Banach空間具有正規結構的判定條件

趙亮 王微微 張興

摘 要：為了研究Banach空間的幾何常數，依據凸性模和光滑模的定義和性質，采用將光滑模推廣到廣義光滑模的方法來研究新常數。依據Lindenstrauss公式以及凸性模與光滑模的對偶關系，進一步研究廣義光滑模與廣義凸性模的的關系，不再局限于光滑模定義的條件，對新常數中的變量研究能夠得出Banach空間具有的性質，從而給出了廣義光滑模與廣義凸性特征的一個關系，再通過廣義光滑模與弱正交系數的關系，運用范數三角不等式，得出了Banach空間具有正規結構的充分條件。

關鍵詞：一致光滑；廣義光滑模；Lindenstrauss公式；正規結構

DOI：10.15938/j.jhust.2018.04.026

中圖分類號： O177.7

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2018）04-0140-05

Abstract：In order to study the geometric constants of Banach space， a new method is extended to study new constants by means of extending the modulus of smoothness to the generalized smooth mode. On the basis of the Lindenstrauss formula and the duality between the modulus of convexity and modulus of smoothness， further study of generalized modulus of smoothness and generalized modulus of convexity and modulus of smoothness is no longer confined to the defined conditions， properties of the variables can be obtained in constant research of new space with Banach， which gives a relation between the generalized modulus of smoothness and generalized convex the characteristics. Through the relationship between generalized modulus of smoothness and weak orthogonal coefficients， by means of the norm of the triangle inequality， sufficient conditions are obtained for normal structure in Banach space.

Keywords：uniform smoothness； generalized modulus of smoothness； lindenstrauss formula； normal structure

0 引 言

20世紀30年代，作為近現代數學的基礎學科，泛函分析出現了，它的出現逐漸成為學者們對近代數學研究的必要工具，在其慢慢發展的過程中，它已成為研究近代數學的必不可分的一部分。泛函分析主要運用與幾何、代數有關的分析方法和觀點來研究問題。無論是微分方程還是控制理論，無論是概率論還是現代物理學，我們都會從中發現泛函分析無處不在，它可以成為眾多學科的分支也會出現在其他學科的交叉之中，毫無疑問，泛函分析憑借其系統完整的體系分析已經成為了應用廣泛并且在計算數學等領域取得重大突破的一門學科，因此，它為Banach空間幾何理論的研究提供了重要的理論支撐，具有十分重要的意義。

1936年J.Clarkson定義了刻畫一致凸性的凸性模，文[4]將凸性模推廣到廣義凸性模，它們在最佳逼近理論以及不動點理論中有著重要的應用。1965年，W.A.Kirk在文[4]中證明了具有正規結構自反的Banach空間具有不動點性質，光滑性是作為凸性的對偶性質，廣義光滑模的幾何意義在于描述一個Banach空間的光滑性，在對文[1-13]中關于凸性模、光滑模等的研究方法進行分析后，依據光滑模的定義和性質[14-23]，在Lindenstrauss公式以及凸性模與光滑模的對偶關系的啟發下，對推廣的廣義光滑模做了進一步研究，不僅給出了廣義光滑模與廣義凸性模的對偶關系，還得到了廣義光滑模與廣義凸性特征的一個關系，再通過廣義光滑模與弱正交系數關系的研究，最終給出了Banach空間具有正規結構的充分條件。

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（編輯：關 毅）