巧解東風云水意，踏星掬月近天涯
——基于數學對象的高中函數題解構研究

袁一丹

（浙江省桐廬中學，浙江 桐廬）

一、選題背景

（一）函數處在高中數學核心地位

函數知識貫穿高中數學，與數列、解析幾何等知識緊密聯系，是高中數學的核心內容，也是歷年浙江省高考的重難點（近三年純粹函數考題的統計見下表，不含其他知識背景考查函數題）。學好函數是學好高中數學的關鍵，同時是深入研究數學甚至是其他學科的基礎。

高考年份 題號 總分2015文 5（5分）、8（5分）、11（6分）、12（6分）、20（15分） 37分2015理 7（5分）、10（6分）、18（15分） 26分2016 文 3（5 分）、6（5 分）、7（5 分）、11（6 分）、12（6 分）、20（15 分） 42 分2016理 5（5分）、10（6分）、18（15分） 26分2017 5（4 分）、7（4 分）、17（4 分）、20（15 分） 27 分

（二）數學對象確立的適切性是數學解題的關鍵點

數學解題結構的過程一般可分四環節：定義概念→探究性質→建立聯系→實踐應用。詳細的，首先從數、形的角度提取信息并確立數學對象，然后探索數學對象的要素與要素、要素與環境等之間的關系和相互作用而探究出性質，再建立相關知識的數學聯系形成一個知識體系，最后應用所生成的新的知識體系來解決數學問題。這樣形成一個螺旋上升、層層深入并能達成深化認識、拓展新知的數學問題解構過程，而其中數學對象確立的適切性是數學問題解構的關鍵點。

【案例 1】（2008 年浙江理 15）

已知t為常數。函數y=|x2-2x-t|在區間［0，3］上的最大值為2，則 t= .

點析：此題難點是參數t的認識和處理。若通過分析解構出數學對象來開展解題的路徑，如確立數學對象為函數y=x2-2x，然后探究y=x2-2x的圖象與函數y=x2-2x-t的圖象及y=|x2-2x-t|的圖象的關系，再建立直觀的數學聯系，結合圖象解決問題。本題本質的解構方法在于能否把問題轉化為一個確定函數圖象的平移和翻折變換到某一特定位置。

（三）高中生之于數學解題的思維盲點

高中數學語言相比初中數學抽象程度突增，知識內容整體數量巨增，思維方法更具嚴謹性和推理性，對綜合分析能力較弱的學生易產生學困點，解題時更會出現思維盲點。如何從抽象的數學內容中提取出適切的數學對象？如何把抽象的數學對象轉化得直觀而易于探究？這是我們數學解題研究一個努力的方向。

【案例 2】（2015 浙江理 7）

存在函數f（x）對任意x∈R都有（）

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

點析：此題難點在于題設信息怎么提取轉化，選項信息與題設信息之間的聯系是什么？根據題設信息已知函數f（x）的定義域，根據選項信息可選擇用換元法求f（x）的解析式，這一步驟是可操作的。但是篩選出正確選項的依據是什么？關注到題設信息“函數”，可追問求出來的關系式是“函數的表示形式”嗎？這一抽象思維過程是難點。因此此題的思維盲點在于我們想要了解的數學對象是什么，如果能確立數學對象為函數的解析式，結合對函數定義的考量，此題即破。

基于上述三個方面的教學實際需求，本文擬通過研究高中函數模塊中解題的教學實踐，歸納總結出以確立適切的數學對象是數學問題解構的關鍵環節，并以案例的形式確立數學對象來解題。

二、實踐嘗試

（一）基于函數模塊的數學對象的分類

1.理論基礎

（1）數學的語言功能

數學是具有獨特的符號系統和嚴謹的表達方式的一門語言。數學解題可以看成是運用數學語言進行數學閱讀、表達和交流的過程，也是培養學習者學會思考、學會邏輯思考、創造性思考，從而達成認識問題、解決問題的微實踐。

（2）數學的核心素養

認識數學問題的觀點越高，數學問題越簡單、樸素、自然，越透徹。高觀點的核心要素就是需要具備良好的知識結構和廣泛的知識面，同時能夠用最樸素的思想去推動數學問題解決的整個思維過程。在函數模塊對運用函數的觀點和運動變化的觀點進行深度思考，抽象出適切的數學對象，以此數學對象為核心，通過數學運算與直觀想象及數據分析探尋數學對象與待求數學問題目標之間的數學聯系，進行精準的數學運算和邏輯推理，達成解決問題的目的。

普高數學新課程標準提出學生數學學習的六大核心素養：

在解決數學問題的過程中可以很好地鍛煉學生抽象、建模、數據分析、運算等核心素養，不僅解決了數學問題，還“繁殖”出數學素養的“蘑菇群”。通過多年數學解題策略的研究，本人認為函數模塊中可以從題設中提取出問題解決的核心點——數學對象，并以此數學對象為核心探尋與問題目標的本質聯系，以這樣一種最樸素的思想去思考，讓整個解題思維過程自然流暢。

2.分類設計

本文所指函數模塊數學解題中的數學對象特指：方程、函數、不等式三類。因為代數問題探究的基本上是等量關系和不等關系，其中等量關系中需要能分析出解決該問題時需要把等量關系看成方程還是函數展開探究，但有時候不考慮所含字母的身份，只是看成等式就可以解決問題。

【案例 3】（2016 浙江 12）

設函數f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）2，x∈R，則 a=___；b=___.思路——數學對象：等式x3+3x2-a3-3a2=（x-b）（x-a）2；a≠0；數學對象研究方向：等式的恒等變形；

處理方法：對等式左邊進行因式分解與右側對照，求出a，b的值。

左邊=x3+3x2-a3-3a2=（x-a）［x2+（a+3）x+a2+3a］

右邊=（x-a）［x2-（a+b）x+ab］

（二）基于數學對象的一題多解案例

有些數學問題很明顯能獲得這樣的信息：只需要把題設中的函數研究清楚就可以解決問題，研究的方向一般為函數的圖象和函數的性質兩方面，作出函數的圖象或者對函數的圖象進行適當變換達到問題目標，或者通過研究函數的性質獲取與問題目標關聯的信息，從而解決問題。但是函數的選擇是否適切關系到能否順利、快速、精準地解決問題。因此下面的案例從三種不同的數學對象選擇入手進行剖析，獲得一題多解的解題方向。

【案例 4】（2017 浙江 17）

此題主要考查學生的直觀想象、數學抽象、數學建模等核心素養，運用觀察、類比、化歸的策略來解決問題。其中抽象數學對象的思路有三種：函數、方程、不等式。

數學對象研究方向：f（x）的最大值為5；

思路 2.數學對象：函數 g（t）=|t-a|+a，t∈［4，5］；

數學對象研究方向：g（t）的最大值為5；

處理方法：注意到g（t）在t∈R上的圖象關于直線t=a對稱，且在（-∞，a］上單調遞減，在［a，+∞］上單調遞增，立得

數學對象研究方向：h（t）的圖象變換；

處理方法：把 h（t）的圖象向下（a＞0）或向上（a＞0）平移 |a|個單位，然后對x軸下方的圖象關于x軸對稱翻折，之后再把所得圖象向上（a＞0）或向下（a＞0）平移 |a|個單位，使得最高點為縱坐標為5。

數學對象研究方向：確保不等式恒成立且等號能成立；

本文以此案例的解析立足于數學對象的確立，通過對比分析，藉希望讀者可以斟酌出對自己最適切的數學對象，以達到“他山之石可以攻玉”的研究價值。

（三）基于數學對象的一題多變案例

平時在數學解題教學中，教師和學生的關注度更多在解題技巧方面，除非對這種技巧運用得非常純熟，否則應試時易找不準方向。如果在平時教學中就時刻滲透著眼于數學對象的解題方向的探尋，那無論怎樣的問題拿到都能如偵探破案一樣追尋到解題線索。下例為本人某一節作業分析課時開展的基于數學對象與問題目標之間聯系的一題多變的解題教學片段：

【案例5】

已知函數f（x）=x2-（a+2）x+2-a集合A={x∈N|f（x）<0}中只有一個元素，求實數a的取值范圍。

思路1.數學對象：函數f（x）=x2-（a+2）x+2-a.

數學對象研究方向：x∈N，f（x）的符號；

處理方法：從變化中挖掘出定值，f（-1）=5（定值），f（0）=2-a，f（1）=1-2a，f（2）=2-3a，f（3）=5-4a，由此展開探究：

（1）若f（0）=2-a<0，則f（1）<0，f（2）<0，f（3）<0，此時集合A中元素不唯一，符合條件；

（2）若f（0）=2-a>0，

②若f（1）<0，由集合A中元素唯一性，則必須滿足f（2）≥0，解得

思路 2.數學對象：關于 x 的不等式 x2-（a+2）x+2-a<0，x∈N

數學對象研究方向：不等式只有一個自然數解。

處理方法：參變量分離，數形結合。

變式1.（結合一個符合條件的x，尋找約束條件）

已知函數f（x）=x2+（a+2）x-4-a集合A={x∈N|f（x）<0}中只有一個元素，求a的取值范圍。

思路數學對象：函數f（x）=x2+（a+2）x-4-a.

數學對象研究方向：x∈N，f（x）的符號；

處理方法：從變化中挖掘出定值，f（1）=-1（定值）<0，只需滿足f（0）≥0且f（2）≥0即可。

變式2.（利用函數過定點，尋找約束條件）

已知函數f（x）=x2+（a+2）x-3-a.集合A={x∈N|f（x）<0}中只有一個元素，求a的取值范圍。

思路數學對象：函數f（x）=x2-（a+2）x-3-a.

數學對象研究方向：x∈N，f（x）的符號；

處理方法：從變化中挖掘出定值，f（1）=0（定值），又知x=1、-a-3為函數兩個零點，只需滿足條件-1≤-a-3<0或2<-a-3≤3即可。

變式3.（利用函數對稱軸的確定性，尋找約束條件）

已知函數f（x）=x2-6x-a2-2a+8.集合A={x∈N|f（x）<0}中只有一個元素，求a的取值范圍。

思路數學對象：函數f（x）=x2-6x-a2-2a+8.

數學對象研究方向：x∈N，f（x）的符號；

處理方法：從變化中挖掘出定性，f（x）的對稱軸為x=3，又知x=2-a，4+a為函數兩個零點，只需滿足條件2≤2-a<3或3<4+a≤4即可。

本案例擬從數學對象選擇入手，展開一題多解的處理方法；然后再改變數學對象的特質，展開一題多變下不斷調整策略溝通數學對象與問題解決目標之間的聯系，從而達成優化解決一類問題的解題方法。

三、后記

本文提出的以確立適切的數學對象入手開展解題，在本人多年教學中一直滲透著、實踐著，所帶的畢業班都能在高考中于同類班級中取得平均分第一，并能出現高分。現粗淺地總結出來分享給大家。希望能對教師的教學有所啟發，提高教學效益，并能幫助學生提高解題能力，增強解題信心，以收到事半功倍的效果。