思想，賦予數(shù)學(xué)課堂生長(zhǎng)的力量

鄭秋杰

【摘要】數(shù)學(xué)課程不僅僅教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)技能，更重要的是讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想。如何使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想成為數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。在數(shù)學(xué)思想中，“最重要的，首推函數(shù)的思想”。在小學(xué)中談函數(shù)思想，主要應(yīng)該注重些什么呢？

【關(guān)鍵詞】基本思想

課堂生長(zhǎng)

活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！睘榇耍箤W(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想成為數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)課程不僅僅教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)技能，更重要的是讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想。

一、數(shù)學(xué)思想教學(xué)的現(xiàn)狀分析

1.缺乏認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)思想被架空

蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“三角形高的畫法”的教學(xué)中，一位教師通過情境讓學(xué)生形象地認(rèn)識(shí)三角形的高后，讓學(xué)生自己畫出給定三角形的高，交流時(shí)確定在“一靠底二平移三畫線”的操作方法上。這樣的教學(xué)架空了學(xué)生之前“畫垂線”的經(jīng)驗(yàn)，架空了學(xué)生通過“畫垂線”得到“畫高”的數(shù)學(xué)思想。

2.認(rèn)知偏差，數(shù)學(xué)思想被“方法”

課程標(biāo)準(zhǔn)的措辭是數(shù)學(xué)的“基本思想”，而不是數(shù)學(xué)的“基本思想方法”，所以一些數(shù)學(xué)化的程序、步驟等操作方法不可稱為數(shù)學(xué)思想。如小數(shù)除法的計(jì)算，過程中所涉及的方法，它們屬于更為具體的層次。

3.理解不透，數(shù)學(xué)思想被“復(fù)雜”

有效的數(shù)學(xué)思想的滲透是一種深入淺出的教學(xué)。蘇教版二年級(jí)上冊(cè)《簡(jiǎn)單實(shí)際問題（復(fù)習(xí)）》這課，教師通過讓學(xué)生根據(jù)編寫加減乘除法的算式，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)加減乘除法的算理的認(rèn)識(shí)，然后請(qǐng)學(xué)生將這四種算法進(jìn)行分類，意圖得到乘法（除法）是加法（減法）的簡(jiǎn)便計(jì)算。但對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生，很難說清楚為什么這樣分類，教師落實(shí)分類思想的意圖受到了阻礙。

二、數(shù)學(xué)的基本思想分類梳理

數(shù)學(xué)思想很多，有些思想是從一些基本思想派生出來的，所以數(shù)學(xué)思想間具有層次性，主要有以下三部分。

1.數(shù)學(xué)抽象的思想

“人們把外部世界與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)研究的對(duì)象?！币虼?，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必然要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象。如學(xué)生通過擺小棒的過程抽象出除法算式：10÷3=3……1（支），理解有余數(shù)的除法的意義。借助生活中的情境抽象出圖形（如三角形、平行四邊形、圓形等），通過對(duì)圖形的研究認(rèn)識(shí)為什么生活中的物品設(shè)計(jì)成這種形狀。由抽象思想派生出來的有：分類的思想，集合的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，等等。

2.數(shù)學(xué)推理的思想

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。”推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出另一個(gè)新判斷的思維形式。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理，小學(xué)數(shù)學(xué)中主要是學(xué)習(xí)合情推理。蘇教版五年級(jí)下冊(cè)利用公因數(shù)和公倍數(shù)解決實(shí)際問題的思考過程就是一種推理的過程。由推理思想派生出來的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化的思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，等等。

3.數(shù)學(xué)建模的思想

人民教育出版社課程教材研究所王永春教師認(rèn)為：“數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義的角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等都是數(shù)學(xué)模型?！睌?shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，由建模的思想派生出來的有：簡(jiǎn)化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，等等。

三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)策略一以函數(shù)思想為例

數(shù)學(xué)家張景中在《感受數(shù)學(xué)思想的力量》這篇寫給小學(xué)數(shù)學(xué)教師的文章中說道：“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等，很簡(jiǎn)單。盡管簡(jiǎn)單，里面卻蘊(yùn)含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想。最重要的，首推函數(shù)的思想?！蹦敲矗瘮?shù)思想的本質(zhì)是什么呢？有人是這樣認(rèn)為的：“函數(shù)思想是一種考慮對(duì)應(yīng)、考慮運(yùn)動(dòng)變化、相依關(guān)系，以一種狀態(tài)確定地刻畫另一種狀態(tài)，由研究狀態(tài)過渡到研究變化過程的思想方法，函數(shù)思想的本質(zhì)在于建立和研究變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。”

1.在“數(shù)與代數(shù)”中體驗(yàn)函數(shù)思想

數(shù)學(xué)往往嘗試著用自己的語(yǔ)言揭示事物中“不變”的內(nèi)容，抽象它的數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立符合規(guī)律的模型。

在“千課萬人”第二屆全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)新常態(tài)課堂研討觀摩會(huì)上，劉松老師執(zhí)教的《倍的認(rèn)識(shí)》中出示了這樣一個(gè)情境：黃花有2朵，紅花有6朵；黃花有4朵，紅花有12朵（如圖1）。紅花的朵數(shù)隨著黃花的朵數(shù)發(fā)生了變化，但不變的是“紅花是黃花的3倍”這一數(shù)量之間的關(guān)系。所以劉老師隨即將黃花抽象成1份，紅花就可以看作這樣的3份（如圖2），將這一現(xiàn)象用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)成：紅花是黃花的3倍。如果抽象成函數(shù)解析式的話，y代表紅花朵數(shù)，x代表黃花朵數(shù)，即得到y(tǒng)=3x，y隨著x的變化而變化。雖然學(xué)生暫時(shí)不懂函數(shù)，但在這一過程中體會(huì)到了數(shù)學(xué)能表達(dá)事物之間的聯(lián)系，把握“變”中的“不變”，才能把握事情變化的規(guī)律。

2.在“圖形與幾何”中體驗(yàn)函數(shù)思想

在小學(xué)數(shù)學(xué)課中，不僅在“數(shù)與代數(shù)”中滲透著函數(shù)思想，“圖形與幾何”中的位置與變換也滲透著函數(shù)思想。兩個(gè)集合的“一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”，把握對(duì)應(yīng)的規(guī)則，即能感受到研究圖形的價(jià)值。

蘇教版五年級(jí)上冊(cè)教學(xué)《三角形面積的練習(xí)》這—課時(shí)，教師設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生探究：

（1）思考：三角形ABC的面積是24平方厘米，C點(diǎn)在哪里？

預(yù)設(shè)一：左上頂點(diǎn)、右上頂點(diǎn)。（追問：三角形ABC的面積為什么是24平方厘米？）

預(yù)設(shè)二：上底邊上的任意一點(diǎn)。（追問：為什么這幾個(gè)三角形的面積都是24平方厘米？）

（2）思考：C點(diǎn)只能在底邊上嗎？

引導(dǎo)得出：上底邊無限延長(zhǎng)，C點(diǎn)可以是這條直線上的任意一點(diǎn)。

出示兩個(gè)鈍角三角形，比畫底和高分別是多少？三角形的面積變嗎？

思考：為什么這些三角形的面積都不變？

追問：底是同一條，但是高不是同一條，為什么面積也相等呢？

指出：這些三角形的高就是兩條平行線之間的距離（如圖3）。

變化是函數(shù)思想的精髓，將原本靜止的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成變化的問題。通過C點(diǎn)的“動(dòng)”，感受三角形的變化，但三角形的面積是不變的，思考不變的原因在哪，在解決變化問題的過程中，學(xué)生更能體會(huì)函數(shù)思想。

3.在“統(tǒng)計(jì)與概率”中體驗(yàn)函數(shù)思想

函數(shù)思想無處不在，只要有變化的地方，我們就能尋找變化的規(guī)律，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括這種規(guī)律，形成一種數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)。在《統(tǒng)計(jì)與概率》中，我們所看見的折線統(tǒng)計(jì)圖本身就是函數(shù)圖像，如身高隨著年齡發(fā)生變化、氣溫隨著時(shí)間發(fā)生變化等。在這些變化中，有的我們已經(jīng)找到了規(guī)律，如小學(xué)六年級(jí)形成正比例、反比例圖像的規(guī)律，還有的規(guī)律還在探索之中。

在教學(xué)《正比例圖像》時(shí)，教師通過讓學(xué)生兩次嘗試根據(jù)表格中給出的兩種成正比例的量（如下表）描點(diǎn)等操作進(jìn)行繪制圖形，然后讓學(xué)生自己選擇兩個(gè)成正比例的數(shù)量，設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)填表后繪制圖形（如圖4）。在操作中學(xué)生發(fā)現(xiàn)：畫出的圖是一條直線。在這個(gè)過程中，一方面，學(xué)生感受到當(dāng)一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量也在變化，但是它們的比值是不變的，這個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系在圖像上清晰地表現(xiàn)成一條直線；另一方面，學(xué)生還可以明確地感受到數(shù)量之間的關(guān)系除了能用形如這樣的表達(dá)式表示，也可以用圖像表示。

函數(shù)思想如何滲透在我們的教學(xué)中，如何發(fā)掘教學(xué)內(nèi)容的滲透點(diǎn)，這是我們教師應(yīng)該思考的問題。筆者認(rèn)為：越是簡(jiǎn)單的內(nèi)容，內(nèi)涵越是豐富，只要有“變化”的地方，就蘊(yùn)含著函數(shù)思想，不需要教師告訴學(xué)生這是函數(shù)思想，但滲透后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)有生長(zhǎng)的力量。