全線突破機車啟動問題的九大相關知識點

譚程

機車起動問題是高中物理中的一個重要知識點，對于這個知識點的分析很多同學都感到比較困惑。對于這個問題的分析如果我們把握了以下幾個要點，那么在分析這個問題時就不會感覺到困惑了。

知識點1. 機車起動的兩種方式

【要點歸納】機車起動有兩種運動模式，即機車以恒定功率（通常為額定功率P額）和以恒定加速度a起動。這兩種啟動方式的物理過程分別如下圖所示：

（1）機車以恒定功率起動時，它的牽引力F將隨速度v的變化而變化，其加速度a也隨之變化，具體變化過程可采用如下示意圖表示：

（2）要維持機車加速度不變，就要維持其牽引力不變，機車功率將隨v增大而增大，當P達到額定功率P額后，不能再增加，即機車就不可能再保持勻加速運動了.具體變化過程可用如下示意圖表示：

知識點2. 分析機車啟動時的兩個基本關系式

【要點歸納】“P=Fv”和“a= ”是分析與處理機車起動過程的兩個重要的、基本的關系式。它反映了機車瞬時狀態的各量間的關系。圖1是機車在工作狀態下的受力情況，應當明確P為機車的瞬時功率；F為機車的牽引力，而不是機車受的合力；v為機車的瞬時速度；a為瞬時加速度；f為機車所受的阻力（通常機車所受阻力設為恒力）；m是機車的質量。在實踐中，我們只要抓住兩個基本關系式，相關問題則會迎刃而解。

知識點3. 兩種啟動方式所獲的最值速度

【要點歸納】兩種啟動方式不同，它們最終所獲得的最大速度是不同的，

（1）額定功率起動的情形

由P=Fv和a= 可知，因功率P保持不變，速度增大，則機車的牽引力F必然減小，也就不難看出機車的加速度a因此而減小，所以該過程是一個加速度逐漸減小的運動。顯然當牽引力F減小到等于機車所受阻力f時，即F=f，其加速度a=0，則機車的速度達到最大值vm，且vm= 。

（2）恒定加速度起動的情形

初速度為0的勻加速起動的過程，同樣根據P=Fv和a= 知，由于加速度a恒定，則牽引力F不變（通常設定機車所受阻力f恒定）。因此隨著速度v增大，其機車的瞬時功率P隨之增大，當P增大到額定功率時P額，此刻速度便是勻加速運動過程的最大速度 ，其大小為 = 。

應當注意到 是勻加速運動的末狀態，此刻機車的功率剛好等于額定功率P額，而此時此刻牽引力仍為F，且F>f，再由P=Fv和a= 兩個基本關系式，容易分析出，在功率不變的情況下，速度還會繼續增大，牽引力隨之減小，所以此后過程是加速度逐漸減小的加速運動，直到加速度a=0時，機車的速度達到最終的最大速度vm，且vm= 。

如圖2所示，恒定加速度起動的過程的三個階段，即從v0=0到 為勻加速運動階段； 到vm為加速度逐漸減小的加速運動；此后以速度vm作勻速直線運動。

綜合上面的分析可得：

（1）兩種起動過程最終所能達到的最大速度vm= ；

（2）恒定加速度起動過程中，勻加速運動過程的最大速度 = .

知識點4. 機車啟動中的兩個典型v-t圖像

【要點歸納】v-t圖像能夠很好地反映機車兩種起動過程的速度隨時間的變化情況。

圖3是保持額定功率不變的起動過程的v-t圖線。由圖可以看出在t從0到t/的v-t圖線的切線斜率逐漸減小，反映了機車的加速度逐漸減小，直到t/時刻，斜率減小為零，即此刻機車的加速度為零，之后圖線表示機車一直作勻速直線運動。

圖4是保持加速度不變的起動過程的v-t圖線。t從0到t1時段為斜直線，表示機車做勻加速運動，且t1時刻達到勻加速運動過程的最大速度v1，t1到t2時段曲線的斜率逐漸減小，表明此階段是加速度逐漸減小的加速運動，直到t2時刻速度達到最大值vm。此后即為勻速直線運動。

知識點5. 機車啟動中的兩個典型P-t圖像

【知識點歸納】機車以恒定功率啟動時，機車的功率是一直保持不變的，其功率P時間t圖像如圖5所示。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，隨著v的增大，F必將減小，a也必將減小，汽車做加速度不斷減小的加速運動，直到F=f，a=0，這時v達到最大值vm= = 。可見恒定功率的加速一定不是勻加速。這種加速過程發動機做的功只能用W=Pt計算，不能用W=Fs計算（因為F為變力）。

機車以恒定加速度啟動時，由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽車做勻加速運動，而隨著v的增大，P也將不斷增大，直到P達到額定功率Pm，功率不能再增大了。這時勻加速運動結束，其最大速度為 = < ，此后汽車要想繼續加速就只能做恒定功率的變加速運動了。該過程的功率P時間t圖像如圖6所示。可見恒定牽引力的加速時功率一定不恒定。這種加速過程發動機做的功只能用W=F·L計算，不能用W=P·t計算（因為P為變值）。

[例1] 一汽車在平直公路上行駛。從某時刻開始計時，發動機的功率P隨時間t的變化如圖7所示。假定汽車所受阻力的大小f恒定不變。下列描述該汽車的速度v隨時間t變化的圖線中，可能正確的是（ ）

【解析】本題屬于機車的恒定功率啟動問題，當牽引力大于阻力時，機車加速運動，但速度的增加會導致牽引力變小，機車所受的合力變小，機車的加速度變小，故機車的運動為加速度不斷變小的加速運動，直到加速度等于零變為勻速直線運動，故0～t1時間內，是一個恒定功率加速過程，直到變為勻速直線運動，t1～t2時間內，是另一個恒定功率加速過程，直到變為勻速直線運動，故A項正確。

【方法歸納】忽略恒定功率啟動問題的制約關系是導致機車速度變化出錯，常見的錯誤歸納如下：（1）混淆了機車的恒定功率啟動與恒定加速度啟動，容易導致錯選B；（2）忽略了慣性的作用，沒有注意到汽車的速度不可能突然發生變化，再加之C項圖與題干圖非常相似而錯選C；（3）對機車的恒定功率啟動問題中加速度的變化認識不到位，容易導致錯選D。

知識點6. 機車啟動中的瞬時值問題

【要點歸納】在分析機車啟動時經常會碰到求瞬時值這一問題，如達到的最大速度，還有某一時刻的加速度。在分析瞬時加速度這個問題時，多數是分析機車在達到額定功率瞬間到機車達到最大速度這一過程中，機車做變加速運動時的加速度，此時的關鍵是要求出此時機車的牽引力F，此時的牽引力可根據兩個關系式“P=Fv和a= ”來求。下面我們通過一個具體的例子來說明：

[例2]汽車發動機的額定牽引功率為60kW，汽車的質量為5t，汽車在水平路面上行駛時，阻力是車重的0.1倍，試求：

（1）若汽車保持額定功率從靜止起動后能達到的最大速度是多少？

（2）若汽車從靜止開始，保持以0.5m/s2的加速度作勻加速運動，這段過程能維持多長時間？

（3）如果阻力不變，汽車在水平路面上用10m/s速度行駛，實際功率多大？此時汽車的加速度又是多大？

【解析】（1）汽車在水平路面上行駛時，由于牽引功率保持不變，則汽車的加速度逐漸減小，當F=f=kmg時，汽車的速度達到最大值vm。

則vm= = =12m/s。

（2）汽車從靜止開始，以0.5m/s2的加速度做勻加速行駛，要求得這個過程所能維持的時間，必須求出勻加速過程的最大速度 。而達到速度 時汽車的實際功率恰好達到額定功率，所以根據兩個基本關系式“P=Fv”和“a= ”，就可以求出保持勻加速運動過程的牽引力F，自然也就求出了 。

由F-f=ma得：F=ma+f=5×103×0.5+0.1×5×103×10=7.5×103N

= = =8m/s

所以勻加速運動能維持的時間為：t= = =16s。

（3）由于vm>10m/s> 表明此時汽車處于額定功率下，加速度逐漸減小的加速運動階段，所以此刻的實際功率等于額定功率。

應該注意到，P保持不變，由p=F /v知此過程中牽引力不斷減小，所以當速度v=10m/s時，其牽引力：F /= = =6×103N。

則此刻汽車的加速度：a= = =0.2m/s2。

【方法歸納】機車起動過程中常見基本問題及其處理方法：

知識點7：機車啟動所受“阻力”的理解

【要點歸納】機車起動過程的問題中，阻力是相對牽引力而言的，它可能是空氣阻力、摩擦阻力、重力或重力的下滑分量等，是起阻礙機車前行的各種力的合力。

[例3]汽車發動機的額定牽引功率為60kW，汽車的質量為5t，汽車在水平路面上行駛時，阻力是車重的0.1倍。當汽車行駛在傾角為？琢的長直斜坡上時，汽車所能行駛的最大速度是多少？（已知sin？琢=0.02）

【解析】汽車的受力分析如圖8所示，汽車在坡路上行駛時，事實上汽車受到的阻力f是由兩部分構成，即：f=kmg+mgsinα=0.1×5×103×10+5×103×10×0.02=6×103N

當F=f時P額=F vm=f vm，

所以v= = =10m/s。

【方法歸納】機車啟動時所受到的阻力不要片面地理解為空氣對機車的阻力，或者片面地理解為地面對機車的摩擦力，或是理解為機車在斜面上運動時為機車重力沿斜面的分力，這些理解是錯誤的。機車啟動時所受到的阻力它實際上是所有阻礙機車啟動時各個阻力的矢量和。

知識點8：機車啟動問題中的位移分析

【要點歸納】在機車啟動過程中，計算機車的位移是一個難點。由于機車一般會經歷多個運動過程，在勻變速運動過程中可以利用運動學公式直接求解，但在變加速運動階段，只能借助動能定理來計算。在機車啟動問題中，要注意區別“兩個速度”，即勻加速階段的最大速度（圖像中的v1）和最終勻速運動的速度（圖像中的vm）。求勻加速階段的位移可運用勻變速直線運動的位移公式x1= a = t1，計算變加速運動階段的位移則不能用上述公式，但由于該階段功率P不變，故可以用動能定理P（t2-t1）-fx2= m - m 計算。

[例4]一新型賽車在水平專用測試道上進行測試，該車總質量為m=1×103kg，由靜止開始沿水平測試道運動，用傳感設備記錄其運動的v-t圖像如圖9所示。該車運動中受到的摩擦阻力（含空氣阻力）恒定，且摩擦阻力跟車的重力的比值為μ=0.2。賽車在0～5s的v-t圖像為直線，5s末該車發動機達到額定功率并保持該功率行駛，在5～20s之間，賽車的v-t圖像先是一段曲線，后為直線.取g=10m/s2，試求：

（1）該車的額定功率；

（2）該車的最大速度vm；

（3）計算賽車出發后前20 s內的位移。

【解析】（1）0～5s賽車做勻加速運動，其加速度：a= = m/s2=4m/s2。

由題意得μ= ，則摩擦阻力為f=2×103N

所以發動機牽引力的額定功率P=Fv1=1.2×105 W。

（2）由P=Fvm，解得：vm=60m/s。

（3）前5s內賽車勻加速運動，位移x1= t1=50m

在5～20s內（即t2=15s），發動機已經達到額定牽引功率，且在20s時車的速度為最大速度vm，由動能定理得Pt2-fx2= m - m 。

代入數據解得x2=100m，總位移x=x1+x2=150m。

【方法歸納】弄清楚v-t圖像中各段圖線所表示的運動過程，然后畫出運動草圖，合理運用牛頓運動定律和運動學公式是解決此類問題的基本思路和方法。

知識點9. 分析機車起動的創新圖像

【要點歸納】分析機車起動的創新圖像主要有以下兩類典型的創新圖像：

1. F- 圖像和v- 圖像

這兩類圖像反映了機車在啟動過程中發動機功率和機車速度之間的函數關系。因為P=Fv，隨著機車速度的不斷增加，P、v、F三個物理量隨之發生變化。下面就機車以恒定加速度啟動為例來說明它們之間變化的特點。

①圖10是F-v圖像，圖像以F、v作為縱橫坐標，直接反應了F與v之間的關系，ab段圖像表示機車做勻加速直線運動，牽引力為恒力，隨著速度的增加，機車功率逐漸增加，到達b點時機車功率達到額定值，bc段圖像表示機車牽引力功率不變，隨著速度的增加，機車牽引力逐漸減小，機車做變加速直線運動，圖像為雙曲線的一支。F-v圖像的縱橫軸與圖像包圍的面積表示機車牽引力功率。

由于F-v圖像的bc段為雙曲線的一支，圖像不規則，所以衍生出圖11和圖12兩種圖像，通過變換坐標軸對應的物理量，使得圖像變為直線。

②圖11是F- 圖像，由于圖像的橫軸為 ，所以分析圖像時應該沿著橫軸從右向左分析。圖像的ab段表示隨著速度的增加，牽引力恒定不變，此過程為勻加速直線運動。圖像的bc段表示隨著速度的增加，牽引力逐漸減小，機車發動機功率不變，此過程為變加速直線運動，c點時機車速度達到最大，機車開始勻速直線運動。bc段圖像的斜率表示機車發動機功率。

③圖12是v- 圖像，圖像的ab段表示勻加速直線運動，bc段表示變加速直線運動。

[例5]在檢測某種汽車性能的實驗中，質量為3×103㎏的汽車由靜止開始沿平直公路行駛，達到的最大速度為40m/s，利用傳感器測得此過程中不同時刻該汽車的牽引力F與對應的速度v，并描繪出F- 圖像（圖像ABC為汽車由靜止到最大速度的全過程圖像，AB、BO均為直線），如圖13所示。假設該汽車行駛中所受的阻力恒定，根據圖線ABC，求：

（1）該汽車的額定功率；

（2）該汽車由靜止開始運動，經過35秒速度達到最大速度40m/s，求該汽車在BC段的位移。

【解析】（1）由圖線分析可知：圖線AB表示汽車所受牽引力F不變，阻力f不變，汽車由靜止開始做勻加速直線運動；圖線BC的斜率表示汽車的功率P不變，達到額定功率后，汽車所受牽引力逐漸減小做加速度減小的變加速直線運動，直至達最大速度40m/s；此后汽車做勻速直線運動。由圖可知：當最大速度vmax=40m/s時，牽引力為Fmin=2000N。

由平衡條件f=Fmin可得：f=2000N

由公式P=Fminvmax得：額定功率P=8×104W

勻加速直線運動的末速度vB= 求得：vB=10m/s。

（2）汽車由A到B做勻加速直線運動的加速度a= =2m/s2

設汽車由A到B所用時間為t1，B到C的時間為t2，位移為s2則t1= =5s

所以可得：t2=30s

B點之后，對車由動能定理可得：Pt2-fs2= m - m

可得：s2=75m

【技巧點撥】這類圖像的兩部分雖然都為直線，但橫坐標表示速度的倒數，從圖像中獲取信息難度加大，很難根據圖像得出機車啟動的運動特點，從而增加了這類題目的難度。這類圖像應沿著坐標橫軸從右向左的方向，即隨著機車速度的不斷增大，分析各個階段的運動特點以及相關物理量的數據。

責任編輯 李平安