設點還是設斜率

徐萍

例 過點P（2，1）的直線z與直線y=x+2，直線y=-x+2分別交于A，B兩點，若點P為AB的中點，求直線l的方程，

已知什么？點（2，1），點P是AB的中點，這是關鍵詞，

怎么運用“P是AB的中點”？利用中點公式：（xA+XB）/2=XP

怎么求出A，B的坐標呢？它們是直線與直線的交點.可以聯立直線，構建方程組，但是直線l的方程不知道，

已知一個點，選擇點斜式表示直線方程，就需要設直線l的斜率為k，當然設斜率為k之前，必須先說明斜率不存在時的情況，

斜率不存在時直線l為x=2，A（2，4），B（2，0），不滿足P為AB的中點，則設直線l的斜率為k，即y=k（x-2）+1，可聯立方程組求出XA=（2k+1）/（k-1），xB=（2k+1）/（k+1）.

因為P（2，1）為AB中點，則（2k+1）/（k-1）+（2k+1）/（k+1）=2 x 2，從而可求出斜率k.

當條件中已知一個點，大家選擇點斜式表示直線方程，那就要根據條件列出方程求斜率，

再思考下，還有其他做法嗎？確定直線，除了一個點加斜率，還可以找兩個點.可以設點A，B的坐標，列出兩個方程.設直線l與直線y=x+2的交點A為（x1x1+2），與直線y=-x+2的交點B為（x2，x2 -x2），則

（x1+x2）/2=2.

（x1+2）+（2-x2）/2=1.

當然也可以只設一個未知數，用A表示出B，再利用B在直線上，列出一個方程，設直線l與直線y=x+2的交點A為（x0，x0+2），則直線l與直線y=-x+2的交點B為（4-x0，-x0），又交點B在直線y=-x+2上，則-x0=-（4-x0）+2，得x0=1，點A坐標知道了，直線方程就可迎刃而解，

對于例題，所求直線的幾何性質對解題沒有明顯直觀的幫助作用，只能選擇代數辦法，而根據條件選擇直線方程形式的時候，顯然應選擇點斜式，這種解法其實就是將題目中的條件按序翻譯成代數語言，直至問題解決！

變式1

把條件中的“P是AB的中點”改為“AP =2 PB”，怎么求直線方程呢？

這時A，B，P三點坐標間有什么關系呢？推導出3xP-xa-2xB =0，3yp-yA-2yB =0，由此求出A，B坐標，解方程；或者設A坐標，解出B的坐標，代人，都可以！大家可以自己算出結果，

變式2 過點P（- 1，2）的直線l與z軸，y軸分別交于A，B兩點，若點P為AB的中點，求直線l的方程.

這道變式題的關鍵是刻畫中點.可以設截距（也就是設點），也可以設斜率確定方程求出截距，再列出方程！當然還可以直接求出截距！這道題目選擇兩點式、截距式、斜截式、點斜式都成！

變式3 過點P（-4，0）的直線l與圓C：（x-1）2+y2=5相交于A，B兩點，若點A恰好是線段PB的中點，則直線l的方程為

_______________.

這道題目已知直線上的一個點，要求的是直線方程，這時需要思考的是，是設斜率呢，還是設點？我們可以稍微權衡下，哪種做法比較簡單，能迅速地解決問題，

如果設斜率，那么先考慮直線斜率不存在時，看是否符合題意；再當直線斜率存在時，設為k，直線方程為y=k（x+4）.

怎么刻畫點A是PB的中點呢？利用中點公式可以得到點A，P，B三點之間坐標的關系，記作（*）式，

點A的坐標怎么求？聯列直線和圓的方程，得到關于x的一元二次方程，求出方程的根，代人（ *），構建關于k的方程，

當然了，選擇這樣的思路，還可以設A為（x1，y1），B為（x2，y2），借助于韋達定理與（*）式，去求出k的值，

不著急動筆做，再想想其他思路，

如果設點，比如設A為（x1，y1），兩個未知量，需要兩個方程，一個方程是A滿足圓的方程；還有一個就是利用點A是PB的中點，用x1與Y1表示出B點的坐標，代人圓的方程，構建第二個方程，解方程組，求出A的坐標，從而得到直線方程，

有了思路，問問自己，這兩種做法中，你會選擇哪一個呢？理由呢？當然，這道題還可以借助圓的幾何特征來做，過圓心做直線的垂線，構建兩個直角三角形，利用勾股定理，求出圓心到直線的距離，再由直線方程y-k（x+4），求出斜率k.說到底，還是設斜率，只不過利用幾何特征得到關于k的方程！

直線中，當只給定一個點時，要去求直線方程時，可以設直線的斜率，也可以設直線上的一個點，根據條件，列出方程（組）.一般來說，不管哪個思路都是可行的，大家需要做的，就是去選擇最適合的方法！