測金屬線膨脹系數的2種方法

劉肖一,王文彥,平 澄,b

(北京師范大學 a.物理學系;b.物理實驗教學中心，北京 100875)

線膨脹系數是金屬的重要物理性質,金屬由于受熱造成的長度改變量與原長度的比值在10-4～10-5量級，為了測量線膨脹系數需要測量微小位移. 常見的金屬線膨脹系數的測量方法主要有光杠桿法[1]、交流電橋法[2]和千分表直接讀數法[3]. 光杠桿法在操作上較為復雜，千分表直接讀數法的誤差較大. 光學方法-邁克耳孫干涉法[4]，其特點是精度極高，常被用于測量微小位移；電學方法-RLC諧振電路法，其特點是通過測量電路的諧振頻率，間接得到電路中平板電容極板間距的微小變化. 基于上述想法，分別搭建相關的實驗裝置，實現對線膨脹系數的測量.

1 光學方法測量金屬線膨脹系數

1.1 實驗原理

邁克耳孫干涉儀的光路圖如圖1所示. 當平面鏡M2關于分束鏡BS成的像M2′與平面鏡M1平行時，在光屏上可以觀察到內疏外密的同心圓干涉條紋.每當M2′與M1距離改變λ/2(λ為所用激光波長)時可以看到1個條紋的陷入或涌出.

將平面鏡M1與金屬棒相連，金屬棒受熱膨脹會引起平面鏡的平行移動，從而改變兩鏡之間的距離. 記錄下初始時溫度t0，條紋改變數為n時的溫度t，則平面鏡之間距離改變量為

(1)

即金屬棒在溫度升高Δt=t-t0時的長度改變量. 根據線膨脹系數E的定義有

Δl=lEΔt,

(2)

得出

(3)

其中l為金屬棒的原長.以nλ/2為縱坐標，lΔt為橫坐標作圖，擬合直線的斜率即為線膨脹系數E.

圖1 邁克耳孫干涉儀光路圖

實驗用半導體激光器波長λ=650 nm，包裹在加熱膜中的金屬棒26.0 ℃時長l=12.00 cm，在光學平臺上搭好邁克耳孫干涉儀，如圖1所示，調出等傾干涉條紋，記錄此時溫度T0后，對金屬棒進行加熱，每有10個條紋變化時記錄1次相應的溫度t,記錄多組數據.

1.2 數據分析與結論

實驗測定的物理量及相關計算如表1所示. 對表1中nλ/2-lΔt進行擬合，得到金屬桿的膨脹系數為E=2.86×10-5℃.

表1 干涉法溫度變化對應的條紋數目變化結果

2 電學方法測量金屬線膨脹系數

利用RLC諧振電路對金屬棒膨脹系數進行測量，裝置如圖2所示，電路中的電容用2塊平行鋁板制成，電容極板A固定，另一極板B與待測金屬棒相連，金屬棒受熱膨脹后將改變電容極板的間距，使得電路中的電容值發生變化，導致電路的諧振頻率發生改變，在示波器上用XY模式對電路中電阻上電壓和電流的相位差進行監測，當電路發生諧振時，相位差為0.

圖2 諧振電路及裝置圖

諧振法可以用2種不同的操作方法間接地得到金屬棒的伸長，并計算出金屬的線膨脹系數.

實驗電路的相關參量：平板電容器尺寸為260 mm×160 mm;金屬棒與干涉法用的是同一根,l=12.00 cm，高頻電感線圈L=0.13 mH，電阻R=100 Ω.

2.1 方法一:諧振頻率補償法

2.1.1 實驗原理

如圖2所示，將平板電容與高頻電感線圈和電阻串聯置于正弦交流電路中，發生諧振時的交流電的頻率滿足

(4)

其中,L為電感器的電感值，C為電容器的電容值.

調整平行板電容器的極板的初始間距為d0，金屬棒受熱膨脹時，兩極板距離減小，滿足

d′=d0-Δl,

(5)

由平行板電容器公式

(6)

d減小時電容增大，由式(4)可知，諧振頻率減小. 由以上各式可推出

(7)

從而有

(8)

由式(4)，(5)，(8)式得

(9)

由式(9)可以計算出一系列的Δl，以Δl為縱軸，lΔt為橫軸，做線性擬合. 由式(2)可知，直線的斜率即為線膨脹系數E.

2.1.2 實驗過程

如圖3所示，將平行板電容器的初始距離調整為d0=1.5 mm，加熱膜接直流電源對金屬棒進行加熱，調節信號發生器所輸出的正弦波的頻率，使電路在不同溫度下分別達到諧振狀態，記錄多組溫度及其所對應的諧振頻率的值。

圖3 裝置連接實物圖

2.1.3 數據測量與分析

實驗測定的各物理量相關計算如表2所示，對Δl-lΔt進行線性擬合，金屬桿的膨脹系數為E=2.85×10-5℃-1.

表2 諧振頻率補償法溫度變化時各物理量的測量結果

注：d0=1.50×10-3m

2.2 方法二：電容極板間距補償法

2.2.1 實驗原理

使諧振頻率不變，改變平板電容器極板間的距離，使得金屬棒在不同溫度下，電路始終處于諧振狀態，測量每次改變的電容極板距離l，該距離就是金屬棒受熱膨脹后的伸長量。

2.2.2 實驗過程

調整平板電容器極板平行，調整極板間距使電路諧振頻率在800 kHz左右，加熱膜接直流電源對金屬棒進行加熱，轉動螺旋測微頭，通過移動平臺移動極板B，使電路的諧振頻率在不同溫度下保持不變，通過螺旋測微頭讀出不同溫度t對應極板B移動的距離，直接利用式(2)線性擬合，斜率即為金屬棒的膨脹系數。

2.2.3 數據測量與分析

實驗測定的各物理量及相關計算， 如表3所示，對Δl-lΔt進行線性擬合，得到金屬桿的膨脹系數為E=2.83×10-5℃-1.

表3 電容極板間距補償法溫度變化時各物理量的測量結果

3 光學方法與電學方法的對比

3種方法測出的線膨脹系數之差在10-7℃-1量級，測量結果非常接近.

光學法的優點是精度高，可以分辨可見光波長量級的長度改變. 但是如果待測金屬棒密度不均勻，加熱后會導致圖1中M1與M2′的平行度發生微小改變，使得看到的干涉條紋中心向視場外移動，最終會導致無法對條紋計數。

電學法的精度相比光學法較低，主要是因為裝置的螺旋測微頭只可以分辨10-5m的長度改變. 但其優勢是實驗裝置穩定，室內溫度、濕度、外界輕微干擾等因素對實驗影響都可以忽略[5]. 另外，電容器自身的溫度升高會使得品質因數下降，從而導致測得諧振頻率的輕微下降[6]，從而引入一定誤差.

4 結束語

材料的線膨脹系數是材料的熱學物理性質之一，是表征材料性質的重要特征量，正確掌握固體線膨脹系數的規律性，對于基礎科學研究、技術創新、工程技術的設計與應用等都具有重要意義. 本文對用光學和電學方法測金屬線脹系數的實驗進行了詳細敘述，可為在校大學生提供利用光的干涉或諧振電路解決實際問題的方法，加深對相關物理知識的理解，這些方法在工程實踐中也有很有意義[7].

致謝：實驗過程中獲得北京師范大學物理實驗教學中心王引書老師和白在橋老師的幫助，實驗所用高頻電感由北京師范大學2015級莫裕宇、刀流云同學手工繞制,在此表示感謝.