具有馬爾可夫鏈依賴結構模型的破產概率

于 曼,李志民

(安徽工程大學 數理學院，安徽 蕪湖 241000)

在經典風險模型中,保險公司的盈余表示如下

(1)

式中，u表示保險公司的初始資產；c表示保險費率；Xk表示第k次索賠額；N(t)表示截止到時間t發生索賠的次數.

在實踐中，由于不同險種會導致保費收入形式和索賠額度的變化，因此，對于經典的風險模型做了很多的推廣.其中一個重要方面就是對經典模型中各種量之間的結構進行了研究.Ambagaspitiya[1]研究了更新模型中具有相關索賠規模和索賠發生時間的最終破產概率,放松了對更新風險模型索賠額與索賠發生的時間獨立性假設,考慮兩類不同的二元分布模型來描述索賠發生和索賠規模.Badescu[2]對Ambagaspitiya的模型進一步擴展,提出新的依賴結構,即索賠時間與索賠額的聯合分布為phase-type分布,從而對風險模型中各種破產相關量進行研究.Albrecher[3]等考慮了馬氏相依模型,并利用Laplace變換討論了馬氏相依模型的期望折現罰金函數,分別得到了破產時刻、破產前瞬時盈余、破產時赤字這3個與破產相關的量,并用較多的實例指出這一風險模型在風險理論中的廣泛應用.Boudreault[4]推廣了經典的復合Poisson風險模型,考慮索賠時間與索賠額之間特定的依賴結構,得到了瑕疵更新方程的期望貼現罰金函數.顧聰[5]研究了一類帶布朗運動擴散項的復合Poisson風險模型,利用Levy過程的性質,得到了其破產概率的表達式.在此基礎上,定義了馬爾科夫環境過程,對在馬爾可夫環境下的跳擴散風險模型進行了深入研究.Constantinescu[6]研究了凈損失具有馬氏性,通過轉移概率推導出更新風險模型中破產概率表達式.Helena Jasiulewicz[7]引入保費函數,在保險費率的影響下,根據自由準備金的水平,研究破產概率.董英華[8]研究了具有保費額和索賠額的非標準更新風險模型,索賠額與相應的索賠間隔時間滿足一定的相依結構.在非負利率的情形下,推出了無限時間破產概率的Lundberg不等式.Li J[9]提出了一種基于狀態轉移的形式化框架,稱為進化破產和隨機再循環.從狀態轉換的角度出發,提出了一個新概率模型,并對該方法的一些理論性質進行了馬爾可夫鏈分析.Ramsden L[10]考慮一個馬爾可夫調制風險模型,其中溢價率、索賠頻率和索賠大小的分布取決于外部馬爾可夫鏈的狀態，導出了破產概率和期望折現罰金函數的積分微分方程組.Gajek L[11]研究了一類推廣離散時間和連續時間風險模型的風險切換Sparre Andersen模型.馬爾可夫鏈被用作“切換”的假設下,跳躍改變索賠量或相應的等待時間分布，證明了破產概率向量的廣義Lundberg不等式.

研究是基于文獻[6]的基礎上，考慮保費率常常會隨著當下盈余以及保險時間的變化而做出調整,將保費函數引入經典風險模型,研究凈損失(Zk)k>0具有馬氏性的情況下的破產概率.

1 模型的建立與假設

將保費函數引入經典風險模型,建立新的風險模型

(2)

式中，以c(t)表示保費率,在經典風險模型中,索賠額Xk與索賠時間間隔τk相互獨立,考慮第k次索賠的間隔時間隨機變量τk與索賠額隨機變量Xk的特殊結構,更具體地說,考慮k次索賠后的實值隨機變量

(3)

式中，c(t)表示保費函數,τk和Xk具有任意的相關結構.因此,對于保險公司初始資產u>0,發生k次索賠之后的盈余過程

破產可以理解為上述盈余過程首次低于0的事件.顯然,這只能在索賠時刻發生.在無限時間內,破產發生的概率被定義為

類似文獻[6]將Z分解成正部和負部

Z=IZ++(1-I)Z-,I∈Bernoulli(p),

式中,Z+={Z|Z>0},Z-={Z|Z<0}.

考慮(Zk)k>0相關,假設其具有馬氏結構.給定Z0=x,破產概率定義為

(4)

定義Z的轉換密度為

則

(5)

為了便于得到破產概率的常微分方程,考慮一類特殊的轉換密度的情況,并做如下假設:

假設1k=1,2,3,4,令

π(x,y)=egk(x)+hk(y),(x,y)∈Ik,

(6)

式中，Ik表示笛卡爾平面的第k象限,并對egk(x)作如下假設:

(1)x>0,令eg1(x),eg4(x)線性獨立,且eg1(x)+eg4(x)=1,eg2(x)=eg3(x)→0.

(2)x<0,令eg2(x),eg3(x)線性獨立,且eg2(x)+eg3(x)=1,eg1(x)=eg4(x)→0.

此外,x>0時,h1(x),h2(x)為Z+的密度函數；x<0時,h3(-x),h4(-x)為Z-的密度函數.

Asmussen[12]給出了Z分解的詳細說明.

假設2 對于(k,m)={(1,1),(1,2),(4,1),(4,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)},存在多項式

(7)

2 主要結論及證明

定理1 如果假設1成立,破產概率有如下形式

(8)

更進一步來說,對于i=1,2,3,4,

證明 將式(6)給定的π(x,y)代入到式(5)中,依賴于x的取值正負,可以得到式(8)中ψ(u,x)的表達式.

注:X>0時,ψ1(u)是第一步為正跳的破產概率，而ψ4(u)是第一步為負跳的破產概率.x<0時,ψ2(u)是第一步為正跳的破產概率，而ψ3(u)是第一步為負跳的破產概率.接下來,為ψi函數提供了一個常微分方程體系.

gcd(a,b)表示多項式a,b的最大公約數,rk,m由以下矩母函數定義

(9)

若h1(x)=h2(x),則ψ1(u)=ψ2(u),且若h3(x)=h4(x),則ψ3(u)=ψ4(u).

證明x>0時,將式(6)、式(7)代入到式(5),得到方程式

ψ3(u-y)eg3(y))eh4(y)dy=eg1(x)ψ1(u)+eg4(x)ψ4(u),

因為eg1(x)和eg4(x)線性獨立,有以下方程成立

(10)

同理,x<0時，由eg2(x)和eg3(x)的線性獨立性,可得

(11)

式(10)、式(11)中的方程組的矩陣形式為

(12)

當k=1,4時，

根據定理1,ψi(u)為線性常微分方程的解,即

(13)

指數λi為行列式方程det(A)=0的解,在獨立的情況下,求解這個行列式方程相當于求解Lundberg方程,Mz(s)=1.同樣,對于這里描述的馬爾可夫鏈,可利用矩母函數推導出指數λj.有

定理3 若假設1和假設2成立,則ψi(u)有一般形式如式(13)所示,-λj是多項式

的負根，或多項式

1=-M1,1(-s)M3,3(-s)-M1,1(-s)-M3,3(-s)-

M2,3(-s)M3,4(-s)M4,2(-s)(M1,1(-s)-1)+M1,2(-s)M2,3(-s)M3,4(-s)M4,1(-s)+

M2,4(-s)M4,2(-s)(M1,1(-s)M3,3(-s)-M1,1(-s)-M3,3(-s)+1)-

M1,2(-s)M2,4(-s)M4,1(-s)(M3,3(-s)-1),

的根.

除以多項式

有以下方程成立

索賠服從Mk,m的定義.