小波變換和菲涅耳變換的多彩色圖像加密

曾健清，王 君，陳 葉，劉 琦

(四川大學 電子信息學院，成都 610065)

引 言

隨著互聯網和多媒體的迅猛發展，信息安全領域面臨著越來越多的挑戰。光學信息安全技術由于其并行性、快速和高加密維度等特點，正在信息安全領域發揮著越來越重要的作用。在該領域眾多的加密系統中，REFREGIER與JAVIDI提出的雙隨機相位編碼系統[1]是最引人注目的，該加密技術采用4f系統來實現：把兩塊隨機相位掩模分別放入系統的輸入平面和傅里葉頻譜面，對原始圖像的空間信息和頻譜信息做隨機編碼，這樣可以將輸入的圖像編碼成復平穩的白噪聲[1-6]。該系統衍生出來的基于菲涅耳域的雙隨機相位編碼加密系統，該加密系統最大的特點是有兩個可變換參量，菲涅耳變換相比于其它變換具有更高的安全性，并且不需要光學透鏡，與此同時，兩塊相位板、衍射的距離和波長都可以成為密鑰，增加密鑰的容量，可控性強[7-8]。

目前，隨著互聯網技術的迅速發展，數字圖像信息量與有線網絡的傳輸能力相互制約，因此，圖像的壓縮與加密成為了實際應用的研究熱點。為了解決圖像加密后的傳輸效率，人們對加密系統的容量要求變得越來越高[9-12]。于是一些圖像加密與壓縮的光學加密算法相繼出現。比如，LIN等人提出了一種基于混沌的圖像壓縮加密算法[13]。XU等人提出了離散余弦變換與脫氧核糖核酸運算相結合的圖像壓縮加密算法[14]。雖然這些算法都可以對圖像進行壓縮與加密，且具有較好的加密效果，但是加密的安全性需要進一步提高。然而這些加密方法將多圖像壓縮成復合圖像時，易產生串擾，導致解密時，圖像失真較大，解密質量不佳等特點。

為了解決圖像加密后，數據量大且傳輸速率慢的問題，本文中先利用光學小波變換[15]對多幅彩色圖像進行壓縮然后利用菲涅耳變換來加密圖像信息。本文中的加密算法不僅具有傳輸速度快、占用空間小的優點，同時還能使圖像加密效果得到顯著提高，保證了圖像加密后安全性高。仿真結果表明，相比于其它圖像壓縮加密算法，該算法在面對統計分析、噪聲攻擊、以及裁剪攻擊等手段時，具有很好的魯棒性。

1 理論分析

本加密方法結合了離散小波變換和菲涅耳變換。為了闡述該加密方法，圖1是本方法的加密過程和解密過程的系統圖。圖中,DWT是離散小波變換(dis-crete wavelat transform),FT表示菲涅耳變換(Fresnel transform),IFT表示菲涅耳逆變換(inverse Fresnel transform)。

Fig.1 Schematic diagram of the proposed encryption schemea—encryption process b—decryption process

1.1 圖像壓縮

對于2維信號f(x,y)，若母小波函數為h*(x,y)，則f(x,y)的小波變換可描述為：

Wf(u1,u2,v1,v2)=DWT[f(x,y)]=

(1)

在頻率域表示為：

Wf(u1,u2,v1,v2)=DWT[F(η,ζ)]=

exp[j2π(v1η,v2ζ)]dηdζ

(2)

式中,(u1,u2)是伸縮因子，(v1,v2)是移位因子；F(η,ζ)是2維信號的頻譜，H*(u1η,u2ζ)是小波譜，exp[j2π(v1η,v2ζ)]是相位因子。

圖像壓縮方案如圖2所示。采用光學系統通過Dammann光柵上光學多通道系統的多參考匹配濾波器實現2維小波變換。將4副原彩色圖像Om(x,y)(m=1,2,3和4)先后通過空間光調制器輸入系統并與Dammann光柵相乘，經過透鏡后，能在透鏡1的后焦平面上實現被復制頻譜F(u,v)的2維陣列，然后經過第2個透鏡的傅里葉變換作用，在輸出面板上實現每個子小波的2維小波變換。由于每幅圖像必須由相應的子小波處理，因此需要在第1個透鏡的后焦平面上引入一個頻譜陣列的多參考匹配濾波器(常見的小波函數的傅里葉變換均為正實值，而多參考匹配濾波器能由計算全息產生，并加載在空間光調制器上)，該濾波器每個頻譜對應一個不同子小波的傅里葉變換，每個頻譜的位置與被復制的圖像進行相應的位置匹配。

Fig.2 Optical graph of 2-D wavelet transform

因為輸出面板是輸入面板的一副圖像，所有變換相互疊加起來，并行顯示小波分解，所以用不同的參考光來對不同的子小波進行編碼,從而在輸出面板上得到空分復用[16-17]。4個原始彩色圖像可分別由光學系統分解，其公式如下：

(3)

式中,O1，O2，O3，O4是4個原始彩色圖像,(x,y)表示圖像的像素坐標，km(m=1,2,3,4)是離散小波變換譜。最后在CCD上依次獲取通過光學小波變換的圖像并傳輸到計算機中。計算機通過使用低通濾波器來提取km的低頻部分從而濾掉高頻部分以獲得4個濾波圖像tmi(m=1,2,3,4;i表示R,G,B)。為了減少傳輸通道和加密數據量，4個濾波圖像的每個顏色分量在計算機中重新組合成三元組fi(x,y)(i=R,G和B)如圖1所示，表示為：

fi(x,y)=

{t1i(x,y),t2i(x,y),t3i(x,y),t4i(x,y)}

(4)

1.2 圖像加密系統

為了進一步提高明文的安全性，使用了一個菲涅耳衍射加密系統，如圖3所示。U代表要編碼的三元組圖像fi(x,y)(i=R,G和B)，M1和M2代表兩相位掩模，它們在[0,2π]中是隨機分布的，在統計上是獨立的。產生波長為λ的準直平面波來照射系統，三元組圖像fR(x,y),fG(x,y)和fB(x,y)依次經過菲涅耳衍射加密系統。經光學衍射加密系統編碼后，由CCD相機記錄衍射強度圖案。

Fig.3 Optical setup for the proposed optical security system

在圖3所示結構中,入射到隨機相位板M2的光波前可表示為：

?fi(x,y)M1(x,y)×

[exp[jπ(x-η)2+(y-ζ)2]/(λd1)]dxdy

(5)

fi(η,ζ)=FT[fi(x,y)M1(x,y);d1]

(6)

因此，輸出平面CCD所獲取的強度圖像可以表示為：

Ci(μ,ν)=|FT{FT[fi(x,y)M1(x,y);d1]×

(7)

式中,| |表示取模運算，(μ,ν)表示CCD平面的坐標,M2(η,ζ)是隨機矩陣，圖像Ci(i=R,G和B)是三元組圖像fi(x,y)(i=R,G和B)對應的子密文，d1和d2分別表示M1到M2以及M2到CCD平面的衍射距離。彩色圖像I(μ,ν)是組合圖像Ci(i=R,G和B)最終的密文。

1.3 圖像解密

解密是加密過程的逆過程，如圖1b所示。首先，在計算機中將密文I(μ,ν)中提取Ci(i=R,G,B)后,將Ci(i=R,G,B)傳播回菲涅耳衍射加密系統的輸入面，計算公式如下：

fi(η,ζ)=IFT[IFT[Ci(μ,ν),

-d2]M2(η,ζ)*,-d1]

(8)

式中,*表示共軛。重建的圖像fi(η,ζ)(i=R,G和B)是彩色密文的解密圖像的三元組。然后，原始彩色圖像Om(m=1,2,3,4)可以通過重構從fi(η,ζ)(i=R,G和B)的R，G和B分量來解密出原始圖像。

2 計算機仿真實驗以及評估

為了檢查作者所提出的方案的性能，使用MATLAB進行了幾個數值模擬。在本節中，從統計特性，密鑰空間和一些攻擊方面來分析加密方案的安全性，并分析評估解密圖像的質量。

2.1 加密方案的有效性分析

Fig.4 Image encryption

a～d—the original color images of peppers, trees, lake and fruits respectively e～g—the encryption ofR,G,Bh—the encrypted color-image

圖4a～圖4d中是4副彩色原始圖像，分別為“peppers”,“tree”,“lake”,“fruits”，其大小為256×256像素。計算機模擬中，光波波長λ=632.8nm，衍射距離為d1=d2=50mm。圖4e～圖4g分別為圖像fi(x,y)(i=R,G和B)對應的加密圖像，其像素大小為128×128。圖4h是將3幅R,G,B分量在計算機中合成為一副彩色密文I(μ,ν)，其大小為256×256像素。從密文I(μ,ν)可以看出，原多幅彩色圖像的信息加密成了單幅彩色密文，極大地減少了數據量。Cxy值通常被廣泛用作評估圖像質量的客觀測量，其值在0和1之間。它們的值越接近1，恢復圖像的質量越好。

(9)

式中,xl和yl是圖像中兩個相鄰像素的值，并且L是圖像像素點的總數。圖5a～圖5d所示是對應的解密圖像，其大小為128×128像素，相對于應的Cxy值分別為0.9913,0.9936,0.9970和0.9950。從表1可以看出,與參考文獻[18]中的解密圖像質量對比，本文中提出的加密算法提高了解密圖像的質量。

Table 1 Cxy values of the decrypted images

Fig.5 The decryption of images

2.2 統計分析

通過計算圖像加密前后的灰度直方圖和加密圖像與原始圖像之間的相關性，可以分析加密算法抵抗統計攻擊的能力。

圖6a～圖6d上面的小圖分別是原圖“peppers”，“trees”，“lake”和“fruits”的灰度直方圖,圖6e上面的小圖是當4個圖像被加密成一副密文的直方圖。顯然，加密圖像的直方圖與原始圖像的直方圖顯著不同。同時也說明加密前后圖像的統計信息是完全不同的，即原始圖像信息不能通過統計法從加密圖像中獲得。

圖6a～圖6d下面的小圖分別是原圖“peppers”，“trees”，“lake”和“fruits”的相關性圖，圖6e下面的小圖表示加密后的彩色密文圖像的自相關性圖。可以發現，原始圖像的相鄰像素高度相關，而加密圖像的相鄰像素之間的相關性非常小。這兩個測試表明，未經授權的用戶不可能通過統計分析方法獲得原始圖像的有效信息。因此，該方案能有效抵抗統計分析的攻擊。

Fig.6 Gray-level histograms and auto-correlation pictures before and after encryptiona—peppers b—trees c—lake d—fruits e—the color encrypted image

2.3 安全分析

一些攻擊，如已知明文攻擊，選擇明文攻擊和選擇密文攻擊，常被用來評估加密系統的安全性。本文中提出的用小波變換和菲涅耳變換相結合的方案在抵抗噪聲和遮擋攻擊方面起著重要的作用。

在菲涅耳衍射系統中，波長λ和衍射距離d1和d2被認為是解密的密鑰。為了評估這些密鑰的性能，本文中給出解密的彩色圖像相對于波長λ和衍射距離d(d1，d2)的偏差Δλ(20nm)和Δd(20mm)的均方差曲線E，如圖7a～圖7h所示。圖8b～圖8i分別是從圖8a中相應的具有不正確波長(λ+Δλ)和衍射距離(d1+Δd)的解密圖像。從圖7中可以看出E值在正確的密鑰周圍急劇變化，從解密的圖中看不到原始彩色圖像的任何信息，這意味著本文中提出的加密系統有著高度安全性。公式如下：

(10)

式中,Y(x,y)和X(x,y)表示位置(x,y)處的恢復圖像和原始圖像的像素值，M和N分別表示圖像的高度和寬度。

Fig.7 E curves of the decrypted color imagesa～d—for λ+Δλ(Δλ=20nm) e～h—for d1+Δd(Δd=20mm)

Fig.8 Results of incorrect phase mask key

a—the encrypted color cipher textI(μ,ν) be—withλ+Δλ(Δλ=20nm) fi—withd1+Δd(Δd=20mm)

2.3.1 抗噪性能分析 在圖像存儲和傳輸中，密文圖像不可避免地受到噪聲污染以及數據的丟失。因此，需要通過考慮加密圖像中的椒鹽噪聲來測試所提出的抗噪聲攻擊的能力。按照參量k調整不同強度的椒鹽噪聲，如下所示：

I′=I(1+kG)

(11)

Table 2 Cxy values of the decrypted images after noise

Fig.9 The restored images after adding the salt-and-pepper noisea～d—k=0.8 e～h—k=1

式中,I′表示受噪聲影響的加密圖像，k是表示噪聲強度的系數，G是椒鹽噪聲。恢復的圖像如圖9a～圖9h所示。Cxy值如表2所示。從解密圖像中幾乎可以完全看到原始彩色圖像的信息。可以得出結論，本文中的方法有很好的抗噪聲攻擊的能力。

2.3.2 抗裁剪性能分析 本加密方案的魯棒性是通過遮擋攻擊來分析的。圖10a和圖10f分別是加密數據被遮擋25%和50%的圖，其解密圖像分別如圖10b～圖10j。表3為解密圖像的Cxy值。可以看出，本文中提出的加密系統對于遮擋攻擊具有一定的魯棒性。

Table 3 Cxy values of the corresponding decrypted images after occlusion

Fig.10 Robustness against occlusion attack

a—50% occlusion of the encrypted data b～e—the corresponding recovered images from Fig.10a f—25% occlusion of the encrypted data g～j—the corresponding recovered images from Fig.10f

3 結 論

設計了一種基于小波變換和菲涅耳變換的多彩色圖像加密算法，能有效的解決多彩色圖像加密后數據量大，傳輸速度慢的問題。本文中提出的方法不僅可以增加加密圖像的容量，而且可以減少加密通道，大大降低加密系統的復雜度。該算法具有靈活性高、密鑰敏感性強，且能有效抵抗分析攻擊和統計分析等特點。