立體幾何易錯點分析

童其林

立體幾何是高考的必考內容，特點是試題題量、題型和分值穩定：一般是兩個小題一個大題共22分，約占全卷總分的15%；考查全面：柱、錐、球及其簡單組合體齊亮相， 對幾何體進行組、割、補、嵌、折手法多.從近幾年的試題來看，三視圖、判斷或證明線面關系和求空間的角是必考內容，求表面積和體積也很常見.

總的來說，立體幾何是高考比較容易得分的部分，但常出現“會而不對”“對而不全”的現象，導致失分.怎樣才能多得分，得高分，避免失誤是本文要研究的內容.下面就針對立體幾何的常見易錯點進行歸納分析，期望對考生的備考有幫助.

一、空間幾何體的三視圖

三視圖是同一個幾何體在互相垂直的三個平面上的射影，在解決空間幾何體的三視圖時，易出現的問題主要有：（1）不能正確確定特殊幾何體的三視圖；（2）不能由幾何體的三視圖正確確定幾何體的形狀；（3）不能正確把三視圖中得數據轉化為對應的幾何體中得線段長度，尤其是側視圖中的數據處理很容易出錯，從而導致幾何體中的計算出現錯誤.

1. 由幾何體辨別三視圖

例1. 如圖1，點M，N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中點，用過點A，M，N和點D，N，C1的兩個截面截去正方體的兩個角后得到的幾何體的正（主）視圖、側（左）視圖、俯視圖依次為（ ）

A. ①③④ B. ②④③ C. ①②③ D. ②③④

【錯解】選A或B或C.

【錯誤分析】錯誤原因主要是不理解用過點A，M，N和點D，N，C1的兩個截面截去正方體的兩個角是什么意思，導致錯選.

【正解】用過點A，M，N和點D，N，C1的兩個截面截去正方體的兩個角后得到的幾何體是一個不規則的幾何體NMC1B1-ABCD.所以由正視圖的定義可知點A，B，B1在后面的投影點分別是D，C，C1，線段AN在后面的投影面上的投影是以D為端點且與線段CC1平行且相等的線段，另外線段AM在后面的投影線要畫成實線，被遮擋的線段DC1要畫成虛線，故幾何體的正視圖為②，側視圖為③，俯視圖為④，故選D.

【突破策略】（1）熟練把握常見的規則幾何體如柱體、椎體與球的三視圖，注重“三面一線”，即底面、側面、對角面（軸截面）、側棱（母線）四個方面的基本特征.（2）熟練掌握常見幾何體的三視圖是解決由三視圖確定幾何問題的關鍵，先根據俯視圖確定幾何體的底面，然后利用正視圖和側視圖確定幾何體的側面；（3）三視圖原則：“主側等高，主俯等寬”是我們利用三視圖中的數據確定幾何體中相關線段的長度，特別注重側視圖中數據的長度.

2. 由三視圖求對應空間幾何體的表面積

空間幾何體表面積與體積的求解是新課標考查的重點，多以選擇題或填空題的形式出現求解此類問題易出現的問題主要有下面幾個方面：（1）對幾何體的結構特征把握不準，導致空間線面關系的推理、表面積與體積的求解出現錯誤，尤其是對正棱柱、正棱錐中隱含的線面關系不能熟練把握，正確應用；（2）混淆幾何體的表面積與側面積兩個概念，導致計算時錯用公式，漏掉底面積的計算；（3）在組合體的表面積的計算問題中，對于兩個幾何體重合問題或幾何體的挖空問題，不能正確確定幾何體表面積的構成導致計算重復或漏算；（4）計算失誤問題是最常見的錯誤，基本計算能力是高考重點考查的四大能力之一，在這個方面一定要正確對待.

例2. 如圖2，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是 ，則它的表面積是（ ）

（A）17π （B）18π

（C）20π （D）28π

【錯解】選D或B或C.

【錯誤分析】錯誤原因：一是不能畫出幾何體，二是計算出錯.

【正解】該幾何體的直觀圖如圖3所示，是一個球被切掉左上角的 .設球的半徑為R，則V= × πR3= ，解得R=2，所以它的表面積是 的球面面積和三個扇形面積之和.

S= ×4π×22+3× ×π×22=17π，故選A.

【點評】根據“長對正、寬相等、高平齊”的直觀圖畫法規則，畫出對應幾何體的直觀圖，確定幾何體中個元素的量，再計算幾何體的表面積.

【突破策略】解決此類問題分兩步：第一步，一般先確定幾何體的大致輪廓，然后利用三視圖中的實線和虛線通過切割、挖空等手段逐步調整；第二步，先部分后整體，即先分別求出各個簡單幾何體的表面積與體積，然后用它們表示所求幾何體的表面積與體積，注意重疊部分的表面積以及挖空部分的體積的處理.

3. 由三視圖求對應幾何體的體積

由三視圖確定幾何體的形狀并求解表面積或體積是高考命題的重點，多為客觀題，在求解過程中易出現的問題主要有：（1）不能根據三視圖確定幾何體的形狀，尤其是組合體的三視圖以及幾何體挖空、切割等問題，導致無法計算幾何體的體積與表面積；（2）不能把三視圖中的數據準確地與幾何體中有關幾何體的有關度量對應起來，導致計算出錯，對于組合體三視圖中的相關數據的處理不當導致失誤；（3）幾何體的表面積和體積的求解過程出錯；（4）計算不細心導致運算失誤問題.

例3.（2017屆江西省贛州市二模）某多面體的三視圖如圖4所示，則該多面體外接球的體積為_________.

【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，如圖5所示，再取點Q，可得直三棱柱，高為2，在三角形PBC中，PC=2，PB=BC= ，由余弦定理可得cos∠PBC= ，則sin∠PBC= ，由正弦定理可得三角形PBC的外接圓的直徑2r= = ，又四棱錐的球心到平面PBC的距離為1，所以外接球的半徑R= = ，則外接球的體積V= πR3= π.

【突破策略】空間幾何體是立體幾何的基礎，在學習過程中應首先注重對簡單幾何體——柱、錐、臺、球的學習，把握它們的幾何特征，注意三面一棱（線），即底面、側面、對角線（軸截面）中反映的幾何度量之間的關系，側棱（母線）與底面的關系等，可以借助身邊的實物，進一步加深對這些幾何體的把握，培養自己的空間想象能力，這是我們分析空間組合體的結構特征的基礎.其次，正確理解空間幾何體的三視圖，熟練掌握簡單幾何體的三視圖是我們確定組合體三視圖以及由三視圖確定幾何體形狀的關鍵，注意三視圖中的數據與幾何體的幾何度量之間的轉化，三視圖的畫圖規則是實現彼此轉化的依據.最后，熟記規則幾何體的表面積與體積公式，準確理解公式中的各個字母表示的幾何意義，區分側棱（母線長）與高、底面積、側面積等概念，求解椎體的體積時，應注重靈活選擇頂點和底面；對于組合體的面積、體積求解問題，要根據其結構特征通過分割或補形將其轉化為規則幾何體的有關計算.

4. 與三視圖有關的最值問題

例4. 如圖6，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（ ）

A. 6 B. 6

C. 4 D. 4

【錯解】選C.

【錯誤分析】錯誤原因：一是不能畫出幾何體，二是最長的棱判斷錯誤.

【正解】該幾何體是如圖所示的棱長為4的正方體內的三棱錐E-CC1D1（其中E為BB1的中點），其中最長的棱為D1E= =6.選B.

【點評】一些三視圖的問題置于正方體或長方體中去研究，往往化難為易，能直達目標.

二、空間幾何體的角

空間幾何體的角包括線線角，線面角，面面角.在解決空間幾何體的三視圖時，易出現的問題主要有：（1）求解兩條異面直線所成角的過程中，不注意角的取值范圍，誤以為通過平移構造的三角形內角就是兩條異面直線所成的角；（2）求解線面角的過程中，把向量公式弄錯；（3）求解面面角的過程中，分辨不出是銳角還是鈍角.

1. 異面直線所成的角

例5. 已知直三棱柱中ABC-A1B1C1，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（ ）

A. B. C. D.

【錯解】選A或B或選D.

【錯誤分析】錯誤原因：一是找不到異面直線AB1與BC1所成角究竟是哪一個，二是計算出錯.

【正解】如圖8所示，補成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，則所求角為∠BC1D，∵BC1= ，BD= = ，C1D=AB1= ，可得∠DBC1為直角，因此cos∠BC1D= = ，故選C.

【點評】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0， ]，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角.求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.

2. 直線與平面所成的角

例6. 如圖9，四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側面PDC是邊長為a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點.

（Ⅰ）求異面直線PA與DE所成角的余弦值；

（Ⅱ）求AP與平面ABCD所成角的正弦值.

【錯解】如圖9所示，取DC的中點O，連結PO，

因為△PDC為正三角形，所以PO⊥DC.

又因為平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.

建立如圖7所示的空間直角坐標系O-xyz，

則P（0，0， a），A（a，- ，0），B（a， ，0），C（0， ，0）， D（0，- ，0）.

（Ⅰ）E為PC的中點，所以E（0， ， a），

所以 =（0， a， a）， =（a，- ，- a），

所以 · = a×（- ）+ a×（- a）=- a2，

| |= a，| |= a，

cos〈 ， 〉= = =- .

所以異面直線PA與DE所成角的余弦值為- .

（Ⅱ）因為平面ABCD的法向量 =（0，0， a），

所以cos〈 ， 〉= = =- .

所以AP與平面ABCD所成角的正弦值為- .

（本題也可能出現另一種錯誤：cos〈 ， 〉=- ，所以sin〈 ， 〉= ，所以AP與平面ABCD所成角的正弦值為 ）

【剖析】本題失分的根本原因是概念不清，混淆了空間角與向量所成角的概念.（Ⅰ）中，異面直線PA與DE所成的角為銳角或直角，余弦值一定非負.（Ⅱ）中，將直線與平面所成角和直線的方向向量和平面的法向量的夾角混為一談，事實上它們并不是一回事兒，兩者相差90°，所以直線與平面所成角的正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦的絕對值. 正確解法是：

（Ⅰ）由錯解，知cos〈 ， 〉=- ，因為異面直線PA、DE所成的角是銳角或直角，所以異面直線PA、DE所成角的余弦值是 .

（Ⅱ）設AP與平面ABCD所成角為θ，由錯解，知cos〈 ， 〉=- ，所以sinθ=|cos〈 ， 〉|= . 所以直線AP與平面ABCD所成角的正弦值為 .

【點評】對于考生出現的概念模糊致誤，最好的方法是回歸課本，從教材中理解知識的來龍去脈.

3. 平面與平面所成的角

例7. 正三角形ABC的邊長為10，A∈？琢，B，C在平面？琢的同側，且與？琢的距離分別為4和2，求平面ABC與平面？琢所成角的正弦值.

【錯解】如圖10，過點A作直線a∥BC，則平面BAC與平面？琢相交于直線a.作BM⊥？琢于M，CN⊥？琢于N，并取BC的中點為E，作EF⊥？琢于F.

因為？駐ABC為正三角形，所以AE⊥BC，因為BC∥a，所以AE⊥a.

又EF⊥a，所以a⊥平面AEF，所以AF⊥a，即∠EAF為平面ABC和平面？琢所成的角.

因為EF= （BM+CN）=3，AE=5 ，所以sin∠EAF= = .

【剖析】上述解法錯在第一步，即“過點A作直線a∥BC”.已知A∈？琢，那么過點A且平行于BC的直線不一定在平面？琢內.而上述解法卻誤認為a是平面ABC與平面？琢的交線，進而得出錯誤的二面角的平面角，從而導致了錯誤的出現.

【正解】如圖11所示，延長BC交？琢于點D，連接AD，則平面ABC∩平面？琢=AD.作BB1⊥？琢，CC1⊥？琢，垂足分別為B1，C1，于是CC1∥BB1，BB1=4，CC1=2，則C為BD的中點.

因為AC=BC=CD= BD，所以？駐BAD為直角三角形，且∠BAD=90°.

又AB1為AB在平面？琢內的射影，所以DA⊥AB1，即∠B1AB為平面ABC與平面？琢所成角的平面角，所以sin∠B1AB= = .

【點評】立體幾何的公理看似用得很少，但它是構成立體幾何的脊梁，本題就是公理3的靈活運用.

三、“斜二測畫法”

我們知道：斜二測畫法是畫平面圖形的直觀圖與空間圖形的直觀圖的一種方法.這種畫法強調了兩種數量關系：

在解題過程中如果兩種數量關系混淆，就容易導致錯誤.

1. 求線段長度

例8. 如圖12所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，由斜二測畫法，畫出這個梯形的直觀圖O′A′B′C′，在直觀圖中梯形的高為（ ）

A. B. 1

C. D.

【解析】按斜二測畫法，得梯形的直觀圖O′A′B′C′，如圖13所示，原圖形中梯形的高CD=2，在直觀圖中C′D′=1，且∠C′D′E′=45°，作C′E′垂直x′軸于E′，則C′E′即為直觀圖中梯形的高，那么C′E′=C′D′sin45°= ，故正確答案為C.

2. 求面積

例9. 一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，如圖14，則原平面圖形的面積為（ ）

A. 4 B. 4

C. 8 D. 8

【解析】由斜二測畫法可知，原圖形是一個平行四邊形，且平行四邊形的一組對邊長為2，在斜二測圖形中O′B′=2 ，且∠B′O′A′=45°，那么在原圖形中，∠BOA=90°且OB=4 ，因此，原平面圖形的面積為2×4 =8 ，故正確答案為（D）.

【點評】本題抓住在斜二測畫法中平行于x軸的線段畫為平行于x′軸，得到了原圖形是平行四邊形；畫結合原圖形中垂直在直觀圖中畫為夾角45°，得到原圖形中的高，從而得到結論.

3. 畫原圖形

例10. 如圖15，A′B′C′D′是邊長為1的正方形，又知它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，請畫出該四邊形的原圖形.

【解析】由于A′B′C′D′是邊長為1的正方形，則∠D′A′C′=45°.

于是取A′C′，A′D′所在的直線分別為x′，y′軸.

畫兩條垂直的有向直線，分別為x，y軸，A為原點，AC在x軸上，且AC= ，再在y軸上取點D，使AD=2，取AC的中點E，連結DE并延長至B使DE=EB，連結DC，CB，BA得四邊形ABCD，即為正方形A′B′C′D′的原圖形，見圖16.

至此，可以看出斜二測畫法看似是一種比較簡單的畫圖方法，但當我們認真深入其中時，會發現并非都是簡單問題.逆向斜二測問題有時還真有點難度，必須細心分析，才能保證萬無一失.實際上，正如對公式的應用，應會正用、逆用和變形應用一樣，對“斜二測畫法”的原來也要懂得“正用、逆用和變形應用”.

四、推理論證時的常見錯誤

1. 共面、共線、共點問題

常見錯誤是不能靈活利用平面的基本性質確定兩個平面的交線，導致有關共線、線共點的證明問題無從下手.

【突破策略】解決點共線、線共點問題的關鍵是利用基本性質，即確定兩個平面的交交線，證明“點共線”先由 “兩點” 定“線”，后證其他點也是在這條“線”上；證明“線共點”先由 “兩線”定“點”，后證其他線也過該“點”.

2. 空間平行關系

（1）空間平行關系的判斷

在解決有關該考點的具體問題時，易出現的問題主要有：（1）對空間線面關系考慮不全面，導致位置關系判斷出錯，漏掉直線在平面內的情況；（2）在利用空間線面平行與面面平行的性質定理證明空間平行關系時，往往忽略限制條件導致思維過程不嚴謹，導致誤判.

【突破策略】對于結論不能確定的線面位置關系，常用為長方體為模型的構造反例；利用定理進行推理證明時，要注意定理的條件，把涉及的點、線、面之間的關系搞清楚，尤其要注意一些關鍵性字眼，如“平面外的直線”、“平面內的直線”、“平面內的兩條相交直線”等，避免出錯.

（2）空間平行關系的證明

空間平行關系的證明往往作為解答題中的第（1）問，而兩條直線的平行是證明空間平行關系的基礎，在證明空間平行關系時往往出現以下問題：（1）不能靈活運用平面幾何中的相關結論，尤其是利用中位線、比例線段等來構造線線平行關系；（2）不能利用幾何體或幾何圖形的結構特征將空間問題靈活轉化為平面內的問題，然后再利用平面幾何中的結論構造平行關系.

【突破策略】（1）靈活利用平面圖形的性質構造平行關系是證明線面關系的關鍵，一般可通過取中點或比例分點構造比例線段得到平行關系；（2）注意空間幾何體的側面、底面、對角面、截面等的應用，把問題轉化為平面圖形中的相關問題解決.

（3）空間平行關系的綜合應用

由于空間線面關系的復雜性，在求值或證明的過程中，對于點、線、面的位置分析得不夠徹底.就會漏掉它們的一些特殊位置關系，導致漏解或漏證.

【突破策略】準確把握空間元素的相互位置關系是正確求值，求證的基礎.注意空間中兩個元素之間的位置關系，要對所有可能的情況進行討論；當涉及多個、多類元素時，一定要抓住其中的關鍵條件，確定分類的依據和標準，然后進行分類討論，如一個點和兩個平面，則應分點在平面的同側、點在平面的中間兩種情況進行分析.

3. 空間垂直關系

（1）空間垂直關系的判斷與性質

在解決具體問題時，易出現的問題主要有：（1）對直線和平面垂直的判定定理理解不深刻，忽視定理中的“兩條相交直線”導致對直線和平面是否垂直判斷失誤；（2）利用兩個平面垂直的性質定理時，忽視“直線在平面內”的條件，導致誤判；（3）對空間線面關系的有關判定、性質定理掌握不扎實，不能靈活運用其推導結論.

【突破策略】在記憶相關定理時，要結合圖形梳理定理的條件與結論，不能遺漏.把定理中所涉及的點、線、面之間的關系搞清楚，弄清楚每個定理所包含的條件，尤其要注意一些關鍵性字眼：如“平面外的直線”、“平面內的直線”、“平面內的兩條相交直線”等.

（2）垂直關系在求空間角中的應用

在求解此類問題時，易出現的問題主要有：過多地依賴空間向量，導致忽視最基本的定義法或性質法，對于簡單的空間角的求解，不能利用定義或性質快速、準確地進行求解，而是一味地利用向量求解，導致計算失誤.

例11.（2018年福建省高一數學競賽題）如圖17所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、E分別為棱BC、BB1的中點，N為正方形B1BCC1的中心，l為平面A1MN與平面D1BE的交線，則直線l與正方體底面ABCD所成角的大小為（ ）

A. 30° B. 45°

C. 60° D. 90°

【解析】如圖17，由正方體的性質與條件，可得MN⊥面ABCD，BE⊥ 面ABCD.

所以，面A1MN⊥面ABCD，面D1BE⊥面ABCD.

所以，l⊥面ABCD，l與面ABCD所成角的大小為90°，選D.

【點評】通常的思路是找出平面A1MN與平面D1BE的交線l，再求出直線l與正方體底面ABCD所成角的大小，但繁瑣，利用性質（兩個相交平面和第三個平面垂直，則交線和第三個平面垂直），整體考慮可化繁為簡.

【突破策略】空間角的求解往往與幾何體的結構特征綜合在一起進行考查，所以應該首先考慮定義法，即利用定義作出空間角的平面角，然后再求解（本題用的是性質法）。作出線面角與二面角的平面角大多要利用直線和平面垂直，所以首先要結合幾何體的結構特征，尋找線面垂直關系，如果幾何體中的線面垂直關系比較明顯，可直接利用定義法或性質去求解；如果線面垂直關系不明顯，則可以考慮利用向量法求解.

（3）空間平行與垂直關系的綜合應用

空間線面關系的證明思路更多地來自直觀的圖形，在解題過程中往往因為圖形不直觀、不形象而導致對幾何體中線面關系認識不清，尤其是輔助線，一定要注意區分虛實.

【突破策略】利用幾何的綜合方法解決立體幾何問題時，往往要作一些輔助線或者輔助平面，作圖時不能憑借直觀，而要用根據，其中有兩條線極為重要：一是找中點連輔助線，出現平行線；二是找兩個平面垂直，在一個平面內作交線的垂直，出現線面垂直.

（4）空間垂直關系在綜合性證明題中的應用

空間垂直關系的證明與利用是空間線面關系的重點，在判斷、證明空間垂直關系時，往往出現以下問題：（1）忽視特殊平面圖形中的一些垂直關系，導致證明沒有思路.（2）忽視已知條件中線段的長度之間的關系，不能通過計算找出線線的垂直關系；

【突破策略】要解決上述問題，需要注意兩個方面：（1）注意特殊的平面圖形中的垂直關系；（2）當已知條件出現線段的長度時，要注意這些長度之間的關系，當幾何體中線面關系不是很明顯時，往往需要通過計算來證明垂直關系.

例12. 設α，β，γ是三個不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，給出下列命題：

①α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ

②若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n

③若α∥β，β∥γ，則α∥γ

④若m，n在γ內的射影互相垂直，則m⊥n

其中錯誤命題的個數為（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【錯解】選 C.

【剖析】由于空間點、直線、平面的位置關系是在空間考慮，這與在平面上考慮點、線的位置關系相比復雜了許多，特別是當直線和平面的個數較多時，各種位置關系錯綜復雜，相互交織，如果考慮不全面就會導致一些錯誤的判斷.因此，我們可以借助正方體、三棱錐、三棱柱模型來分析.

【正解】兩個平面都垂直于同一個平面，這兩個平面可能平行，可能相交，不一定垂直故①錯誤；m∥α，n∥β，α⊥β，則m，n可能相交，可能平行，可能異面，故②錯誤；由平行的傳遞性，可知，若α∥β，β∥γ，則α∥γ，故③正確；若m，n在γ內的射影互相垂直，則m，n可能相交，可能異面，故④錯誤.故正確的命題為③，故選A.

例13. 如圖18，△ABC是簡易遮陽棚，A，B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應為（ ）

A. 75° B. 60°

C. 50° D. 45°

【錯解】為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應該越大越好，選A.

【剖析】由于正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，并非遮陽棚ABC與地面所成的角越大， 遮陰影面ABD面積就最大，應該通過計算才能說明何時最大.

作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長DE交直線AB于F，連接CF，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，設為？琢. 要使S？駐ABD最大，只需DF最大.

在△CFD中， = ，所以DF= .

∵CF為定值，∴當？琢=50°時，DF最大.

故遮陽棚ABC與地面所成的角為50°時遮陰影面最大.故正確答案是C.

【點評】解題離不開猜想，有時也需要想當然（合情推理），但這些都需要邏輯的驗證.

【突破策略】空間線面關系的綜合問題包含立體幾何初步的所有內容，綜合性較強，在學習過程中應該抓住“圖”“證”“算”這三個字.

“圖”是立體幾何的根本，主要包括幾何體的直觀圖與三視圖，我們要學會識圖、用圖、作圖，通過周圍實例，不斷提高自己的空間想象能力，把實現直觀圖、三視圖兩者之間的互化，把握常見幾何體中的線面關系及其三視圖，是解決此類問題的關鍵.

“證”是要熟練掌握空間平行與垂直關系的有關判定和性質定理，牢記定理中的條件和結論，養成嚴密的推理論證習慣，把各個定理的條件用完全，在推理論證中藥做到層次分明，結構合理，嚴密無誤.

“算”是運算要準確，養成良好的運算習慣，逐步計算，注意運算過程中的各個環節，在運算過程中適時調整運算的方法，注意核對運算過程和最后的結果，確保準確無誤.

責任編輯 徐國堅