函數零點存在性與參數取值范圍探析

馮永杰

（甘肅省隴南市兩當縣第一中學，甘肅 隴南）

函數的零點本質上是函數圖像與橫軸交點的坐標，但在應用中，橫坐標的這種“跨界性”更具有意義，因此函數的零點就簡化為用橫坐標的值來表示了。關于函數的零點，常見的問題有：（1）連續函數零點存在性的確立；（2）連續函數零點個數的判斷；（3）用二分法求函數零點的近似值。近幾年高考中，（1）（2）類問題比較常見，其中又涉及參數范圍的求解，是近幾年高考的熱點。由于函數零點與方程根的關系，問題的解決途徑可以轉化為方程來解決。下面通過近兩年的高考試題中函數零點相關問題的創新解析，展現數學中的劃歸思想、數形結合思想，感受數學思想方法的魅力.

一、（2017全國3理11）已知函數f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零點，則a=（ ）

【解析】由條件得：f（2-x）=（2-x）2-2（2-x）+a（e2-x-1+e-（2-x）+1）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）=f（x）

即x=1為f（x）的對稱軸，由題意得，f（x）有唯一零點，

∴f（x）的零點只能為x=1，由f（1）=12-2·1+a（e1-1+e-1+1）=0

點評：本題考查了函數零點的概念以及利用函數的對稱性確立零點的方法。

二、（2017全國1理21）已知函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．

【解析】（1）由于f（x）=ae2x+（a-2）ex-x

f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-1）（2ex+1）

①當時a≤0，aex-1<0，2ex+1>0．從而f′（x）<0恒成立．則f（x）在 R 上單調遞減；②當時 a>0，令 f′（x）=0，從而 aex-1=0，得x=-lna．x∈（-∞，-lna）時，f′（x）<0，x∈（-lna，+∞）時，f′（x）>0.綜上可知，當a≤0時，f（x）在R上單調遞減；當a>0時，f（x）在（-∞，-lna）上單調遞減，在（-lna，+∞）上單調遞增.

（2）由（1）知，

當a≤0時，f（x）在R上單調遞減，故f（x）在R上至多一個零點，不滿足條件．

點評：本題考查用分類討論思想確定函數的單調區間，根據函數零點的個數求參數的取值范圍時，靈活運用放縮法、數形結合解決問題.

三、（2018全國2理21）已知函數f（x）=ex-ax2．

（1）若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個零點，求a．

【解析】（1）當a=1時，f（x）=ex-x2，則f′（x）=ex-2x

令g（x）=ex-2x，得g′（x）=ex-2由g′（x）=0得x=ln2，易知g（x）在（0，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）單調遞增，g（x）在［0，+∞）內有最小值g（ln2），g（ln2）=2-2ln2=2（1-ln2）>0，從而f′（x）≥g（ln2）>0恒成立，故f（x）在［0，+∞）上遞增∴f（x）≥f（0）=1.

點評：本題（2）考查利用劃歸思想、數形結合的思想，根據函數零點的個數求參數的值.

通過以上分析可看出，零點及其相關問題的考查是近幾年高考的熱點，在掌握零點判定定理的條件下，合理選擇數學方法，能有效地解決函數零點問題中的參數范圍問題.