“另眼”待題

常文武

我的侄女在加拿大念高中，最近告訴我她在參加一個(gè)數(shù)學(xué)競賽，六道題目中最難的就是這樣一道：問1～9這9個(gè)數(shù)字構(gòu)成的多位數(shù)（2位以上）中，從左念到右，數(shù)字遞增的多位數(shù)有多少個(gè)？

對這道題，命題者提供的解法很新穎，只要考慮集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9）的所有非空子集的個(gè)數(shù)即可.因?yàn)槿魏卧摷系姆强兆蛹械脑乇乜砂瓷蚺判颍@樣就可以排出一個(gè)多位數(shù)，其數(shù)字是遞增的.注意到這樣的數(shù)在取定子集后是唯一的，扣除空集和{1}，{2），{3），{4}，{5），{6}，{7}，{8），{9}這九個(gè)單點(diǎn)集本身，答案就是29 -1 -9=502.

解答中用29來計(jì)數(shù)9元集合的所有子集，用了高中知識冪集的概念.但也可以繞過冪集的概念去理解它：對于從{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中抽取出的任何集合而言，它的產(chǎn)生等同于回答了九個(gè)“Yes-or-No”問題.就是說，依次問第i個(gè)元素是否要出現(xiàn)在子集中？那么這九個(gè)“Yes-or- No”問題就構(gòu)成了產(chǎn)生一個(gè)子集合的9個(gè)步驟.用乘法原理就可以算得答案應(yīng)該是29.

我們還可以用加法原理來計(jì)算.

可見數(shù)學(xué)問題的求解方法往往是條條大路通羅馬的.

再來看看同場考卷中另一題.經(jīng)改編略去一些噦嗦的話，該題相當(dāng)于問：

如果不定方程3χ+4y=N在正整數(shù)范圍內(nèi)求解只有唯一一組解，那么N的最大可能值是多少？

答案是24，相應(yīng)的χ，y的值是4，3.

為何N不能大于24了呢？答案的提供者這么說：現(xiàn)在N=24是4個(gè)3和3個(gè)4的和，要是再大些的N，必定需要使得3的個(gè)數(shù)或4的個(gè)數(shù)增加.當(dāng)3的個(gè)數(shù)上升到5個(gè)或更多，就可以勻出4個(gè)3來當(dāng)它是3個(gè)4，充實(shí)到4的個(gè)數(shù)中，導(dǎo)致此解有了二義性.同理，當(dāng)4的個(gè)數(shù)超過3，也可以勻出3個(gè)4來當(dāng)它是4個(gè)3，充實(shí)到3的個(gè)數(shù)中，也導(dǎo)致了解的不唯一.所以24是能夠滿足題設(shè)的最大值.

這個(gè)解法通俗易懂，可是想到這么來解還不太容易.

最直接的想法是把N當(dāng)成是直線方程3χ+4y=N的參數(shù).所問即當(dāng)這條直線在第一象限內(nèi)只經(jīng)過唯一一次整格點(diǎn)，求N的最大值.

我們用幾何面板來探究一下這個(gè)問題.

“觸礁”提示我們，橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)都不能大過某個(gè)值！細(xì)研究還發(fā)現(xiàn)，直線經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)此消彼長.橫坐標(biāo)加4，縱坐標(biāo)減3；或者反之，橫坐標(biāo)減4，縱坐標(biāo)加3.

至此，我們也探究出答案來了.比（3，4）還遠(yuǎn)離原點(diǎn)的其他點(diǎn)一定不是孤立的！

當(dāng)然，更專業(yè)的辦法是解不定方程.根據(jù)數(shù)論的一個(gè)定理，這個(gè)方程在整數(shù)范圍內(nèi)的全部解就是：χ=-N+4k，y=N-3k，k∈Z.由于χ，y都要是正整數(shù)且k唯一，故

我們分析了兩道題，先把一個(gè)復(fù)雜問題簡單化，再把一個(gè)簡單問題“復(fù)雜”化.為的是闡述一個(gè)道理：條條道路通羅馬，其中必有最短路.若我們能常以“另眼”看待手邊經(jīng)討的顥目，你的解顥枝能必有大的突破.