微分算子帶一般權第二特征值的上界估計

趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業大學 數理部，江蘇 蘇州，215104)

設(0,1)∈R是一個有界開區間，考慮如下的特征值問題：

(1)

0≤pi(x)≤μ2,i=t+1,t+2,…,s-1，pt+1(x)>0，μ1≤ps(x)≤μ2，

(2)

q1(x)=q2(x)=…=qτ-1(x)=0，1≤τ≤t，ν1≤qj(x)≤ν2，j=τ,τ+1,…,t，

(3)

其中，0<μ1≤μ2，且0<ν1≤ν2。

當s>t≥2時，問題(1)特征值的上界估計已有一些結果①。 在本文中，考慮微分算子帶一般權并且左端的最低導數階數比右端的最高導數階數恰好高二階的問題(1)，且s>t≥1，這個問題是微分算子第二特征值的上界不等式②的推廣。 運用文獻[5]中的方法，對于任意整數s>t≥1的微分算子，得到了問題(1)的用第一特征值來估計第二特征值的上界估計，其估計在微分方程的理論研究和力學的應用中起著重要的作用[6]。

定理1 設λ1,λ2是問題(1)的兩個第一、第二特征值，且0<λ1≤λ2，s>t≥1，則有：

(4)

定理2 設λ1,λ2是問題(1)的兩個第一、第二特征值，且0<λ1≤λ2，s>t≥1，τ=t, 則有：

(5)

2 定理的證明

設λ1是問題(1)的第一特征值，相應于λ1的特征函數為y1，簡記y=y1，且滿足：

(6)

利用t次分部積分和式(6)，得：

(7)

利用s次分部積分和式(7)，有：

(8)

利用(2)和(8)，得：

(9)

利用(3)和(7)，有：

(10)

利用分部積分，直接計算得：

(11)

從(11)式知，φ與y帶權正交，且滿足Dkφ(0)=Dkφ(1)=0，k=0,1,2,…,s-1。

利用Rayleigh定理，有：

(12)

計算得：

(13)

利用分部積分和φ(x)=(x-d)y，有：

(14)

結合式(13)和(14)，得：

(15)

利用式(15)，有：

(16)

利用式(12)和(16)，得：

(17)

引理1 設y是問題(1)所對應第一特征值λ1的特征函數，則：

證明 對于(a) 參考現代應用分析卷。

對于(b)，反復運用引理1(a)和(10)，得引理1(b)。

引理2 設y是問題(1)所對應第一特征值λ1的特征函數， 則：

證明 用數學歸納法證明(a). 反復運用引理2(a)和(9)，即得 (b), 參考文獻[1]。

引理3 設y是問題(1)所對應第一特征值λ1的特征函數, 則：

證明 對于(a)，利用Schwarz 不等式、引理2(b)、式(3)和(7), 當τ=t時，得：

當τ

整理后即得 (a)。

對于(b)，利用(7) 、Schwarz 不等式和引理2(b)，有：

對于(c)，在引理2(b)中，取r=i-1，利用式(2)，得：

對于(d)，利用Schwarz 不等式、引理1(b)和引理2(b)，得：

對于(e)，利用Schwarz 不等式、(2)、引理2(b)和引理3(d)，得：

引理4 設λ1是問題(1)的第一特征值,則：

當τ=t時，

當τ

證明 利用分部積分和φ(x)=(x-d)y，得：

(18)

(19)

(20)

(21)

利用式(18)、(19)、(20)和(21)，有：

(22)

利用式(22)和引理3，當τ=t時，得：

當τ

引理5 對于φ(x)與λ1, 則：

證明 利用分部積分和φ(x)=(x-d)y，得：

(23)

利用式(23)，有：

(24)

利用式(10)和(24)，得：

(25)

在引理2(b)中，取r=t+1，利用式(10)、(25)和Schwarz 不等式，當τ=t時，有：

當τ

整理上式即可得引理5。

證明 利用引理4和引理5，從(17)，當τ

(26)

由式(26)即可得到定理1的(4)；

當τ=t時，有：

(27)

由式(27)即可得到定理2的(5)。