三參數隔振系統歸一化模型及參數優化

焦小磊， 趙 陽， 馬文來, 李思梁

(1. 哈爾濱工業大學 航天學院， 哈爾濱 150001； 2. 中科院 沈陽自動化研究所， 沈陽 110016)

航天器上的執行機構由于制造過程中不可避免的存在一些加工誤差，當執行機構正常工作時，會產生一系列幅值小、頻率高的微振動，嚴重影響星上有效載荷的正常工作。國外曾有研究表明，這類執行機構微振動會使衛星上成像設備所拍攝的圖像變得模糊。現代航天器正向高精度、高分辨率方向發展，因此，必須對這類微幅振動進行有效隔離。被動型隔振器由于具有較高的可靠性，因此在航天器上的應用比較廣泛。

三參數隔振系統由主剛度、附加剛度、阻尼元件組成，相較與傳統的兩參數模型來說，阻尼元件上串聯了一個彈簧，相當于和基礎彈性連接，通過合理設計，其在高頻段的隔振性能要比傳統兩參數模型更加優異。

三參數隔振系統又稱為彈性連接隔振系統，由并聯彈簧，阻尼元件，串聯于阻尼元件上的彈簧組成。最早由Ruzicka等[1-2]提出，并對其進行了比較詳細的研究。 Yamakawa[3]研究了三參數隔振系統在瞬態激勵下的響應，表明其具有較好的緩沖作用。Brennan等[4]研究了剛度以及阻尼對三參數隔振系統性能的影響，他指出，對于簡諧激勵來說，具有較好的隔振效果。Davis等[5-7]公司研制了一系列基于三參數模型的隔振器，該系列隔振器成功應用于哈勃太空望遠鏡，經在軌數據表明，其隔振效果非常好，并且具有較高的可靠性。但由于政策原因，該類型隔振器的減阻機理并未公開。國內也有學者對三參數隔振系統作了系統的研究。王杰等[8-9]對基于三參數模型的流體阻尼器進行了研究，給出了三參數隔振器等效參數測試方法。王超新等[10]給出了三參數隔振器最優阻尼設計方法。廖蕾[11]研究了基于三參數模型的波紋管式流體阻尼隔振器的隔振性能。楊慶俊等[12-13]測定了三參數隔振器的線性阻尼系數和平方阻尼系數。何玲等[14-16]研究了摩擦力、流體質量、非線性阻尼力等因素對基于三參數模型的流體阻尼器隔振性能的影響。Liu等[17]研究了基于三參數模型的隔振器對整形隔振性能的影響。

上述研究多集中于物理參數的改變對隔振性能的影響，鮮有對三參數隔振系統進行性能優化設計，而三參數隔振器屬于被動型隔振器，共振峰和高頻衰減率存在沖突，在實際設計時，必須注意兩者的權衡。本文提出基于歸一化模型的三參數隔振優化設計方法，針對共振峰和高頻衰減率進行多目標優化設計，并給出階躍激勵下，系統性能參數的近似估算方法，仿真算例驗證了方法的可行性。

1 三參數隔振器動力學模型

三參數隔振系統由主剛度、附加剛度、阻尼元件組成，主剛度一般由彈性元件來提供，也即系統的靜剛度。附加剛度一般由流體壓縮時的體積剛度來提供。系統可以用彈簧-質量塊模型來描述。模型如圖1和圖2所示。

圖1 三參數隔振系統模型Fig.1 Three parameter isolation system圖2 機械阻抗模型Fig.2 Mechanical impedance model

(1)

對式(1)拉氏變換，得到復方程組

(2)

根據復方程組可以較為方便的對三參數隔振系統的時域和頻域特性進行分析。

2 模型的歸一化

為了便于討論，將模型轉換到復域下，并對模型進行歸一化處理。

根據圖3可以寫出機械阻抗的傳遞函數

(3)

圖3 傳遞函數框圖Fig.3 Transfer function block

可以寫成下面形式

(4)

圖4是系統開環傳遞函數的Bode圖。

圖4 Bode圖Fig.4 Bode plot

ω1，ω2是Bode圖中轉折頻率，這里

(5)

(6)

可求得

(7)

由KA，KB，CA轉換到KA，α，ω0的變換關系為

(8)

由KA，α，ω0轉換到KA，KB，CA的變換關系為

(9)

由于臨界阻尼可以表示為

定義剛度比N=KB/KA，阻尼比ζ=CA/C0，則N，ζ與α，β的轉換關系為

N=α2-1

(10)

(11)

圖5是系統阻尼比與無量綱參數α，β的包絡面。根據式(8)可以知道，參數α和系統剛度比有關，對于三參數系統來說，剛度比大于零，因此有α>1。當α取值固定時，隨著β的增加，系統阻尼比也會增加。同時，若β取值固定，隨著α取值增加，系統阻尼比也會增加。圖6是系統剛度比與無量綱參數α的關系，剛度比隨參數α取值增大而增大。ζ<1時，系統處于欠阻尼狀態，ζ>1時，系統處于過阻尼狀態，ζ=1時，系統處于臨界阻尼狀態。

圖5 ζ與α，β的關系Fig.5 Relationship for ζ，α，β

固有頻率的換算關系為

圖6 N與α的關系Fig.6 Relationship between N and α

(12)

而當附加剛度為零時，系統固有頻率為

可以得到兩個固有圓頻率之間的關系

(13)

(14)

3 隔振系統時域響應分析

這里以單位階躍激勵和正弦激勵為例，對隔振系統時域響應進行分析，其中，單位階躍激勵的性能指標可以選擇調節時間、峰值時間、超調量。正弦激勵的性能指標為共振放大倍數和高頻衰減率。

3.1 單位階躍激勵

當外界輸入為單位階躍激勵時，系統的傳遞函數可以寫成下面的形式

(15)

式中:S=s/ω0;S1，S2，S3為三個特征根，可以寫成下面的形式

S1=c，S2=a+bi，S3=a-bi

通過Laplace逆變換可以得到時域響應

2Veatsinbt)

(16)

p1=ma+1，p2=mb，p3=-4ab2+2cb2

表1給出歸一化參數α，β與剛度比N、阻尼比ζ的對應關系。

圖7是α=1.2時系統對于單位階躍激勵的時域響應。β取值分別為0.16，1，6.25。可以看到，β=1時，三參數隔振系統對于單位階躍激勵的調節時間要明顯小于β=0.16和β=6.25的情形。同時，超調量較其他兩種情形也要小一些，時域響應曲線的震蕩程度也要明顯小于其他兩種情形。圖8是α=1.5時系統對于單位階躍激勵的時域響應。β取值分別為0.16，1，6.25。同α=1.2時的情形相似，β=1時的調節時間也要明顯小于β=0.16和β=6.25的情形。時域響應曲線的震蕩程度也要明顯小于其他兩種情形。α=1.5時的調節時間和超調量也要小于α=2的情形。圖9是α=2時系統對于單位階躍激勵的時域響應。β取值分別為0.16，1，6.25。三參數隔振系統對于單位階躍激勵的調節時間要明顯小于β=0.16和β=6.25的情形。同時，超調量較其他兩種情形也要小一些，時域響應曲線的震蕩程度也要明顯小于其他兩種情形。圖9是α=3時系統對于單位階躍激勵的時域響應。β取值分別為0.16，1，6.25。可以看到，β=1時，三參數隔振系統對于單位階躍激勵的調節時間要明顯小于β=0.16和β=6.25的情形。同時，超調量較其他兩種情形也要小一些，時域響應曲線的震蕩程度也要明顯小于其他兩種情形。α=3時，系統對于單位階躍激勵的調節時間要明顯小于α=1.2，α=1.5，α=2時的調節時間。

表1 歸一化參數和物理參數Tab.1 Normalized parameter and physical parameter

圖7 α=1.2時的時域響應Fig.7 Response in the time domain (α=1.2)

圖8 α=1.5時的時域響應Fig.8 Response in the time domain (α=1.5)

圖9 α=2時的時域響應Fig.9 Response in the time domain (α=2)

圖10 α=3,β=0.16,1,6.25Fig.10 α=3,β=0.16,1,6.25

表1是歸一化參數與物理參數的對應關系。分成4種工況，對應前面的單位階躍激勵的4種工況。α取值分別為1.2，1.5，2，3。每種工況下，β取值分別為0.16，1，6.25。當α取為1.2時，剛度比為0.44，阻尼比均小于1。說明此時系統處于欠阻尼狀態，對照圖7來看，振蕩較為明顯。當α取值為1.5時，剛度比為1.25，阻尼比也均小于1，但同α=1.2的情形相比，此時阻尼比明顯偏大一些，對照圖8可以看到，時域響應曲線振蕩要弱一些。當α取值為2時，剛度比為3，β=6.25時，阻尼比大于1，系統此時處于過阻尼狀態。當α取值為3時，剛度比為8，相比于前面3種情形，此時時域響應曲線振蕩最為平緩，β=6.25時，系統處于過阻尼狀態。

3.2 正弦激勵

當外界激勵為正弦激勵時，激勵描述為

x=Asinωt

系統的傳遞函數可以表示為

(17)

式中：S=s/ω0；S1，S2，S3為三個特征根，可以寫成下面的形式

S1=c，S2=a+bi，S3=a-bi

通過Laplace逆變換可以得到時域響應

(18)

p1=ma+1，p2=mb，p3=-2b2(a2-b2+ω2)

p4=-4ab3+2b(a-c)(a2-b2+ω2)，p5=1

p6=-mω，p7=-2ω2(a2+b2-ω2)-4acω2

圖11～圖13是參數根軌跡，β取值分別為0.5，1，1.5， 的取值任意，從圖中可以看出，根軌跡有3個分支，分別對應于3個特征根。圖11是β取0.5時的根軌跡，此時第1個分支位于實軸上，表示此時系統存在實數特征根，第2個分支有一部分位于實軸的上半平面，表示虛部為正數，還有一部分位于實軸上。第3個分支有一部分位于實軸的下半平面，表示虛部為負數，還有一部分位于實軸上。此外有部分分支位于實軸右側正數部分，此時系統是不穩定的。圖12是當β=1時，第1個分支重合于(-1,0)，第2個分支有部分位于實軸上半平面，表示虛部為正數，還有一部分位于實軸上，第3個分支有一部分位于實軸的下半平面，表示虛部為負數，還有一部分位于實軸上。圖13是β取1.5時的根軌跡，此時，第1個分支位于實軸上，表明此時系統存在實數特征根，第2個分支有部分位于實軸上半平面部分，表明虛部為正數，還有一部分位于實軸上，第3個分支有一部分位于實軸下半平面部分，表明虛部為負數，還有一部分位于實軸上。對于3種情形來說，所有位于實軸右側的根軌跡部分不穩定，同時可以判斷右側部分α<1，對于三參數系統來說剛度比是大于1的，因此右側部分不符合要求，在設計時應予以舍棄。隨著根軌跡向實軸的靠近，阻尼比逐漸增大，位于實軸上的根軌跡達到臨界阻尼比。

圖11 β=0.5時的根軌跡Fig.11 Root locus for β=0.5

圖12 β=1時的根軌跡Fig.12 Root locus for β=1

圖13 β=1.5時的根軌跡Fig.13 Root locus for β=1.5

4 參數優化

4.1 正弦激勵下的參數優化

針對正弦激勵來說，由于被動型隔振系統的共振峰和高頻衰減率存在一定的沖突性，為了同時滿足兩種指標的要求，需要進行多目標優化。 優化方法采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)。

NSGA-II(帶精英策略的非支配排序遺傳算法)運行效率高，解集具有良好的分布性，特別對于低維優化問題具有較好的表現，是應用最為廣泛也是最成功的多目標優化算法之一。程序流程如圖14所示。圖15是優化流程圖。

圖14 NSGA-Ⅱ算法流程圖Fig.14 Program flow chart for NSGA-Ⅱ

圖15 優化流程圖Fig.15 Flowchart for optimization

(1) 確定目標函數

根據三參數隔振系統的力學模型，推導目標函數，目標函數為共振放大系數和高頻衰減率。由于目標函數的形式較為復雜，文中未給出具體的表達式；

(2) 優化計算

采用帶精英策略的非支配排序遺傳算法進行優化計算，設置種群數量以及其他參數，經過計算，會得到Pareto最優解，這些最優解可以作為設計參數進行備選；

(3) 篩選

根據指標要求，在Pareto最優解中篩選出滿足指標要求的解，經過篩選，確定最終待采用的設計參數；

(4) 優化設計

根據篩選出來的滿足指標要求的解，可以得到剛度比以及阻尼比等參數，從而為下一步設計提供依據進行優化計算時需要先得到目標函數。這里的目標函數定義為共振峰以及高頻衰減率，可以表示為

(19)

式中：f1，f2分別為共振峰值函數與高頻衰減率函數；α，β是決策變量，可以對α，β的取值范圍加以限制，這里需要注意的是，α是剛度比的函數，而剛度比大于等于零，因此，α≥1

(20)

式中：αu，αl為α取值的上下限；βu，βl為β取值的上下限。

考慮到α是剛度比的函數，而一般情況下，剛度比不能過大， 對于正弦激勵來說，其傳遞率可以表示為

(21)

共振時的頻率比為Ω0，則共振峰值函數可以寫成

(22)

為了得到共振頻率，需要將傳遞率求極值，即

(23)

顯然Ω0=Ω0(α,β)，將其代回式(22)即可得到共振峰值函數關于α，β的函數，對于高頻處的衰減率可以表示為

(24)

式中：Ωh為高頻處的頻率比。由于表達式較為復雜，文中未給出具體形式。可以借助Matlab符號計算功能來進行推導。

優化計算之后會產生一系列最優解，需要在這些最優解中篩選出符合指標要求的解，這些解對應的α，β即可用來進行進一步設計。

4.2 單位階躍激勵下的參數設計

對于單位階躍激勵來說，由于函數形式較為復雜，無法給出目標函數的顯式表達式，這里采用估算法對其動態性能進行估算，然后得出目標函數的近似表達式。以含有一對共軛極點和實數極點的情況為例。

三參數系統的閉環傳遞函數為

(25)

以一對共軛復根為例，S2，S3共軛閉環主導極點，S1是實數極點。

S1=c，S2,3=a±bj

根據閉環主導極點可以得到系統在單位階躍輸入作用下，輸出的拉氏變換時近似表達式為

(26)

式中：M(S)，D(S)分別為(式子)的分子和分母，通過拉氏反變換，系統階躍響應的近似表達式為

(27)

通過對上式求導數可以，并令其等于0，可以得到峰值時間

(28)

式中：ψ1=arctan(|b/(z0-a)|)；θ3=arctan(|b/(c-a)|)

根據階躍響應表達式，對于調節時間的估計有

(誤差帶選擇5%)

式中：Z0為零點；S1，S3為極點。

首先根據指標需求確定調節時間的取值，誤差帶選擇為，由于

σ=|a|

故

(29)

(30)

首先可以確定調節時間，調節時間確定以后，即可以確定 的值，然后可以通過根軌跡來選擇滿足要求的特征根，特征根選定以后，即可以寫出傳遞函數的具體表達式，進而可以通過Laplace逆變換來求出時域響應。

三參數系統的閉環傳遞函數為

(31)

由于特征根的形式為S1=c，S2=a+bi，S3=a-bi代入到(31)中有

Φ(S)=

(32)

可以得到

(33)

(34)

通過上式可知，只要知道了特征根的分布即可以寫出傳遞函數表達式，進而求出α，β的值，得到時域響應歷程。

5 算例仿真

(1) 設計某基于三參數模型的隔振系統，要求共振放大倍數小于3，高頻衰減率小于0.01。

表2中是優化后篩選出來的滿足共振放大倍數小于3，高頻衰減率小于0.01的設計參數值。通過設定優化參數，可以獲得不同數量的滿足設計指標要求的設計參數。根據設計參數中α和β值，按照前面式(10)和式(11)就可以求出剛度比N和阻尼比ζ，從而指導進行下一步設計。由于表1中滿足條件的設計參數較多，選取前5組出來進行分析，可以求得前5組參數的共振頻率點，如表3所示。

表2 滿足指標要求的設計參數Tab.2 Design parameters for requirements

表3 前5組參數的共振頻率點Tab.3 Frequency of resonance peak

給出這5組數據的圖，即傳遞率曲線圖16是通過NSGA-II算法得到的Pareto前沿，橫軸為共振放大倍數，縱軸為高頻衰減率。注意衰減率單位一般用dB來表示，這里直接用的是小數，將其取對數乘以20就可以得到以dB表示的衰減率。可以從得到的Pareto前沿數據中挑選出共振放大倍數和高頻衰減率均滿足要求的參數。圖17是通過NSGA-II算法計算得到的Pareto集。橫軸為參數α，縱軸為參數β。圖16中Pareto前沿和圖18中Pareto集相對應。即給定的一組共振放大倍數和高頻衰減率對應一組參數α和參數β。篩選圖16中滿足條件的參數，對應的可以得到相應的α和β的值。圖18是這5組參數的傳遞率曲線。可以看到5組參數得到的傳遞率曲線，其共振放大倍數均小于3，頻率比為20處，衰減率均小于0.01也即-40 dB。不同設計參數時，高頻段的傳遞率也不同。

圖16 Pareto前沿Fig.16 Pareto front

圖17 Pareto集Fig.17 Pareto solution

圖18 傳遞率曲線Fig.18 Transmissibility curve

圖19是在共振頻率時，系統的時域響應，依然對應的是這5組參數。黑色實線對應的是輸入曲線。從圖中可以看到，第1組參數對應的時域響應穩態振幅具有最大值，這和圖18中的第1組參數的共振放大倍數相對應。第2組參數對應的時域響應穩態振幅具有最小值，這也和圖18中第2組參數的共振放大倍數相對應。以此類推，圖19中每組參數的時域響應穩態振幅均和圖18中共振放大倍數相對應。圖19是高頻處的時域響應圖，也對應了5組參數。可以看到初始時曲線震蕩較為明顯。圖21是高頻時域響應的放大圖，第1組參數對應的穩態振幅最小，這和圖18中的傳遞第1組參數具有最大的衰減率相對應，其他每組參數的時域穩態振幅均和圖18中的相對應。

圖19 共振峰處的響應Fig.19 Response at resonance peak

圖20 高頻處的響應Fig.20 Response in the high frequency domain

圖21 高頻處的響應(放大圖)Fig.21 Response in the high frequency domain (larger version)

(2)要求系統在單位階躍激勵作用下，調節時間為20以內。

根據指標要求可以確定

因此要在特征根里面篩選出滿足a<-0.2的根，由于要滿足主導極點的要求，可進行進一步的篩選，篩選出來滿足條件的參數。

圖22是峰值時間的估算值和解析值的比較。需要注意的是，這里的峰值時間指的是歸一化的時間。可以看到，兩者吻合良好，說明估算值是可信的。圖23時調節時間的比較，依然是歸一化的時間。當β較小時，兩者吻合非常好，而當β增大時，部分值誤差加大，但也在7%以內，并且調節時間滿足指標要求的控制在20以內。圖24是超調量的比較，當β取值較小時，兩者吻合良好，當β增大時，誤差增大，但控制在7%以內。

圖22 峰值時間對比Fig.22 Comparison of peak time

圖23 調節時間對比Fig.23 Comparison of settling time

圖24 超調量對比Fig.24 Comparison of overshoot

6 結 論

采用歸一化參數模型對三參數隔振系統的動力學特性進行了分析，建立了歸一化參數與物理參數剛度比以及阻尼比的對應關系，針對正弦激勵以及單位階躍激勵下三參數隔振系統，采用歸一化模型對其時域響應進行分析，給出了其時域響應的解析表達式，最后對三參數隔振系統進行了參數優化，主要結論如下：

(1) 歸一化的參數模型可以從時域和頻域兩個角度對三參數隔振系統進行分析，且形式簡單，易于分析。

(2) 采用多目標優化方法對正弦激勵下三參數隔振系統的進行參數優化，經參數優化后，可以同時保證共振峰以及高頻衰減率滿足指標要求。

(3) 利用估算方法對單位階躍激勵下的三參數隔振系統進行參數設計，相比于解析方法來說可以大幅減少運算量，并且誤差小于7%，仿真算例驗證了方法的可行性。