數列復習中常見易錯點分析及點評

洪其強

數列在每年的高考中必考. 但在數列的學習中，我們有時會遇到一些似是而非的問題，此類問題往往是由于我們對某些概念或公式的認識不深，使我們在解題時容易造成一些失誤.同時，對某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略，也就是在等價轉化的過程中，沒有注意到轉化的等價性，會經常出現錯誤. 一般來說，考題中選擇題、填空題解法靈活多變，要注意題情，避免出錯. 筆者在此通過數例，分析解題過程中的致錯原因，希望能有所幫助，以期在學習中加強思維的嚴密性訓練.

1. 已知Sn求an時， 易忽略n=1的情況而致錯.

例1. 數列{an}前n項和Sn且a1=1，an+1= Sn. 求a2，a3，a4的值及數列{an}的通項公式.

【錯解】易求得a2= ，a3= ，a4= . 由a1=1，an+1= Sn得an= Sn-1（n≥2）故an+1-an= Sn- Sn-1= an（n≥2）得an+1= an（n≥2）.

所以數列{an}的通項公式為an=（ ）n-1.

【分析】此題在應用Sn與an的關系時誤認為an=Sn-Sn-1對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗證. 易得出數列{an}為等比數列的錯誤結論.

【解析】易求得a2= ，a3= ，a4= . 由a1=1，an+1= Sn得an= Sn-1（n≥2）故an+1-an= Sn- Sn-1= an（n≥2）得an+1= an（n≥2）又a1=1，a2= ，故該數列從第二項開始為等比數列故an=1，（n=1） （ ）n-2. （n≥2）

【點評】對于數列an與Sn之間有如下關系：an=S1，（n=1）Sn-Sn-1，（n≥2） 利用兩者之間的關系可以已知Sn求an. 但注意只有在當a1適合an=Sn-Sn-1 （n≥2）時兩者才可以合并否則要寫分段函數的形式.

2. 利用函數知識求解數列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數集或其子集（從1開始）而致錯.

例2. 等差數列{an}的首項a1>0，前n項和Sn，當l≠m時，Sm=Sl . 問n為何值時Sn最大？

【錯解】由題意知Sn=f（n）=na1+ d= n2+（a1- ）n，此函數是以n為變量的二次函數，因為a1>0，當l≠m時，Sm=Sl故d<0，即此二次函數開口向下，故由f（l）=f（m）得當x= 時f（x）取得最大值.

【分析】等差數列的前n項和是關于n的二次函數，可將問題轉化為求解關于n的二次函數的最大值，但易忘記此二次函數的定義域為正整數集這個限制條件.

【解析】由題意知Sn=f（n）=na1+ d= n2+（a1- ）n此函數是以n為變量的二次函數，因為a1>0，當l≠m時，Sm=Sl故d<0即此二次函數開口向下，故由f（l）=f（m）得當x= 時f（x）取得最大值，但由于n∈N？鄢，故若l+m為偶數，當n= 時，Sn最大. 當l+m為奇數時，當n= 時Sn最大.

【點評】數列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域為正整數集或其子集（從1開始）上的函數，因此在解題過程中要樹立函數思想及觀點應用函數知識解決問題. 特別的等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數且沒有常數項，反之滿足形如Sn=an2+bn所對應的數列也必然是等差數列的前n項和. 此時由 =an+b知數列中的點（n， ）是同一直線上，這也是一個很重要的結論. 此外形如前 n項和Sn=can-c所對應的數列必為一等比數列的前 n項和.

3. 解答數列問題時沒有結合等差、等比數列的性質解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣而致錯.

例3. 已知關于的方程x2-3x+a=0和x2-3x+b=0的四個根組成首項為 的等差數列，求a+b的值.

【分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結合等差數列的性質明確等差數列中的項是如何排列的.

【解析】不妨設 是方程x2-3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等，故由等差數列的性質知方程x2-3x+a=0的另一根是此等差數列的第四項，而方程x2-3x+b=0的兩根是等差數列的中間兩項，根據等差數列知識易知此等差數列為： ， ， ， 故a= ，b= 從而a+b= .

【點評】等差數列和等比數列的性質是數列知識的一個重要方面，有解題中充分運用數列的性質往往起到事半功倍的效果. 例如，對于等差數列{an}，若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；對于等比數列{an}，若n+m=u+v，則an·am=au·av；若數列{an}是等比數列，Sn是其前n項的和，k∈N？鄢，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數列；若數列{an}是等差數列，Sn是其前n項的和，k∈N？鄢，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差數列等性質要熟練和靈活應用.

4. 用等比數列求和公式求和時，易忽略公比q=1的情況而致錯.

例4. 數列{an}中，a1=1，a2=2，數列{an·an+1}是公比為q（q>0）的等比數列.

（I）求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3成立的q的取值范圍；

（II）求數列{an}的前2n項的和S2n .

【錯解】（II）由數列{an·an+1}是公比為q的等比數列，得 =q？圯 =q，這表明數列{an}的所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，且公比都是q，又a1=1，a2=2，

∴ S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

= + = .

【分析】對于等比數列的前n項和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯誤. 再者沒有從定義出發研究條件數列{an·an+1}是公比為q（q>0）的等比數列得到數列奇數項和偶數項成等比數列而找不到解題突破口. 使思維受阻.

【解析】（I）∵數列{an·an+1}是公比為q的等比數列，∴ an+1an+2=anan+1 q，an+2an+3=anan+1 q2，由anan+1+an+1an+2>an+2an+3，得anan+1+anan+1 q>anan+1 q2？圯1+q>q2，即q2-q-1<0（q>0），解得0

（II）由數列{an·an+1}是公比為q的等比數列，得 =q？圯 =q，這表明數列{an}的所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，且公比都是q，又a1=1，a2=2，∴當q≠1時，S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

= + = ，

當q=1時，

S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n.

【點評】本題中拆成的兩個數列都是等比數列，其中 =q是解題的關鍵，這種給出數列的形式值得關注.另外，不要以為奇數項、偶數項都成等比數列，且公比相等，就是整個數列成等比數列，解題時要慎重，寫出數列的前幾項進行觀察就得出正確結論.對等比數列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況. 高考往往就是在這里人為的設計陷阱使考生產生對而不全的錯誤.

5. 在數列求和中對求一等差數列與一等比數列的積構成的數列的前n項和不會采用錯項相減法或解答結果不到位而致錯.

例5. 已知數列{an}是等差數列，且a1=2，a1+a2+a3=12.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）令bn =anxn（x∈R）求數列{bn}前項和的公式.

【錯解】（2）由（1）得bn =2nxn令Sn=2x+4x2+6x3+…+2nxn……（Ⅰ）

則xSn=2x2+4x3+…+2（n-1）xn+2nxn+1 ……（Ⅱ）

用（Ⅰ）減去（Ⅱ）（注意錯過一位再相減）得

（1-x）Sn=2x+2x2+2x3+…+2xn-2nxn+1.

所以，數列{bn}前項和的公式Sn= [ -nxn+1].

【分析】本題根據條件確定數列{an}的通項公式，再由數列{bn}的通項公式分析可知，數列{bn}是一個等差數列和一個等比數列構成的“差比數列”，可用錯項相減的方法求和.

【解析】（1）易求得an=2n.

（2）由（1）得bn =2nxn令Sn=2x+4x2+6x3+…+2nxn …（Ⅰ）

則xSn=2x2+4x3+…+2（n-1）xn+2nxn+1 ……（Ⅱ）

用（Ⅰ）減去（Ⅱ）（注意錯過一位再相減）得

（1-x）Sn=2x+2x2+2x3+…+2xn-2nxn+1.

當x≠1，Sn= [ -nxn+1].

當x=1時，Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）.

綜上可得：

當x≠1，Sn= [ -nxn+1]；當x=1時，Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）.

【點評】一般情況下對于數列{cn}有cn=anbn其中數列{an}和{bn}分別為等差數列和等比數列，則其前n項和可通過在原數列的每一項的基礎上都乘上等比數列的公比再錯過一項相減的方法來求解，但要注意對題目中字母x 的討論. 實際上，課本上等比數列的求和公式就是這種情況的特例.

6. 不能根據數列的通項的特點尋找相應的求和方法，在應用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規律不清，導致多項或少項而致錯.

例6. 求Sn= + + +…

【分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規律不清而導致解題失誤.

【解析】由等差數列的前n項和公式得1+2+3+…+n= ，

∴ = =2（ - ），n取1，2，3，…就分別得到 ， ， ，… ∴ Sn=2（1- ）+2（ - ）+2（ - ）+…+2（ - ）=2（1- ）= .

【點評】“裂項法”有兩個特點，一是每個分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個數（也可三個或更多）相乘，且這兩個數的第一個數是前一項的第二個數，如果不具備這些特點，就要進行轉化. 同是要明確消項的規律一般情況下剩余項是前后對稱的. 常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求 + + +…+ ，方法還是抓通項，即 = = （ - ），問題會很容易解決.另外還有一些類似“裂項法”的題目，如：an= ，求其前n項和，可通過分母有理化的方法解決.數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等.

7. 易由特殊性代替一般性誤將必要條件當作充分條件或充要條件使用，缺乏嚴謹的邏輯思維.

例7. 設無窮等差數列{an}的前n項和為Sn.

（Ⅰ）若首項a1= ，公差d=1，求滿足 =（Sk）2的正整數k；

（Ⅱ）求所有的無窮等差數列{an}，使得對于一切正整數k都有足 =（Sk）2成立.

【錯解】（II）設數列{an}的公差為d，則在 =（Sn）2中分別取 k=1，2，得

S1=（S1）2，S4=（S2）2，即a1=a1 2， （1）4a1+ d=（2a1+ d）2， （2）

由（1）得 a1=0或a1=1.

當a1=0，代入（2）得d=0或d=6，

若a1=0，d=0，則an=0，Sn=0，

若a1=0，d=6，則an=6（n-1），Sn=3n（n-1），

當a1=1時，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2，

若a1=1，d=0，則an=1，Sn=n，

若a1=1，d=2，則an=2n-1，Sn=1+3+…+（2n-1）=n2.

綜上，共有4個滿足條件的無窮等差數列：

①{an} ： an=0，即0，0，0，…；②{an} ： an=6（n-1），即0， 6，12，…；③{an} ： an=1，即1，1，1，…；④{an} ： an=2n-1，即1，3，5，…；

【分析】本小題主要考查數列的基本知識，以及運用數學知識分析和解決問題的能力. 學生在解第（Ⅱ）時極易根據條件“對于一切正整數k都有 =（Sk）2成立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數列的首項和公差，但沒有認識到求解出的等差數列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件. 還應進一步的由特殊到一般.

【解析】（I）當a1= 時，d=1時Sn=na1+ d= n+ = n2+n.

由 =（Sk）2，得 k4+k2=（ k2+k）2，即k3（ k-1）=0. 又k ≠0，所以k=4.

（II）設數列{an}的公差為d，則在 =（Sn）2中分別取k=1，2，得：

S1=（S1）2，S4=（S2）2，即a1=a1 2， （1）4a1+ d=2（a1+ d）2， （2）

由（1）得 a1=0或a1=1. 當a1=0，代入（2）得d=0或d=6，

若a1=0，d=0，則an=0，Sn=0，從而 =（Sk）2成立，

若a1=0，d=6，則an=6（n-1），由S3=18，（S3）2=324，Sn=216 知S9≠（S3）2，故所得數列不符合題意. 當a1=1時，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2.

若a1=1，d=0，則an=1，Sn=n，從而 =（Sk）2成立；

若a1=1，d=2，則an=2n-1，Sn=1+3+…+（2n-1）=n2，從而S=（Sn）2成立.

綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數列：

①{an} ： an=0，即0，0，0，…；②{an} ： an=1，即1， 1， 1，…；③{an} ： an=2n-1，即1，3，5，…

【點評】事實上，“條件中使得對于一切正整數k都有 =（Sk）2成立.”就等價于關于k的方程的解是一切正整數又轉化為關于k的方程的各項系數同時為零，于是本題也可采用這程等價轉化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤. 在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關系.

8. 解答數列應用題時，審題不嚴易將有關數列的第n項與數列的前n項和混淆導致錯誤解答.

例8. 如果能將一張厚度為0.05mm的報紙對折，再對折……對折50次后，報紙的厚度是多少？你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎？（已知地球與月球的距離約為4×108米）

【錯解】對折一次厚度增加為原來的一倍，設每次對折厚度構成數列an，則數列an是以a1=0.05×103米為首項，公比為2的等比數列. 從而對折50次后紙的厚度是此等比數列的前51項和，利用等比數列的前n項和公式，易得，S51= =50（251-1），而地球和月球間的距離為4×108<50（251-1）， 故可以在地球和月球之間建一座橋.

【分析】對折50次后，報紙的厚度應理解為一等比數列的第n項，易誤理解為是等比數列的前n項和.

【解析】對拆一次厚度增加為原來的一倍，設每次對拆厚度構成數列an，則數列an是以a1=0.05×103米為首項，公比為2的等比數列. 從而對拆50次后紙的厚度是此等比數列的第51項，利用等比數列的通項公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010，而地球和月球間的距離為4×108<5.63×1010故可建一座橋.

【點評】 以數列為數學模型的應用題曾是高考考查的熱點內容之一，其中有很多問題都是涉及到等差或者等比數列的前n項和或第n項的問題，在審題過程中一定要將兩者區分開來.

9. 以偏概全，錯將特殊當一般而致錯.

例9. 設等比數列{an}的全n項和為Sn . 若S3+S6=2S9，求數列的公比q.

【錯解】∵ an=Sn-Sn-1，∴ an=2n+1（n∈N？鄢）.

【分析】在等比數列中，a1≠0是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時應先討論公比q=1的情況，再在q≠1的情況下，對式子進行整理變形.

【解析】若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，與題設矛盾，故q≠1.

又依題意S3+S6=2S9？圯 + =2· ？圯q3（2q6-q3-1）=0，即（2q3+1）（q3-1）=0，因為q≠1，所以q3-1 ≠1，所以2q3+1=0. 解得 q=- .

【點評】此題為1996年全國高考文史類數學試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據評分標準而痛失2分.

10. 沒有意識到題中所給的隱含條件而致錯.

例10. 在數列{an}中，a1=-2，2an+1=2an+3，則an等于（ ）

A. B. 10 C. 13 D. 19

【分析】 A、B、D被式子2an+1=2an+3的表面所迷惑，未發現{an}是等差數列這個本質特征，而只由表面的遞推關系得到，從而計算繁瑣，導致有誤.

【解析】由2an+1=2an+3得an+1-an= ，∴{an}是等差數列.

∵ a1=-2，d= ，a11=13. 故選C.

11. 由前n項和Sn求通項時未注意an=Sn-Sn-1（n≥2）中并不包括首項a1而致錯.

例11. 已知數列{an}的前n項之和為① Sn=2n2-n ② Sn=n2+n+1時，分別求數列{an}的通項公式.

【錯解】① an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3；

② an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

【分析】在對數列概念的理解上，僅注意了an=Sn-Sn-1的關系，沒注意a1=S1.

【解析】 ①當n=1時，a1=S1=1.

當n≥2時，an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3.

經檢驗n=1時a1=1也適合，∴ an=4n-3.

②當n=1時，a1=S1=3.

當n≥2時，an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

∴ an=3，（n=1）2n.（n≥2）

【點評】一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=S1，（n=1）Sn-Sn-1 ，（n≥2）由Sn求an時，an=S1，（n=1）Sn-Sn-1， （n≥2， n∈N？鄢）注意驗證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨列出. 一般已知條件中含an與Sn的關系的數列題均可考慮用上述公式.

12. 未能正確運用數列前n項和的性質解決求和問題而致錯.

例12. 已知等差數列{an}的前n項之和記為Sn，S10=10，S30=70，則S40等于 .

【錯解】∵S30=S10·2d，∴ d=30，∴ S40=S30+d=100.

【分析】將等差數列中Sm ， S2m-Sm， S3m-S2m成等差數列誤解為Sm ，S2m ，S3m成等差數列.

【解析】由題意：10a1+ d=10，30a1+ d=70，得a1= ，d= ，

代入得S40=40a1+ ×40d=120.

【點評】等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m，…仍為等差數列.

13. 未能正確運用數列前n項和通項公式的關系解決求值問題而致錯.

例13. 等差數列{an}、{bn}的前n項和為Sn、Tn. 若 = （n∈N？鄢），求 .

【錯解】因為等差數列的通項公式是關于n的一次函數，故由題意令an=7n+1；bn=4n+27.

∴ = = .

【分析】誤認為 = .

【解析】∴ = = = = .

【點評】若Sn、Tn分別是等差數列{an}和{bn}的前n項和，則 = .

14. 未能正確運用數列前n項和的分段形式而致錯.

例14. 已知一個等差數列{an}的通項公式an=25-5n，求數列{| an |}的前n項和.

【錯解】由an≥0得n≤5，

∴ {an}前5項為非負，從第6項起為負，

∴ Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50（n≤5）.

當n≥6時，Sn= | a6 | + | a7 | + | a8 | +…+ | an | = ，

∴ Sn=50， n≤5 . n≥6

【分析】（1）把n≤5理解為n=5，（2）把“前n項和”誤認為“從n≥6起”的和.

【解析】 ，n≤5 +50. n≥6

上述分析只是錯誤解題的一般性問題，后期復習應考，應做的是怎樣才能有效地避免非智力因素失分，對照考點檢查常見知識和公式、定理是否記住.

責任編輯 徐國堅