圓錐曲線的定點(diǎn)定值問(wèn)題

張 杰

（大連中山高級(jí)中學(xué)，遼寧 大連）

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)選修重要組成部分，也是歷年高考的重點(diǎn)。高考數(shù)學(xué)所涉及的圓錐曲線主要是橢圓、雙曲線、拋物線以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般結(jié)合向量、函數(shù)、不等式等知識(shí)點(diǎn)綜合命題，這部分知識(shí)綜合性強(qiáng)、計(jì)算量大，不易得分。接下來(lái)我想就近幾年的高考淺談下圓錐曲線的定點(diǎn)定值問(wèn)題。

求定點(diǎn)定值問(wèn)題的常用方法：

1.直接推理計(jì)算消去變量，從而得到題意要求的定點(diǎn)或者定值。

2.一般可以先設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知條件設(shè)參數(shù)，得到直線系或曲線系方程，再證明該方程與參數(shù)無(wú)關(guān)，得到一個(gè)有關(guān)定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，而方程組的解就是所求的定點(diǎn)。

3.從直線的特殊位置找出直線過(guò)的特殊點(diǎn)，證明該點(diǎn)就是所求的定點(diǎn)，即特殊位置法。

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知P在橢圓C上且是第三象限的點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，而直線PB與x軸交于N點(diǎn).求證：S△ABNM是定值.

（2）設(shè)P（m，n）（m＜0，n＜0），則直線PB的方程為y-N點(diǎn)坐標(biāo)為，直線PA的方程為y=M點(diǎn)坐標(biāo)為則

∴S△ABNM是定值.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，且，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

答案詳解：（1）依題意直線AF與圓M相切，所以.故橢圓C的方程為

（2）由題意設(shè)直線AP的方程為y=kx+1，直線AQ的方程為將直線y=kx+1代入整理得（1+3k2）x2+6kx=0，解得x=0 或，所以P的坐標(biāo)為，同理點(diǎn)，直線l的斜率，直線l的方程為直線l過(guò)定點(diǎn)

圓錐曲線作為高考必不可少的一道解答題，而定點(diǎn)定值又是這一題的壓軸小問(wèn)，希望每個(gè)備考的學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中重視定點(diǎn)定值問(wèn)題的練習(xí)，爭(zhēng)取拿下這個(gè)難點(diǎn)。