RSS測距模式下水聲傳感器網絡半正定松弛定位算法*

王 輝， 李有明， 毛雁明

(1.寧波大學 信息科學與工程學院，浙江 寧波 315211； 2.寧德師范學院 計算機系，福建 寧德 352100)

0 引 言

近年來，關于水聲傳感器網絡(underwater acoustic sensor network,UASN)的研究受到各國政府和研究機構的高度重視，且在軍事和民用方面得到廣泛應用，對于大部分的應用而言，水下定位是關鍵環節之一[1]。然而，由于水聲環境的復雜性，如傳輸時延大、噪聲高、載波頻率低等特點，與陸地上相比，節點定位精度具有更高的要求。這些因素給UASN中傳感器節點定位帶來了巨大的挑戰。

常見的UASN節點定位算法可分為基于測距和非測距的算法兩類[2]，其中基于測距的算法主要依賴于節點間的距離信息，如到達時間(time of arrival,TOA)、到達時間差(time difference of arrival,TDOA)、到達角度(angle of arrival,AOA)以及接收信號強度指示(received signal strength indication,RSSI)。TOA廣泛應用于UASN的測距[3]，但兩節點間的精確同步具有挑戰性。TDOA可使用不同的傳輸介質(如無線電波和聲波)或采用參考節點來估計距離，但無線電波不適合水下環境，且聲波的水下速度具有不可預測性[2]。AOA依賴于直線視距聲線傳輸路徑，其在地面無線電波中可能存在，而水聲信道中存在典型的多徑分量，這會導致AOA測量時出現較大的誤差[4]。基于接收信號強度(received signal strength,RSS)的水下定位方案作為衡量距離的另一種替代方案，由于多徑傳播和聲線傳輸損失(transmission loss,TL)現象使得精確測距難以實現[5]。然而，當水深達到一定程度后，水聲信道會表現出良好的傳輸特性，可建立聲線傳輸損耗模型，因此，在這種情況下，基于RSS的定位方案最適合。

對于描述水聲信道的聲線傳輸損耗特征，Urick傳播模型[5]能夠衍生出一些統計特性。當然，還有其他水聲聲線傳輸損耗建模方法，如Lambert W函數[6]。目前，UASN中基于RSS的定位算法的文獻相對較少，如文獻[6]利用Lambert W函數建立水聲傳播損耗模型，并結合三邊測量定位算法計算未知節點的坐標；文獻[7]提出一種基于TOA和RSS的混合定位算法，其中基于RSS的測量作為已知信息；文獻[8]采用地面聲波傳播模型來研究基于RSS的水下定位。由于水聲環境的特殊性，在基于RSS測量系統中，陰影是不可忽略的因素。上述文獻僅簡單假設任意兩個不同位置的陰影相互獨立，不具有相關性。為此，本文以空間陰影相關性為背景，在上述工作的基礎上，推導和分析水聲信號傳播模型，提出一種基于RSS的定位的優化求解方案。

1 基于接收信號的定位算法

1.1 傳播損耗模型

根據水聲傳輸損耗的表現形式和原因，將水聲傳輸損耗分為擴散損耗和衰減損耗。擴散損耗表示波前展開而產生的聲能擴散，主要包括球面和柱面兩種形式。衰減損耗由介質吸收、多徑傳播、散射和衍射組成，其衰減參數與介質(鹽度，酸度，壓力和溫度)和環境(氣泡，沉積物吸收，表面反射和散射)有關[5]。以頻率f為中心的聲窄帶信號經過距離d(d>0)傳播的傳播損失φTL可由Urick傳播模型

φTL(f,d)=10βlgd+α(f)d+ξ(f,d)

(1)

1.2 系統模型

(2)

(3)

式中δdB為常數值，值的大小取決于傳播環境；若以dB為單位，通常為4～12 dB之間；pij為第i條與第j條鏈路之間的相關系數。與大多數假設pij為零不同，一對節點之間的相關性取決于兩者的相對角度和距離[14]研究表明，相關系數的值通常取在0.2～0.8之間。

1.3 最大似然求解

克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound,CRLB)定義了任何無偏估計器性能的下限。當測量次數趨于無窮大時，最大似然(maximum likelihood,ML)估計可以漸近地達到CRLB。為方便起見，本文選擇d0=1。若路徑損耗指數β和吸收系數α(f)為已知，式(2)估計問題可轉換為

(4)

2 半正定松弛定位算法

針對上述問題，本節提出了一種基于半正定松弛(semi-definite relaxation,SDR)的求解算法。首先通過泰勒級數展開，將原最大似然估計問題作為代價函數轉換成非線性最小二乘(nonlinear least squares,NLS)問題。重新排列式(2)，并兩邊除以10β得到

(5)

(6)

(7)

同時，引入di=‖x-si‖2>0和松弛變量ti≥0，本文將優化問題式(7)轉換成

(8)

進一步將式(8)的約束項轉換為

[D]i,i=tr[XSi]

(9)

最后，最小化問題(9)可轉換為半正定優化問題，即

(10)

3 仿真分析

通過仿真驗證空間陰影相關對基于RSS的定位精度的影響，并比較基于SDR算法，ML定位算法和線性最小二乘算法(linear least-squares,LLS)的3種定位方案的性能，驗證本文所提出算法的有效性。在100 m×100 m的矩形區域內，采用蒙特卡羅(Monte Carlo)法進行了1 000次仿真測試，其中每次測試隨機部署6個錨節點和1個未知節點。另外，通過式(2)獲得RSS測量值，其中水聲信號傳輸頻率f為9 kHz，路徑損耗指數β和參考功率P0分別設置為4,-40 dB。對于相關系數pij和標準差δdB的取值，則在分組測試時分別設置。式(3)描述的協方差矩陣Q是一個對稱的半正定矩陣，通過Cholesky分解，Q可表示為[9]Q=BBT,B為下三角矩陣。若n=[n1,n2,…,nN]是式(2)中RSS測量時各條鏈路之間相關噪聲，且服從均值為零，協方差為Q的高斯隨機變量。那么n=Bw,w為一個向量，服從均值為零，方差為1的正態分布的獨立隨機變量。

1)假定水聲環境中任意2個節點所處位置的陰影相互獨立，且不具有相關性，此時，設置pij=0，δdB=4 dB。圖1采用累積分布函數(cumulative distribution function,CDF)曲線對比了3種算法的估計定位誤差。與其他估計算法相比，最大似然定位算法的精度最高，其90 %的定位誤差小于23 m，具有良好的性能，主要是因為其初始化值取為真實解。當然，本文所提出的半定松弛定位算法同樣具有良好精度，其性能非常接近最大似然。而最小二乘算法在3種定位算法中的表現最差，其90 %的定位誤差小于25 m。

圖1 定位誤差的CDF比較(δdB=4 dB，p=0)

從圖2可以看出，與圖1中的不相關的情況相比，陰影相關性的最大似然在90 %的CDF處定位誤差減少到12 m，整體性能有所提升。同樣，本文提出的半定松弛定位算法也表現出了良好的精度，其性能仍非常接近最大似然。

圖2 定位誤差的CDF比較(δdB=4 dB,p=0.8)

3)比較了所考慮的估計量的平均運行時間。本文考慮與圖2相同的網絡配置，陰影的標準差為4 dB，相關系數為0.8?？芍?，LLS具有最快的運行時間[4](0.28 ms)，因為估計器需要簡單的計算，所有這些都在一次迭代中完成。ML(16.54 ms)和ML-NC(15.13 ms)運行速度比SDP(42.16 ms)估計量快。然而，應該注意的是，ML和ML-NC初始值為真值，隨著求解器在一些迭代后收斂，明顯減少了運行時間[5]。ML需要更多的迭代次數，且運行速度比ML-NC高，主要是ML成本函數復雜度高的原因。由此可知，以上3種算法存在各自的問題，不適合推廣，而本文提出的SDR定位算法雖然運行時間較長，但在可接受范圍內，最重要的其表現出了良好適應性和精度。

4)考察變量δ對定位誤差均方差根誤差(root mean square error,RMSE)的影響。圖3描述了相關系數p設定為0.8，陰影的標準差δdB為1～6 dB時，三種定位算法表現出來的RMSE的變化曲線。通過對所有源節點位置和隨機噪聲實現進行平均來計算每個定位算法的RMSE。由圖3可知，ML與ML-NC之間的差異隨著陰影標準差δdB的增大而增大，因此，在測量中考慮重度陰影的關系更有利。與此同時，本文提出的半正定松弛定位算法表現出很好的性能，與最大似然性能非常接近。

圖3 RMSE隨δ的變化關系(p=0.8)

4 結 論

本文所提出算法的性能非常接近最大似然估計的精度，且在不相關或相關的陰影環境下均表現出較強的適應性和較高的精度，因而更適合推廣。