，f（x）=ax+1，-1≤x≤0，（x+2）/（x+1），0≤x≤1，其中a，6∈R.若f（1/2）=f（3/2），則a+3b的值為 ______.

答題分析 這道題最關(guān)鍵的問題是能否看出分段函數(shù)與函數(shù)的周期的關(guān)系，其實(shí)，所給函數(shù)的區(qū)間長度為2，正好等于函數(shù)的周期.

因此，f（-1）=f（1） ，1-a=（2+b）/2， b=-2a.

這就是審題能力！

題目本身是“怎樣解這道題”的信息源，所以審題一定要逐字逐句看清楚，力求從語法結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)含義等各方面真正看清題意.審題是整個解題過程的“基礎(chǔ)工程”，必須綜合所有條件，提煉全部線索，形成整體認(rèn)識，為形成解題思路提供全面可靠的依據(jù)，解題實(shí)踐表明，條件預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段，結(jié)論預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向.凡是題目未明顯寫出的，一定是隱蔽給予的，只有細(xì)致的審題才能從題目本身獲得盡可能多的信息，這一步不要怕慢.

那么，審題可以從哪些方面著手？

一、挖掘題目的隱含條件

條件是解題的素材，充分利用條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必經(jīng)之路，審視條件最重要的是充分挖掘條件的內(nèi)涵和隱含的信息，發(fā)揮隱含條件的解題功能，

例3 已知o≤α<β<γ<2π，且sin α+sinβ+sinγ=0，COSα +cosβ+cos γ =0，求β-α.

答題分析

由已知得

sin α+sinβ=-sinγ

①

COSα +cosβ=-cos γ

②

①2+②2得2+2（sinαsinβ+cos αCOSβ）=1，故cOs（β-α）=-1/2.

由0≤α<β<γ<2π，知0<β-α<2π，所以β-α<2π/3或4π/3.

評注 題目中α，β，γ的地位是平等的，為什么還要強(qiáng)調(diào)α<β<γ呢？這就說明γ還有文章可做，因?yàn)橥砜傻忙?α=2π/3或4π/3.由于β<γ，故β-α<γ-α，此時只能有一種情況：β-α=2π/3，γ-α=4π/3條件再推敲，終于發(fā)現(xiàn)了隱含的秘密.

二、捕捉圖形的特征信息

不少數(shù)學(xué)試題的條件是以圖形的形式給出，或?qū)l件隱含在圖形之中，抓住圖形特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，是破解此類問題的關(guān)鍵.

三、強(qiáng)化數(shù)式的結(jié)構(gòu)研究

數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論，很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的.在這些問題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中，往往都隱含著某種特殊關(guān)系，認(rèn)真審視數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對數(shù)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入分析，加工轉(zhuǎn)化，可以尋找到問題的突破方案，

四、讀懂題設(shè)的圖表數(shù)據(jù)

題目中的圖表往往包含著問題的眾多基本信息，也常常暗示著解決問題的目標(biāo)和方向.在審題時，認(rèn)真觀察分析圖表數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律，可以找到解決問題的思路和方法.

例6某地2004年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下：

若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢一定是（）

A.計(jì)算機(jī)行業(yè)好于化工行業(yè)

B.建筑行業(yè)好于物流行業(yè)

C.機(jī)械行業(yè)最緊張

D.營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張

答題分析 本題的數(shù)據(jù)太多，讓人眼花繚亂.哪些數(shù)據(jù)真正有效？要緊扣定義“排行榜”.這里的排行榜都是按照不同行業(yè)應(yīng)聘和招聘人數(shù)從高到低排序的，榜上無名的行業(yè)應(yīng)聘和招聘的人數(shù)一定低于榜上的最低數(shù)，比較兩組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)上一組缺少建筑和化工，下一組缺少物流和貿(mào)易，顯然建筑和化工業(yè)應(yīng)聘的人數(shù)必定少于65280人；物流和貿(mào)易招聘的人數(shù)必定少于70436人.有了對題意的準(zhǔn)確把握，答案就一目了然，為B.

評注 本題看似數(shù)學(xué)味不濃，但審題要求高，首先要看清圖表，理解數(shù)據(jù)特征，中學(xué)生、小學(xué)生都可以做.但中學(xué)生做的情況未必比小學(xué)生好.

目前，大多數(shù)人在審題問題上的缺陷主要有：題意的理解不清，解題的方向不明，思維定勢消極影響，審題信心不足，不注意總結(jié)反思，一錯再錯，思維能力欠缺.

怎樣才能提高審題能力呢？

一是要找出審題不清的根源.每個人審題的缺陷都不一樣，要有針對性的補(bǔ)救措施，

二是要掌握審題的方法.審題一般分為四步：

1.初審.弄清已知條件和解題目標(biāo).可從以下幾個方面著手：

（1）有哪些已知條件？

（2）解題的目標(biāo)是什么？要求是什么？

（3）如果能畫圖，應(yīng)畫一個圖，并在圖中標(biāo)出必要的條件和數(shù)據(jù)，畫圖的過程是一個熟悉問題的過程，是一個對已知條件和解題目標(biāo)的再認(rèn)識的過程.

2.再審，挖掘隱含信息，很多數(shù)學(xué)問題對有些隱含的信息是省略的、未表述的，或寓于概念，或存于性質(zhì)，或含于圖中，這些信息往往是突破難點(diǎn)的抓手.隱含的信息常常隱藏在關(guān)鍵的字詞中，只要抓住關(guān)鍵字詞就會使已有知識和問題聯(lián)系起來，進(jìn)而找到解題的突破口.

3.三審，聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，許多數(shù)學(xué)題給出的初始狀態(tài)或目標(biāo)狀態(tài)的形式比較復(fù)雜、繁瑣，審題時不能只停留在原題信息上，要善于抓住關(guān)鍵信息將其轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)換成熟悉和易解的問題，使數(shù)學(xué)問題化繁為簡.不妨看看：

（1）已知條件和所求結(jié)論有什么聯(lián)系？

（2）根據(jù)已知條件和所求結(jié)論，是否想起一個與之有聯(lián)系的概念、性質(zhì)或定理？

（3）可以把已知條件或結(jié)論轉(zhuǎn)化成什么新的條件或形式？

4.四審，一旦解題遇到困難時，要重新認(rèn)真審題，看看有無遺漏的條件和數(shù)據(jù)，可以再問問自己：

（1）是否利用了所有已知條件？有沒有遺漏？

（2）是否考慮了所有與條件、結(jié)論有關(guān)的概念，性質(zhì)和定理？

（3）能否想起一個與現(xiàn)在的問題有關(guān)，且熟悉的問題？

——選自《減負(fù)增效學(xué)數(shù)學(xué)》，江蘇鳳凰教育出版社出版