細說中考高頻題

戴曉燕 樊翠霞

（作者單位：江蘇省常州市金壇區茅麓中學，江蘇省常州市金壇區西崗中學）

勾股定理及其逆定理在近幾年的中考中是熱點問題，以下老師就以部分中考試題為例進行評述，希望為大家帶來一些思考和借鑒.

一、弦圖的應用

【例1】（2017·長春）圖 1是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.此圖案的示意圖如圖2，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四個全等的直角三角形.若EF=2，DE=8，則AB 的長為 .

圖1

圖2

解：AF=DE=8，EF=2，AE=6，由勾股定理求得AD=10，故AB=AD=10.

【例2】（2017·石家莊一模）圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.若AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是（ ）.

A.52 B.42 C.76 D.72

圖甲

圖乙

圖3

解：如圖3，由AC=6，得DC=12.在直角△DBC中，由BC=5、DC=12得BD=13，所以BD+AD=19，故周長為19×4=76.

【評析】教材中應用“趙爽弦圖”證明勾股定理.“趙爽弦圖”是初中數學的重要基本圖形之一，近年來在全國各地的中考試題里也常有出現.

二、折疊問題

【例3】（2017·武威）如圖4，一張三角形紙片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.現將紙片折疊：使點A與點B重合，那么折痕長等于 cm.

圖4

圖5

解：如圖5，作AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E，在Rt△BEC中，由勾股定理得（8-BE）2+62=BE2，解得，進一步算得

【例4】（2017·嘉興）一張矩形紙片 ABCD，已知AB=3，AD=2.小明按下圖步驟折疊紙片，則線段DG長為（ ）.

解：由翻折得到△A′DE，△B′GE是等腰直角

【評析】統觀近年各省市的中考試題，不難發現“折疊”問題在中考試題里頻頻出現，而利用勾股定理建立方程是解決問題的重要方法.命題者通常以直角三角形為載體，以數形結合、方程思想等重要的數學思想為依托，實現綜合考查.

三、逆定理的應用

【例5】（2017·益陽）如圖6，△ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB邊上的中線，則CD=

.

圖6

解：由AC=5，BC=12，AB=13知△ABC是直角三角形，故CD=6.5.

【例6】（2017·南京）“直角”在初中幾何學習中無處不在.如圖7，已知∠AOB.請仿照小麗的方式，再用兩種不同的方法判斷∠AOB是否為直角（僅限用直尺和圓規）.

小麗的方法：如圖8，在OA、OB上分別取點C、D，以C為圓心，CD長為半徑畫弧，交OB的反向延長線于點E.若OE=OD，則∠AOB=90°.

圖7

圖8

圖9

圖10

解：方法 1.如圖9，在 OA、OB上分別截取OC=4，OD=3.若 CD=5，則 ∠AOB=90°.

方法 2.如圖10，在 OA、OB 上分別取點 C、D，以CD為直徑畫圓.若點O在圓上，則∠AOB=90°.

【評析】勾股定理的逆定理主要是由數量關系確定三角形是否為直角三角形，然后在直角三角形的背景下解決有關問題.勾股定理的逆定理體現了由數到形的重要數學思想，在近年來各地的中考題中常有出現，但往往考查定理本身，故難度不是太大.

四、旋轉問題

【例7】（2013·包頭）如圖11，點E是正方形ABCD內的一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C= °.

圖11

圖12

解：本題采用分割的方式.如圖12，通過連接EE′將∠BE′C轉化為∠BE′E與∠EE′C的和.首先根據旋轉的性質得∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，那么，在Rt△EBE′中，由等腰直角三角形可得∠BE′E=45°，由勾股定理可得EE′=22.此時△EE′C的三邊長都已知了.又因為E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9，即E′E2+E′C2=EC2，所以由勾股定理的逆定理知△EE′C是直角三角形，則∠EE′C=90°.故∠BE′C=135°.

【評析】根據已知得出△EE′B是等腰直角三角形比較容易，但想到利用勾股定理的逆定理找出△EE′C是直角三角形才是解題關鍵.勾股定理常用，同學們也比較容易想到，而勾股定理的逆定理，也是將邊的關系轉化為角的關系的常用方法，同學們可要用心哦！