三體追逃攻防博弈分析與新型攔截制導律研究

丁一波,毛 偉,王小剛, 崔乃剛

(1. 哈爾濱工業大學航天學院,哈爾濱 150001;2. 試驗物理與計算數學國家重點實驗室,北京 100076)

0 引言

為了應對日趨完善的導彈防御系統,進攻彈頭在發射的同時會伴隨一枚防衛彈頭,對來襲攔截彈進行主動攔截,掩護彈頭突防。這對導彈攔截提出了巨大挑戰。因此,近年來,設計三體飛行器的追蹤-逃逸場景備受關注,為了應對這種場景,為攔截彈設計一種可行的新型制導律迫在眉睫。三體攻防博弈場景主要涉及3個對象飛行器：進攻彈、防衛彈和攔截彈，如圖1所示。

圖1 三體攻防博弈作戰場景示意圖Fig.1 Engagement scenario of conflict for three players

李博文[1]以一對一攔截制導問題為背景,將博弈末制導問題轉化為博弈論中的二人競爭博弈模型。Horie等[2]利用數值方法和帶有非線性規劃的半主動分配方法求解一對一追逃博弈問題。孫傳鵬[3]利用模型預測控制的思想,求解一對一攔截問題動態博弈模型的均衡解。Talebi等[4]研究了多枚攔截彈與一枚進攻彈博弈對抗的作戰場景,并分析了3種不同的攔截博弈策略：第1種考慮多枚攔截彈協同編隊實施攔截；第2種考慮多枚攔截彈不合作單獨攔截；第3種考慮多枚攔截彈各自獨立作戰,并且互相競爭攔截。韓冰[5]、Sun等[6]考慮多彈協同問題,進攻彈與防衛彈相互協作與攔截彈實施博弈,輔助進攻彈突防，提升進攻彈生存能力。Qi等[7]通過全面分析三體攻防博弈中的多種作戰情況與作戰策略,劃分攔截彈可攔截區域,并以此為依據,為進攻彈設計有效的突防制導律。Liu等[8]針對攔截彈提出一種基于模糊評估與納什均衡的分布式在線任務規劃算法。Sun等[9]考慮了四體問題,即一枚進攻彈、一枚攔截彈與兩枚防衛彈的攻防作戰博弈問題。通過設計兩枚防衛彈相互協作,高效輔助進攻彈實施突防。

本文以三體攻防博弈對抗為研究對象,針對不同的攻防對抗初始作戰條件進行分析,并為攔截彈提出新型制導律,實現對防衛彈的躲避以及對進攻彈的成功攔截。

1 動力學模型構建

三體攻防博弈任務圖如圖2所示。在三體攻防博弈下,進攻彈(T)的作戰任務是規避攔截彈；防衛彈(D)的任務是追擊攔截彈,掩護進攻彈突防；攔截彈(A)的任務是躲避防衛彈,追蹤進攻彈,成功實施攔截。作戰平面如圖3所示。

圖2 三體攻防博弈任務圖Fig.2 Task of conflict for three players

圖3 作戰平面Fig.3 Engagement plane

其中,VA、VD和VT分別為攔截彈、防衛彈和進攻彈的速度。γA、γD和γT分別為攔截彈、防衛彈和進攻彈的飛行路徑角。λAT為AT之間視線角,λAD為AD之間視線角。RAT為AT之間相對距離,RAD為AD之間相對距離。aA、aT和aD分別為攔截彈、進攻彈和防衛彈的機動加速度。

動力學方程如下:

(1)

(2)

(3)

(4)

將碰撞三角形附近的飛行運動在LOS0周圍線性化,下標0表示初始狀態。A與T之間垂直于LOSAT0的位移表示為yAT,A與D之間垂直于LOSAD0的位移表示為yAD。

定義A垂直于視線AT的加速度為uA,T垂直于視線AT的加速度為uT,D垂直于視線AD的加速度為uD。其滿足如下條件

(5)

選擇如下狀態變量

(6)

狀態方程給出如下[10]：

(7)

狀態方程整合如下：

(8)

其中，

2 微分對策制導律

2.1 變量定義

(9)

式中，下標0表示作戰初始狀態。由于防衛彈的作戰任務是掩護進攻彈,所以要求AD之間作戰時間必須小于AT作戰時間。即

(10)

定義零控脫靶量為導彈與目標在無控狀態下,在預測命中時刻相對于當前視線方向的側向位移,符號ZAT(t)與ZAD(t)分別表示AT、AD之間的零控脫靶量。

(11)

其滿足如下動力學方程：

(12)

式中ZAT與yAT的正負符號定義如圖4所示。

圖4 ZAT與yAT 的正負符號定義Fig.4 Definitions of signs for ZAT and yAT

2.2 最優制導律求解

選定如下性能指標：

(13)

求解最優問題可以得到攔截彈與防衛彈之間作戰的最優制導律如下[11]:

(14)

攔截彈與進攻彈之間作戰的最優制導律如下：

(15)

3 攔截彈新型制導律研究

3.1 AD作戰攔截彈最優機動躲避區域

(16)

ZAD(t)=ZAD(t=0)+

(17)

(18)

假定在AD作戰中,A與D均應用式(14)的最優機動策略,則若ZAD位于兩條邊界圍成的區域內,攔截彈將會被防衛彈攔截；若ZAD位于兩條邊界圍成的區域外,攔截彈可以成功躲避防衛彈。

3.2 AT作戰攔截彈最優機動追蹤區域

(19)

ZAT(t)=ZAT(t=0)+

(20)

(21)

假定在AT作戰中,A與T均應用式(15)的最優機動策略,則若ZAT位于兩條邊界圍成的區域內,攔截彈可以成功攔截進攻彈；若ZAT位于兩條邊界圍成的區域外,攔截彈無法攔截進攻彈。

求解可得對于攔截彈,實現成功攔截的初始最大允許脫靶量如下：

(22)

下面將三體攻防對抗作戰場景劃分為2種情況：ZAT(t=0)與ZAD(t=0)的符號相反,ZAT(t=0)與ZAD(t=0)的符號相同。其中第2種情況分為3種條件：1)ZAD(t=0)屬于較大正數；2)ZAD(t=0)屬于較小正數； 3)ZAD(t=0)不滿足條件1)與條件2)。(本文僅討論ZAD(t=0)為正數的情況,對于ZAD(t=0)為負數的情況,結論與正數情況下相對稱,因此不再贅述。)

3.3 情況1

第1種情況下,ZAT(t=0)與ZAD(t=0)的符號相反,分析制導律式(14)與式(15),此種情況下,攔截彈實現最優躲避與最優追蹤的控制方向相同。因此,攔截彈可以在對進攻彈執行最優追蹤的同時，實現對于防衛彈的最優躲避。圖5給出情況1下的零控脫靶量初始條件。

圖 5 情況1下零控脫靶量初始條件Fig.5 Initial condition of ZEM(Zero-effort-miss) for case 1

3.4 情況2

第2種情況下,ZAT(t=0)與ZAD(t=0)的符號相同,分析制導律式(14)與式(15),此種情況下,攔截彈實現最優躲避與最優追蹤的控制方向相反。因此,攔截彈相對于進攻彈執行最優追蹤的同時,相對于防衛彈執行的則是最壞躲避。圖6給出情況2下的零控脫靶量初始條件。

圖6 情況2下零控脫靶量初始條件Fig.6 Initial condition of ZEM for case 2

本小節對這種情況下AD作戰結果進行研究,分析攔截彈成功躲避防衛彈的所需條件。下面將所需條件分3類進行討論。

(1)條件1

在第1種條件下,ZAD(t=0)屬于較大正數。圖7給出第1種條件下的零控脫靶量初始條件。

圖7 條件1下零控脫靶量初始條件Fig.7 Initial condition of ZEM for condition 1

(23)

求解可得：

ZAD(t=0)≥dD+

(24)

結合式(22)與式(24)可以得到保證攔截彈贏得三體攻防博弈的ZAD(t=0)與ZAT(t=0)初始條件：

(25)

(2)條件2

在第2種條件下,ZAD(t=0)屬于較小正數。圖8給出第2種條件下的零控脫靶量初始條件。

圖8 條件2下零控脫靶量初始條件Fig.8 Initial condition of ZEM for condition 2

同樣類比條件1,可得到如下方程：

(26)

(27)

結合式(22)與式(27)可以得到保證攔截彈完成三體攻防博弈的ZAD(t=0)與ZAT(t=0)的初始條件：

(28)

(3)條件3

(29)

(30)

在這種條件下,若ZAT(t=0)滿足式(30),則應用本文提出的新型制導律可以保證攔截彈在成功躲避防衛彈的同時命中進攻彈,贏得三體攻防博弈對抗。

結合式(15)與式(29)可得最終的攔截彈制導律：

(31)

其中：

(32)

(33)

4 仿真

本小節中,應用實際攻防對抗場景驗證所提出的制導律的有效性,其中大氣層外攔截器(A)攔截進攻彈頭(T),小型智能攔截器(D)作為防衛彈攻擊大氣層外攔截器,保護進攻彈頭。防衛彈與攔截器的殺傷半徑dD與dA分別設定為2m與1m。

仿真作戰場景如圖9所示,表1～表2分別給出大氣層外攔截器的性能參數與仿真初始參數。

圖9 仿真作戰場景Fig.9 Simulation scenario

參數名稱參數數值初始質量/kg35燃料質量/kg10軌控發動機推力/N3400

表2 初始參數

4.1 情況1仿真

表3給出情況1下的初始仿真參數。

表3 情況1初始參數

初始脫靶量值ZAT(t=0)和ZAD(t=0)分別為-1526m和364.6m,符號相反。攔截彈僅相對于進攻彈采用最優追蹤制導律即可命中進攻彈同時躲避防衛彈。

圖10給出的是3個飛行器的攻防博弈飛行軌跡。其中AT作戰脫靶量為0.044226m,AD作戰脫靶量為1093.4345m。仿真表明,攔截彈可以成功躲避防衛彈并成功攔截進攻彈,贏得三體攻防博弈。

圖10 情況1的飛行軌跡Fig.10 Fight path of case 1

4.2 情況2仿真

ZAT(t=0)和ZAD(t=0)符號相同。

(1)條件1

表4給出情況2條件1下的初始仿真參數。

表4 例1初始參數

對應條件1,ZAD(t=0)屬于較大正數。初始脫靶量值ZAT(t=0)和ZAD(t=0)分別為-1526m和-1725m,符號相同。

圖11顯示AT作戰脫靶量為0.044226m,AD作戰脫靶量為498.2268m。因此,攔截彈可以成功躲避防衛彈并成功攔截進攻彈,贏得三體攻防博弈。

圖11 條件1的飛行軌跡Fig.11 Fight path of condition 1

(2)條件2

表5給出情況2條件2下的初始仿真參數。

表5 例2初始參數

對應條件2,ZAD(t=0)屬于較小正數。初始脫靶量值ZAT(t=0)和ZAD(t=0)分別為-1526m和-157.6m,符號相同。

圖12顯示AT作戰脫靶量為0.044226m,AD作戰脫靶量為624.0914m。因此,攔截彈可以成功躲避防衛彈并成功攔截進攻彈,贏得三體攻防博弈。

圖12 例2的飛行軌跡Fig.12 Fight path of condition 2

(3)條件3

表6給出了情況2條件3下的初始仿真參數。

表6 例3初始參數

對應條件3,ZAD(t=0)不滿足條件1與條件2。在這一條件下,執行2組仿真。第1組仿真中,攔截彈僅應用一對一最優制導律追蹤進攻彈。第2組仿真中攔截彈使用本文提出的新型制導律。

圖13給出的是第1組仿真結果。該組仿真情況下,AT作戰脫靶量為0.016644m,但AD作戰脫靶量為0.31179m。表明盡管攔截彈可以依據最優制導律成功攔截進攻彈,但是卻無法成功躲避防衛彈,攔截彈博弈失敗。

圖13 例3第1組仿真的飛行軌跡Fig.13 Fight path for the first simulation of example 3

圖14給出的是應用本文制導律的第2組仿真結果。該組仿真情況下,AT作戰脫靶量為0.22464m,AD作戰脫靶量為327.0642m。表明應用本文制導律,攔截彈可以成功躲避防衛彈,然后精確命中進攻彈,完成預定任務。

圖14 例3第2組仿真的飛行軌跡Fig.14 Fight path for the second simulation of example 3

5 結論

本文針對三體攻防博弈問題,基于微分對策理論,研究分析了攔截彈贏得博弈的不同情況,并為攔截彈提出一種新型制導律。在ZAT(t=0)和ZAD(t=0)符號相反時,攔截彈僅使用最優一對一制導律追蹤進攻彈,即可同時躲避防衛彈并命中進攻彈。在ZAT(t=0)和ZAD(t=0)符號相同時,分3種條件討論。前2種條件下,攔截彈同樣僅應用最優一對一制導律追蹤進攻彈即可贏得三體博弈。對于第3種條件,本文提出一種新型制導律,使得攔截彈可在AD作戰時間內有效躲避防衛彈,并保證與進攻彈之間零控脫靶量最小,在AD作戰結束后,攔截彈對進攻彈實施最優追蹤,贏得三方博弈。