原子核結合能的協方差分析

王夢茹，郭文軍，郗梓涵，張霄吉

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

原子核質量的精確計算與測量對于核物理以及核天體物理等許多領域的研究具有很高的應用價值，例如，快中子俘獲過程（r-過程）中原子核質量起著重要作用[1]。通?？紤]原子核核力的飽和性、同位旋對稱性等基本性質的核質量模型包括有限力程的小液滴模型（FRDM）[2]、Duflo-Zuke模型[3]、 Hartree-Fock-Bogoliubov（ HFB） 模 型[4]和Weizs?cker-Skyrme（WS）質量公式[5-7]等，這些模型參數通常由約2 000多個原子核質量的實驗數據[8]來確定，由它所預言的原子核質量，精度可以達到0.3～0.6 MeV[7]?；谀硞€未知原子核的鄰近幾個已測量核的質量，結合一些幾何關系來預言原子核質量的模型有同量異位多重態質量方程（MME）[9]、Garvey-Kelson關系[10]、質子-中子殘余相互作用[11]等。

高精度的核質量數據在核結構以及核天體的研究中具有重要的應用。隨著科學技術的發展，人們建立了一批批新的放射性束流線和高精度質量譜儀，原子核質量測量成為一個越來越熱門的研究領域。Jiang等[12]在計算相鄰的原子核的質量時提出了一種新方法，末尾的1個質子和2個中子之間的質子-中子相互作用為V1p-2n,末尾的2個質子和1個中子之間的相互作用為V2p-1n,對于核子數A≥60的核子，通過實驗提取相鄰的原子核的結合能。使用一個簡單的函數來描述V1p-2n和V2p-1n,并能計算出相鄰原子核的質量，且提高了計算的精度。Hove等[13]提出了一種新的預測核質量的方法，能用已知的核結合能推出其相鄰的核結合能，他們選擇4個特定的質量關系構建用來消除核結合能光滑誤差的核子數函數，并且通過比較核子相同的奇偶性來消除其快速的奇-偶變化。磁鋼度-飛行時間、離子阱、等時性模式質量譜儀、肖特基質量譜儀等方法可以直接測量原子核的質量。偏離β穩定線的奇異核質量的實驗數據要比長壽命的穩定核的實驗數據少很多[8]。精細核譜學研究小組自2007年以來，利用放射性束流線（RIBLL2）產生的放射性束和冷卻儲存環（CSRe）等時性模式對67Se等短壽命奇異核的質量進行了直接測量[14-18]。Tu等[19]利用蘭州重離子加速器冷卻儲存環（HIRFL-CSR）裝置，首次對100 ms量級的短壽命近質子滴線核素63Ge,65As和67Se的質量進行了測量。在等時性模式下，質量精度達到百萬分之一。該項研究得到的65As核素的高精度實驗數據解決了核天體物理中的一個重要問題，即對于第一類X射線暴，64Ge不是快質子俘獲過程中的一個重要的“等待點”核,消除了X射線暴的一個不確定性。Zhang等[20]精確測量了近質子滴線短壽命核素41Ti，45Cr，49Fe和53Ni的質量，實驗精度達到0.02～0.04 MeV。此項研究利用新得到的高精度原子核質量數據，首次在fp殼層對同位旋多重態質量公式（IMME）進行了嚴格的檢驗，發現對于質量數A=53，同位旋多重態T=3/2，IMME公式失效。這一現象是現有的核理論無法解釋的。該研究發現IMME公式失效，意味著人們對原子核同位旋對稱性及其破缺的認識是不完備的。Yan等[21]測量了一系列短壽命T=-3/2核素，包括45Cr，實驗精度達到千萬分之一。基于取得的實驗數據，特別是精確測定的45Cr的質量，確定了X射線暴模型計算在低質量區rp過程核反應路徑的走向，否定了理論預言的Ca-Sc循環的存在。

核物質狀態方程是核物理研究的熱點之一[22-23]。在原子核質量的液滴模型中，對稱能項與核物質狀態方程緊密相關。而對稱核物質狀態方程人們己經有了比較清楚的了解，但是，對于非對稱的核物質狀態方程還不確定，尤其是同位旋相關的部分，即核物質的對稱能，人們頗有爭議。非對稱核物質狀態方程的確定能極大地提高原子核質量理論上的計算精度。對稱能在重離子反應、核結構、天體核物理等研究中具有重要的影響[24-29]。目前，在一定區域，關于對稱能范圍的結論產生重疊，達到了初步的共識[30]。但是，不同的模型方法對對稱能的約束結果仍然有很大的不確定性。因此，通過實驗與模型計算相比較來獲取更精確的對稱能是當前研究的熱點。

Fattoyev利用協方差方法研究了中子皮和中子星[31]，首次給出了理論計算中的參數的誤差以及參數和參數之間的關聯。本文利用Fattoyev給出的協方差方法，通過對比系數間的關聯性、系數和結合能誤差的關聯系數，合并或優化系數的個數的研究，為得到更為精確的原子核質量提供理論依據。

1 理論模型

自1935年Weizs?cker根據液滴模型給出了半經驗的核質量公式，在之后的幾十年里，人們對此公式進行了反復的修改，最終得出了較為完整的原子核結合能 EB半經驗公式（Weizs?cker公式）：

式中：av，as，ac，asym，ap分別為體積能項系數、表面能項系數、庫侖能項系數、對稱能項系數、對能項系數；A，Z，N分別為原子核的質量數、質子數和中子數；EBP為對能項對于偶偶核、奇A核和奇奇核分別取值

式（1）表示的原子核結合能EB由5項組成，依次為體積能項、表面能項、庫侖能項、對稱能項、對能項。

圖1是文獻[8]中給出的2 854個原子核的結合能分布，由圖可以看出，原子核的結合能在鐵元素附近達到最大，而遠離β穩定線核素的結合能迅速下降，整個核素圖中的結合能分布呈現環狀分布。現將對Weizs?cker公式中的5項系數進行調整，使其能夠滿足該文獻中的實驗結果。如表1所示。

圖1 原子核結合能的分布Fig.1 Distribution of the nuclear binding energy

2 結果與討論

通過最小二乘法計算了文獻[8]中的2 854個原子核的結合能，并給出了對應的5個參數。因為，比原有公式考慮了更多的核素，所以，表面能、庫侖能、對能的系數改變很多，說明遠離穩定線核素的結合能同這3項關系緊密。

表1 Weizs?cker公式原始數據以及本文得出數據Tab.1 Original data of Weizs?cker formula and the data obtained in this article

使用新的參數計算了質子數在8～110之間總計2 854個核素的比結合能百分比誤差和絕對誤差，并且畫出圖2和圖3。

圖2 原子核比結合能的百分比誤差分布Fig.2 Percentage error distribution of the nuclear ratio binding energy

圖3 原子核比結合能的絕對誤差分布Fig.3 Absolute error distribution of the nuclear ratio binding energy

圖2 中灰色的部分表示誤差在1%以內，可以看出，在穩定線附近的核素的比結合能誤差都較小，而在豐中子區和缺中子區比結合能的誤差達到3%左右。圖3中灰色部分比結合能的誤差在0.1 MeV以內，同樣可以看出，穩定線附近核素的誤差較小。以上說明遠離穩定線的核素可能會有不同的結構，本文將采用協方差的方法找出什么因素導致遠離穩定線核素的比結合能誤差較大。

為了得出各個系數之間的關系，采用了Fattoyev給出的協方差方法，對系數間的關聯系數進行了研究。在原子核中起主導作用的是核力，而核力又有短程性、飽和性、強相互作用等的特點，至今人們無法得到核力的所有性質，增加了原子核結合能的不確定性。傳統的描述核特征的模型有小液滴模型和費米氣體模型等，Weizs?cker公式是小液滴模型的主要推論，其中體積項占主導作用。從表2給出的各系數間的關聯系數中可以看出，體積能項系數與其他4個系數的關聯程度較小，說明液滴模型是可以較準確地描述原子核核力的飽和性質的，而核力的飽和性質主要同原子核的體積相關。表面能項與庫侖能項關聯系數較大，且為負關聯，說明兩者關系密切，如果原子核為橢球型，則其表面積增大，庫侖能減少，呈現負關聯。表面能項與對稱能項也關聯緊密，這同樣是因為遠離穩定線原子核中中子質子分布的不均勻，會出現中子皮或質子皮現象，造成原子核的實際半徑增大。所以，隨著原子核遠離穩定線，原子核的表面積越來越大，兩者呈現正關聯。最后，庫侖能項也和對稱能項緊密相關，庫侖相互作用就是重要的同位旋效應，系統的中子質子分布越不均勻，系統的對稱能就越大，同時會有很明顯的中子皮、質子皮出現，從而造成庫侖能計算中的半徑與對稱能負相關，最終造成兩者出現明顯的負相關。綜上所述，在結合能表達式中，體積能項相對獨立，而庫侖能項、表面能項、對稱能項緊密相關，當原子核存在四極形變或中子（質子）皮時，三者會出現明顯的關聯。

表2 各個系數之間的相關系數Tab.2 Correlation coefficient between various coefficients

表3給出5個系數的誤差，從中可以看出，體積能項系數的相對誤差最小，僅為千分之一，說明體積能項的表達式較為準確，可以正確描述原子核結合能中的主要部分。而對稱能項系數的相對誤差較大，也就是說對稱能項不能夠完全描述體系中的對稱能部分，這主要是因為作者對對稱能了解的信息還較少。當前核物理中一個主流的研究方向就是研究對稱能，在不同核密度情況下，物理學家給出的對稱能的數值也千差萬別，作者需要更為準確的表達式來描述體系中的對稱能部分。表3中對能項系數的相對誤差最大,造成這樣的原因有待進一步討論。

表3 各個系數的相對誤差Tab.3 Relative error of each coefficient %

表4給出了5個系數與結合能的關聯系數?？梢钥闯觯w積能項系數與結合能誤差的關聯系數接近于0，同樣說明體積項的表達式較為準確，不需要進一步調整。而表面能項、庫侖能項、對稱能項對結合能的誤差貢獻很大，一方面說明這三項作者研究得不夠清楚或者是因為忽略掉了四極形變和皮結構等因素；另一方面為作者給出更為精確的結合能公式指明了道路。最后對能項對結合能的誤差貢獻很小，這可能是因為對能項奇偶相錯，其影響被平均掉了，也造成了對能項系數的誤差很大。

表4 5個系數與結合能的關聯系數Tab.4 Correlation coefficient between the five coefficients and the binding energy

3 結 論

采用Weizs?cker公式計算了2 854個核素的結合能，并與實驗值進行了比較，通過協方差的分析手段，研究了各系數的隱含信息，得出結論：

a. 對稱能項、庫侖能項、表面能項關聯程度很大，對結合能的誤差貢獻也最大。這是因為原子核存在四極形變和皮結構造成的。

b. 體積能項對結合能誤差的貢獻很小，其系數的誤差也很小，說明體積能項表達式較為準確，進一步研究中可以保持不變。

c. 對能項對結合能的誤差貢獻也很小，系數的誤差卻很大，其對結合能的影響可能被平均掉了，需要進一步的研究。

致謝：感謝F. J. Fattoyev，B. A. Li參與協方差分析方法的討論。