雪泥鴻爪：時間里埋藏不了的經典題

孫毅堅

時間可以磨滅棱角，可以滴穿磐石，可以讓當年執筆冥思的少年成為一位父親，但智慧的光芒凝匯在歲月中，卻能一代代留存下來，直至今日依舊讓我們領略到數學所綻放之美。

這個暑假我遇見了不少有趣的經典老題，在這里分享兩道.首先，來看這道1 975年南斯拉夫的數學競賽題.

例1 在圓周上按任意順序寫上4個1與5個0，然后進行下面的運算：在相鄰的相同數字之間寫上0，而在不同的相鄰數字之間寫上1，并擦掉原來的數字，接著進行同樣的運算，如此繼續，證明：不管這種運算進行多少次，都不可能得到9個0.

思路分析 根據題目“任意”的條件，無法確定起始排列，所以很明顯，本題應從反面人手，通過反證解答.同時也敏銳地捕捉到“4+5=9”提供的一個奇數應也有相應的作用，假設經過若干次運算最終得到9個0，那么上一步應是什么數字？再上一步呢？以此類推會不會產生不符合題干的局面？至此，本題已有眉目，

解答過程 假設進行了數次運算，第一次得到9個0，由條件知在相鄰的相同數字之間寫上0及第一次可推出上一步應為9個1，那么更上一步應為環狀排列的0，1相間，但9為奇數，不可能使0與1數量相等，矛盾產生，可知假設不成立，則結論得證.

反思感悟 其實就難度而言本題并不大，但它富有靈性的思路讓人會心一笑；除了計算，數學更多的是強大的理解和輕盈的思維.靈活與嚴謹，是數學的戟與盾，踏上戰場哪一邊都不能少.

那么，接下來加大難度，來看這道1986年中國數學奧林匹競賽題.

例2能否把1，1，2，2，3，3，…，1986， 1986這些數排成一行，使得兩個1之間夾著一個數，兩個2之間夾著2個數，…，兩個1986之間夾著1986個數？請證明你的結論，

思路分析 一眼看去，本題仿佛是道非常龐大的題目，稍微將前幾個列舉一下，并不能得到什么規律，因此思路又回到了結論上.同樣，本題的答案應為否，通過反證得出結果，大量的數必然需要排序尋找規律，分兩頭運用結果的矛盾性進行否定，整理運算找出潛在性質，本題可以開始解答，

解答過程 假設能排列成，將各數分別編號，由1至3972.

設兩個“1”分別占了第a1及第a1+2號，兩個“2”分別占了第a2和a2+3號……兩個“k”（k∈{1，2，3，…，1986}）分別占了第ak和第ak+k +1號，

則各數所占的號碼的和為：

（al +a1 +2）+（a2 +a2 +3）+…+（a1986+a1986+1987）

=2（a1+a2+…+a1986）+2+3+…+1987

=2（a1+a2+…+a1986）+1989×993，

或1+2+3+…+3 972

=3973×1986.

因為2（a1 +a2+…+a1986）+1989 X993為奇數，3 973×1 986卻為偶數，

故矛盾，所以不存在題目所細述的排列.

所以原命題為否，

反思感悟 這道題十分地經典，引申出后來許多競賽題，更是有一套自己的一般性結論，回顧解題過程，本題主要在于如何下手，正所謂“這條數學題已經超出了我的語文理解水平”，一旦確定后續問題便勢如破竹迎刃而解了.再看思路，可以發現在假設反證、奇偶性分析等方面，本題與例1都有許多異曲同工之處.反證法在數學中經常運用.一般來講，反證法常用來證明正面證明有困難，情況多或復雜，而逆否命題則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分干脆.反證法的證題可以簡要地概括為“否定一得出矛盾一否定”，即從否定結論開始，得出矛盾，達到新的否定.

1986年，這是個遠又不遠的年份，巧合的是，當年的父親正和如今的我是同樣年紀.三十多年流去，教材更新，許多瑣碎的紙頁章節泛了黃、卷起角，可這短短幾行的數學題，卻越過時光的溪川，一路捧到我的面前，依舊閃爍著它亙古不變的靈性之美，宛若驚鴻一瞥.